柯恒一,劉翰林

(武漢理工大學(xué) 能源與動力工程學(xué)院，湖北 武漢 430070)

0 引言

直齒輪是最為常見的一種齒輪傳動形式，在實(shí)際工作中，直齒輪的輪齒受到嚙合力作用產(chǎn)生彈性變形，導(dǎo)致在輪齒嚙入嚙出的臨界位置產(chǎn)生干涉現(xiàn)象。齒輪副的嚙合干涉是齒輪傳動系統(tǒng)產(chǎn)生振動和尖峰動載荷的主要原因之一，且在高速重載下，齒面瞬時(shí)接觸溫度很高，嚙入嚙出產(chǎn)生的齒面刮痕切屑會堆積至節(jié)圓附近，加速齒面的磨損和膠合失效。因此需要對直齒輪進(jìn)行齒廓修形，即根據(jù)直齒輪副嚙入嚙出干涉情況、邊緣接觸情況，在主動輪或從動輪工作齒面上去除一小部分，使得直齒輪副嚙入嚙出臨界點(diǎn)避開齒頂棱邊，盡可能地保證直齒輪副始終處于完整的共軛嚙合狀態(tài)。直齒輪修形的概念首先由Walker[1]于1938年提出，Walker通過對齒輪進(jìn)行齒廓修形而避免了齒輪傳動過程中的嚙入嚙出沖擊。自此以后齒輪修形逐漸成為齒輪設(shè)計(jì)制造領(lǐng)域的熱點(diǎn)問題，國內(nèi)外學(xué)者和工程師針對齒輪的修形方式、方法進(jìn)行了大量的理論與試驗(yàn)研究。Seire[2]通過齒輪副接觸方程的求解得到了直齒圓柱齒輪不同修形量的理論計(jì)算方法。Wang[3]分別研究了齒輪副在未修形和齒廓修形下其嚙合剛度的變化規(guī)律。Wu[4]運(yùn)用有限元軟件，構(gòu)建齒輪傳動系統(tǒng)的靜態(tài)有限元接觸模型和動態(tài)分析模型，對比了齒輪修形前后的力學(xué)特性和動態(tài)特性。Imerk[5]通過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)修形可使齒輪副的載荷分配更加均勻，并可以減少齒面的磨損，增加齒輪壽命。朱才朝[6]通過對含修形齒輪的行星齒輪箱進(jìn)行振動測試，發(fā)現(xiàn)齒輪修形可使振動在嚙合頻率及其倍頻處的幅值減小，使系統(tǒng)更加平穩(wěn)。王成[7]基于非線性動力學(xué)理論構(gòu)建了包含齒輪側(cè)隙以及齒輪副非線性嚙合剛度的橫—扭—擺耦合非線性動力學(xué)模型，得到了不同修形量下齒輪副的振動幅值。

綜合國內(nèi)外關(guān)于齒輪修形的研究內(nèi)容發(fā)現(xiàn)，利用動態(tài)傳動誤差評價(jià)修形齒輪的文章鮮有報(bào)道，而動態(tài)傳動誤差被認(rèn)為是引起齒輪傳動系統(tǒng)振動和噪聲的主要激勵(lì)源[8-9]。因此，本文基于動態(tài)傳動誤差對齒廓修形直齒輪進(jìn)行了動態(tài)特性分析。

1 直齒輪副剛度及靜態(tài)傳動誤差計(jì)算

1.1 目標(biāo)齒輪副

本文研究的對象為兩對直齒輪，其中一對未修形，另一對大輪、小輪均進(jìn)行齒廓修形，修形量為10 μm，齒輪的具體參數(shù)見表1。圖1為目標(biāo)直齒輪副的三維模型。本文采用的直齒輪副全部通過齒面淬火磨削，保證齒廓修形后齒形精確。

表1 直齒輪副的幾何參數(shù)

1.2 有限元接觸模型

齒輪屬于復(fù)雜曲面零件，不能直接使用軟件中的結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格或者掃掠網(wǎng)格進(jìn)行劃分。因此，本文在對齒輪單齒劃分網(wǎng)格前，先通過軟件中的實(shí)體分割命令，將齒輪的單齒分成6塊簡單的六面體形狀，如圖2所示。齒輪單齒經(jīng)過實(shí)體分割成6份后，每個(gè)部分都是一個(gè)變形的六面體，接下來對單齒進(jìn)行六面體單元的結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格劃分。單齒網(wǎng)格劃分后的模型如圖3所示。

完成單齒網(wǎng)格模型后，通過軟件的裝配模塊，陣列得到直齒輪的多齒模型，為了節(jié)省計(jì)算時(shí)間，本文采用五齒模型開展直齒輪副的時(shí)變嚙合剛度和靜態(tài)傳動誤差的計(jì)算。圖4為直齒輪副的有限元五齒模型。

