楊曉亮， 羅光耀， 羅 敏， 黃 華，金 暉， 康 強(qiáng)， 譚 杰

(中國(guó)工程物理研究院 應(yīng)用電子學(xué)研究所 高功率微波技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 綿陽(yáng) 621900)

高均勻度的螺線(xiàn)管廣泛應(yīng)用于核磁共振成像、高精度探測(cè)器、粒子加速器、材料學(xué)物質(zhì)性質(zhì)研究等領(lǐng)域[1-5]。在高功率微波器件和粒子加速器中的螺線(xiàn)管產(chǎn)生的磁場(chǎng)起著約束粒子運(yùn)動(dòng)的重要作用。不同的微波器件對(duì)磁場(chǎng)的要求不同，最常見(jiàn)的要求為高均勻度和低漏場(chǎng)兩種[6-7]。理論上電磁場(chǎng)逆問(wèn)題是個(gè)多解問(wèn)題，不同的磁場(chǎng)源分布都可以產(chǎn)生相同的磁場(chǎng)分布，但不同磁場(chǎng)源的研制成本和使用功效差異很大，工程上需要綜合平衡。因?yàn)榇朋w設(shè)計(jì)是一個(gè)多參數(shù)、多目標(biāo)的結(jié)構(gòu)優(yōu)化問(wèn)題[8-9]，所以計(jì)算量大，效率較低，尤其在變量較多時(shí)更為明顯。同樣，如果選擇約束條件及給定的初值不合理時(shí)，也很難得到最優(yōu)解。本文針對(duì)高功率微波引導(dǎo)磁場(chǎng)需求的典型情況，在φ100 mm×800 mm的磁場(chǎng)均勻區(qū)內(nèi)，利用線(xiàn)性規(guī)劃算法，設(shè)計(jì)了一種新穎的分段式高軸向均勻度螺線(xiàn)管，新設(shè)計(jì)的螺線(xiàn)管軸向不均勻度為0.68%，小于常規(guī)方法設(shè)計(jì)的不均勻度9.8%。同時(shí)，新設(shè)計(jì)的螺線(xiàn)管電學(xué)參數(shù)和機(jī)械參數(shù)與常規(guī)設(shè)計(jì)相差不大，該種磁場(chǎng)設(shè)計(jì)計(jì)算方法具有很強(qiáng)的適用性。

1 線(xiàn)性規(guī)劃磁場(chǎng)設(shè)計(jì)方法概述

依據(jù)畢奧-薩法爾定律，勵(lì)磁電流和磁場(chǎng)強(qiáng)度存在簡(jiǎn)單的線(xiàn)性關(guān)系。因此，如果給定磁場(chǎng)需求，可以依據(jù)線(xiàn)性規(guī)劃程序反算出所需電流。一般首先對(duì)磁體載流區(qū)進(jìn)行網(wǎng)格化，網(wǎng)格大小與線(xiàn)材的截面尺寸相同或兩者間有一定的數(shù)學(xué)關(guān)系，同時(shí)調(diào)整可行載流區(qū)的邊界，在勻場(chǎng)區(qū)內(nèi)取若干個(gè)勻場(chǎng)目標(biāo)點(diǎn)加以約束[9-11]，螺線(xiàn)管載流區(qū)網(wǎng)格化如圖1所示。

圖1 螺線(xiàn)管可行載流區(qū)網(wǎng)格化示意圖 Fig.1 Mesh grid of available zone in solenoid

O為原點(diǎn)，橫軸為螺線(xiàn)管Z軸方向，縱向?yàn)閺较騌方向，可行域Ω在Z和R確定的平面內(nèi)，剖分為10×10的網(wǎng)格，目標(biāo)點(diǎn)一般在勻場(chǎng)區(qū)的邊界上，空間位置為(Zm，Rn)的矩形網(wǎng)格對(duì)空間坐標(biāo)為(Zj，Rk)的目標(biāo)點(diǎn)上所產(chǎn)生的磁場(chǎng)可由圓環(huán)電流絲法求出，具體關(guān)系見(jiàn)式(1)：

(1)

式中，Br和Bz分別為目標(biāo)點(diǎn)的磁場(chǎng)徑向與軸向分量；真空磁導(dǎo)率μ0=4π×10-7H·m-1；I為電流；Zm，Rn，Zj，Rk分別對(duì)應(yīng)網(wǎng)格位置和目標(biāo)點(diǎn)坐標(biāo)；F(k)和E(k)分別是模數(shù)為k的第一類(lèi)和第二類(lèi)完全橢圓積分。在目標(biāo)點(diǎn)的總磁場(chǎng)便是可行載流區(qū)內(nèi)所有網(wǎng)格在該目標(biāo)點(diǎn)處產(chǎn)生的磁場(chǎng)之和。很顯然，這是可行域m×n的網(wǎng)格數(shù)對(duì)j×k個(gè)目標(biāo)點(diǎn)的線(xiàn)性規(guī)劃矩陣運(yùn)算問(wèn)題。以線(xiàn)圈的總體積為目標(biāo)函數(shù)，磁場(chǎng)均勻度作為約束條件可以求出載流區(qū)剖分網(wǎng)格的電流分布。

