陳建宏，常 博， 席盼祥，丁小婷

(蘭州城市學院 電子與信息工程學院, 甘肅 蘭州 730070)

由于量子等離子體在半導體材料[1]、高強度激光與等離子體相互作用[2-4]、高密度天體等離子體[5-6]等具有應(yīng)用價值，故其已成為等離子體物理學中一個全新的、關(guān)注度高的研究對象.當?shù)入x子體中帶電粒子的德布羅意波長與等離子體的空間尺度(如帶電粒子的平均間距)可比較時，等離子體就會產(chǎn)生量子效應(yīng)，其對應(yīng)的等離子體被稱為量子等離子體.Haas等[7]基于量子流體力學模型研究了量子等離子體中的離子聲波.自此，從實驗和理論方面，研究人員對線性與非線性量子等離子體波的性質(zhì)進行了大量研究[8-12].然而，大部分研究工作沒有考慮邊界效應(yīng)對量子等離子體波的影響.事實上，實驗室中的量子等離子體通常具有明確的邊界.已有研究表明，對沒有考慮量子效應(yīng)的等離子體系統(tǒng)，邊界對等離子體波的性質(zhì)也產(chǎn)生影響[13-15].不難想象，考慮邊界效應(yīng)后的量子等離子波將可能出現(xiàn)一些新的性質(zhì)，筆者擬研究柱坐標系下有界量子等離子體系統(tǒng).

1 動力學方程

所研究的量子等離子體系統(tǒng)由具有圓柱幾何邊界的電子與離子組成.等離子體滿足如下連續(xù)性方程[7]

(1)

(2)

(3)

其中：ni為離子數(shù)密度；ne為電子數(shù)密度,ne服從玻爾茲曼分布，即ne=ne0exp(eφ/(kBTe))，kB和Te分別為玻爾茲曼常數(shù)和電子的溫度；ν為運動黏滯系數(shù)；e為電子所帶電量；V為量子等離子體的速率；φ為電位；mi為離子質(zhì)量；?為約化普朗克常數(shù);(2)式的第3項為考慮Bohm勢而引入的量子項.

2 柱坐標系下擬KdV方程的導出

假設(shè)上述系統(tǒng)具有圓柱幾何邊界，速率V在柱坐標系下表示為Vr,Vθ,Vx.整個系統(tǒng)具有柱對稱結(jié)構(gòu)，即Vr=Vθ=0,Vx=V(x,r).系統(tǒng)徑向尺寸r較小時，可假設(shè)?V/?r??V/?x，將方程(1)～(3)在柱坐標系下展開，并進行無量綱化，可得到如下無量綱方程

(4)

(5)

(6)

其中：無量綱的電子分布ne=exp(φ).

系統(tǒng)中的ni(r,x,t)，φi(r,x,t)，V(r,x,t)具有如下形式

ni(r,x,t)=Y0(r)Ni(x,t)+1，

(7)

φi(r,x,t)=Y0(r)ψ(x,t)，

(8)

Vi(r,x,t)=Y0(r)u(x,t).

(9)

(5)式中的量子項可表達為

(10)

利用泰勒公式將ni展開，保留低階項后代入式(4)～(6)，可得

(11)

(12)

(13)

其中

β=3π/4R，ni=J0(βr)Ni(x,t)+1，V=J0(βr)u(x,t)，

令

ξ=ε(x-ct)，τ=ε3t，ν=ε3ν′.

采用約化攝動法,對式(11)～(13)中各物理量在平衡位置作如下展開

Ni=ε2N1+ε4N2+…，

(14)

u=ε2u1+ε4u2+…，

(15)

ψ=ε2ψ1+ε4ψ2+…,

(16)

其中:ε為無量綱小量,c為相速.

將式(11)～(13)的高階近似方程聯(lián)立后, 經(jīng)過化簡, 可得到如下形式的擬KdV方程

(17)

其中

3 孤立波特性分析

(1) 將β=3π/4R代入式(17)中,可得到D=9ν′π2/(32R2)，當D=0時，即ν′→0或者R→+時，式(17)將變成標準的KdV方程

(18)

方程(18)有如下形式孤立波解[16]

(19)

由式(19)可知，孤立波的波寬隨著B變大而變大，也就是說加入量子項后孤立波的寬度變大.

(2) 當D≠0，令ψ1=6B1/3A-1ψ，τ=τ′，ξ=6B1/3ξ′，這樣擬KdV方程(17)可改寫為

(20)

方程(20)的解為

(21)

其中：a(τ′)=a0exp(-4Dτ′/3)為等離子體波的振幅，a0為初始條件下的振幅.此時，式(21)表示的是一種阻尼孤波，其振幅隨時間衰減.當R減小時,D將變大，振幅將衰減變快，加入量子效應(yīng)的衰減程度比不加入的小.

4 結(jié)束語

筆者研究了柱坐標系下有界量子等離子體系統(tǒng)，利用約化攝動法得到了描述該系統(tǒng)孤立波行為的擬KdV方程.研究發(fā)現(xiàn)：當邊界參數(shù)R較小時，孤波振幅隨時間衰減，且隨著R的減小衰減變快；R趨近于+時，量子等離子體波呈現(xiàn)孤立波特性.

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