1.3 時(shí)變嚙合剛度和靜態(tài)傳動誤差

考慮到有限元模型不可避免存在的由網(wǎng)格劃分所帶來的幾何誤差以及數(shù)值計(jì)算誤差，為了消除這些誤差對齒輪嚙合剛度計(jì)算的影響，本文以大齒輪負(fù)載為1 Nm時(shí)的傳動誤差作為無負(fù)載傳動誤差，基于有限元計(jì)算結(jié)果可以計(jì)算出不同修形量下直齒輪在負(fù)載為150 Nm下的嚙合力，如圖5所示。靜態(tài)傳動誤差如圖6所示。直齒輪的嚙合剛度km的計(jì)算公式為:

(1)

其中：Fn為嚙合力；Rg為節(jié)圓半徑；STE為含負(fù)載靜態(tài)傳動誤差；NLTE為空載靜態(tài)傳動誤差；X為動態(tài)傳動誤差。通過式(1)可計(jì)算出直齒輪的時(shí)變嚙合剛度，如圖7所示。

圖1直齒輪副三維模型圖2單齒的實(shí)體分割

從圖5～圖7可以得到以下結(jié)論：①與未修形齒輪副相比較，修形后靜態(tài)傳動誤差和嚙合剛度在單雙齒交替嚙合處的突變有所增大；②與未修形齒廓相比較，修形后直齒輪副的嚙合周期并未發(fā)生改變，但單齒嚙合區(qū)長度增加，雙齒嚙合區(qū)長度減小,這說明齒廓修形使直齒輪副的重合度減小，相同齒廓修形高度條件下，隨著齒廓最大修形量的增加，重合度減小。

圖3單齒結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格劃分圖4直齒輪五齒模型

2 直齒輪傳動系統(tǒng)動力學(xué)模型

2.1 單級直齒輪傳動系統(tǒng)動力學(xué)建模

根據(jù)轉(zhuǎn)子動力學(xué)理論，直齒輪傳動系統(tǒng)建模過程中可以將齒輪簡化為轉(zhuǎn)子，在高速旋轉(zhuǎn)時(shí)，齒輪轉(zhuǎn)子存在陀螺效應(yīng)。與普通的轉(zhuǎn)子不同，齒輪之間存在相互嚙合作用，因而兩個(gè)轉(zhuǎn)子之間存在耦合作用，該耦合作用可以根據(jù)嚙合法線方向的力的關(guān)系關(guān)聯(lián)起來。同時(shí)，軸與軸承的彈性對高速圓柱齒輪傳動系統(tǒng)的動態(tài)特性影響較大，且齒輪轉(zhuǎn)子存在陀螺效應(yīng)。本文將軸簡化為Timoshenko梁單元，軸承簡化為支撐剛度矩陣。根據(jù)文獻(xiàn)[10]提出的有限元節(jié)點(diǎn)法，建立包含26個(gè)節(jié)點(diǎn)的齒輪—轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)模型，圖8為該系統(tǒng)的有限元節(jié)點(diǎn)模型。

圖5兩對直齒輪副嚙合力圖6靜態(tài)傳動誤差圖7兩對直齒輪副時(shí)變嚙合剛度

圖8 直齒輪傳動系統(tǒng)有限元節(jié)點(diǎn)模型

通過推導(dǎo)得出系統(tǒng)各成分(齒輪轉(zhuǎn)子、柔性軸、軸承、嚙合齒副)的動力學(xué)模型并得到相應(yīng)的參數(shù)，根據(jù)有限元的思想，組合各個(gè)單元可以得到整個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)動方程為：

(2)

其中：[M]為質(zhì)量矩陣；[C]為阻尼矩陣；Ω為軸的旋轉(zhuǎn)速度；[G]為陀螺力矩陣；[K]為剛度矩陣；q為嚙合線方向的相對位移；Q為齒輪傳動系統(tǒng)的激勵(lì)函數(shù)。動態(tài)各矩陣具體參數(shù)詳見參考文獻(xiàn)[10]。

2.2 動態(tài)傳動誤差分析

基于非線性振動理論，對上一節(jié)中構(gòu)建的直齒輪副動力學(xué)模型求解，得到兩對齒輪副在轉(zhuǎn)速為6 000 r/min、載荷為150 Nm時(shí)的動態(tài)傳動誤差。由于傳動誤差高頻成分反映齒輪傳動系統(tǒng)的動態(tài)特性，因此對其進(jìn)行高通濾波，得到的動態(tài)傳動誤差高頻成分如圖9所示，并對其進(jìn)行傅里葉變換得到傳動誤差高頻段頻譜圖，如圖10所示。

通過圖10可以看出，數(shù)值計(jì)算得到的動態(tài)傳動誤差高頻段主要以嚙合頻率及其倍頻成分為主，齒廓修形10 μm直齒輪副的0.5倍和1.5倍嚙合頻率成分被激勵(lì)出來，但幅值很小，且修形10 μm齒輪副在嚙合頻率及其倍頻處的頻率成分幅值與未修形齒輪副相比有明顯降低，即對直齒輪副進(jìn)行合適修形量的齒廓修形可以減小齒輪傳動系統(tǒng)的動態(tài)傳動誤差，改善系統(tǒng)的動態(tài)性能。

圖9理論計(jì)算動態(tài)傳動誤差高頻成分圖10動態(tài)傳動誤差高頻段頻譜圖

3 動態(tài)傳動誤差測試

3.1 測試系統(tǒng)構(gòu)建

本次傳動誤差測試要求最高轉(zhuǎn)速為6 000 r/min，根據(jù)齒輪副動態(tài)傳動誤差的測試要求和技術(shù)難點(diǎn)，決定采用磁柵作為轉(zhuǎn)角傳感器，采用LMS數(shù)據(jù)采集前端作為采集設(shè)備，構(gòu)建的傳動誤差測試系統(tǒng)如圖11所示。

圖11 動態(tài)傳動誤差測試系統(tǒng)

3.2 測試數(shù)據(jù)分析

利用傳動誤差測試系統(tǒng)進(jìn)行直齒輪副動態(tài)傳動誤差測量，分別得到兩對齒輪副在轉(zhuǎn)速為6 000 r/min、載荷為150 Nm時(shí)的動態(tài)傳動誤差曲線，如圖12所示。從圖12中可以看出，齒輪副動態(tài)傳動誤差為近似正弦曲線，由低頻成分和高頻成分構(gòu)成，其中低頻成分對應(yīng)于輸入軸、輸出軸的軸頻及其倍頻，高頻成分為齒輪副的嚙合頻率及其倍頻。對測得的動態(tài)傳動誤差數(shù)據(jù)進(jìn)行高通濾波后進(jìn)行傅里葉變換，得到傳動誤差高頻段頻譜圖，圖13為試驗(yàn)測得的動態(tài)傳動誤差在一倍嚙合頻率和二倍嚙合頻率處的頻譜圖。試驗(yàn)結(jié)果顯示修形10 μm齒輪副在各嚙合頻率倍頻處的幅值均小于未修形齒輪副，該結(jié)論與理論計(jì)算結(jié)果相同。

圖12 試驗(yàn)測量得到的動態(tài)傳動誤差曲線

3.3 動態(tài)傳動誤差理論計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)數(shù)據(jù)對比

圖14為未修形齒輪副動態(tài)傳動誤差高頻段理論計(jì)算值與試驗(yàn)測試值的對比圖。從圖14中可以看出，傳動誤差的試驗(yàn)測試值比理論值略大，且試驗(yàn)測試值頻率成分更為豐富，存在較多尖峰波動。這一現(xiàn)象的解釋為，在對直齒輪傳動系統(tǒng)進(jìn)行動力學(xué)建模時(shí)，并未考慮齒輪的齒形誤差，而將齒輪輪齒假設(shè)為具有理想漸開線的光滑齒廓，而在齒輪的實(shí)際加工過程中，存在齒形誤差，會導(dǎo)致動態(tài)傳動誤差曲線出現(xiàn)尖峰波動。通過未修形齒輪副動態(tài)傳動誤差高頻段理論計(jì)算值及試驗(yàn)測試值的對比，驗(yàn)證了直齒輪傳動系統(tǒng)動力學(xué)模型的準(zhǔn)確性。

圖13 動態(tài)傳動誤差高頻段頻譜圖

圖14 未修形齒輪副動態(tài)傳動誤差理論試驗(yàn)對比

4 結(jié)論

通過理論計(jì)算和試驗(yàn)測試方法對比未修形直齒輪副和齒廓修形直齒輪副的動態(tài)傳動誤差，發(fā)現(xiàn)修形直齒輪副的動態(tài)傳動誤差高頻段各頻率成分與未修形齒輪副相比均有明顯降低，而齒輪傳動系統(tǒng)動態(tài)傳動誤差高頻的幅值決定了系統(tǒng)動態(tài)性能的優(yōu)劣。因此，對直齒輪副進(jìn)行合適修形量的齒廓修形可以減小系統(tǒng)的動態(tài)傳動誤差，改善系統(tǒng)的動態(tài)特性。

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