2 引導(dǎo)磁場(chǎng)設(shè)計(jì)實(shí)例

在高功率微波系統(tǒng)中，以相對(duì)論速調(diào)管為例，微波器件的波束相互作用區(qū)域越長(zhǎng)，均勻區(qū)就越大，而為了滿(mǎn)足某些微波器件的輸入輸出要求，需要對(duì)磁體分段，但分段處的磁場(chǎng)分布會(huì)嚴(yán)重影響磁體在均勻區(qū)的整體均勻度。要在1 000 mm的軸向長(zhǎng)度上產(chǎn)生磁場(chǎng)強(qiáng)度為2 T的磁場(chǎng)，磁體孔徑φ為100 mm，均勻區(qū)長(zhǎng)度為800 mm，但在軸向長(zhǎng)度300～330 mm的位置需要饋入微波種子源，使螺線(xiàn)管電流可行域分成兩段，但分段處也需保持一定的均勻度，如圖2所示。圖中包括螺線(xiàn)管可行域A、螺線(xiàn)管可行域B、分割螺線(xiàn)管的饋入波導(dǎo)、發(fā)射大功率電子束的二極管、磁場(chǎng)均勻區(qū)(對(duì)應(yīng)微波器件的波束相互作用區(qū)域)和后端輻射微波的天線(xiàn)。

圖2 相對(duì)論速調(diào)管中的引導(dǎo)磁場(chǎng) Fig.2 Guiding magnetic field of RKA

2.1 常規(guī)螺線(xiàn)管設(shè)計(jì)

常規(guī)的多階凸凹狀螺線(xiàn)管可以在較大的區(qū)域產(chǎn)生一定的均勻度，為了從長(zhǎng)度100～900 mm、直徑φ100 mm×800 mm 的空間內(nèi)產(chǎn)生2 T的均勻磁場(chǎng)，常規(guī)的螺線(xiàn)管線(xiàn)圈設(shè)計(jì)內(nèi)孔直徑為100 mm，外徑約為400 mm，長(zhǎng)度為1 000 mm，電流密度40 A·mm-2，而且端部需要典型的勻場(chǎng)線(xiàn)圈。圖3顯示了常規(guī)螺線(xiàn)管模型和中心磁場(chǎng)軸向分布情況。

(a) Traditional solenoid model

(b) Bz distribution of traditional solenoid

圖3常規(guī)螺線(xiàn)管模型和對(duì)應(yīng)的軸向磁場(chǎng)分布
Fig.3TraditionalsolenoidmodelandBzdistribution

從圖3可以看出，此磁體可以產(chǎn)生磁感應(yīng)強(qiáng)度平均值為2 T的磁場(chǎng)，但在均勻區(qū)內(nèi)最大值和最小值都在分段處，使得整體均勻度僅有9.8%。螺線(xiàn)管的電磁儲(chǔ)能為44 kJ，當(dāng)用1 mm×1 mm的矩形線(xiàn)纜時(shí)，所需電流為40 A，自感約54 H。為了產(chǎn)生2 T的高磁場(chǎng)，共消耗線(xiàn)材約148 kg，磁體中最大場(chǎng)強(qiáng)在內(nèi)半徑處，磁感應(yīng)強(qiáng)度為2.12 T。為了獲得更高的均勻度，一般需要在螺線(xiàn)管外部加多層勻場(chǎng)線(xiàn)圈，均勻度要求越高，勻場(chǎng)線(xiàn)圈越多。在醫(yī)療行業(yè)的核磁共振成像磁體中，這種有源勻場(chǎng)甚至可以在mm級(jí)的均勻區(qū)提供10-6的磁場(chǎng)均勻度。除了有源勻場(chǎng)，軟磁材料按照某種方式陣列分布的無(wú)源勻場(chǎng)也能提高均勻度，有源勻場(chǎng)和無(wú)源勻場(chǎng)會(huì)使得高均勻度磁場(chǎng)體積龐大，造價(jià)昂貴，系統(tǒng)復(fù)雜。為了充分對(duì)比勻場(chǎng)效果，本文僅考慮同等級(jí)別的有源勻場(chǎng)。

2.2 新設(shè)計(jì)的螺線(xiàn)管

理論上，產(chǎn)生磁場(chǎng)的唯一方式為帶電粒子運(yùn)動(dòng)，即電流。如果線(xiàn)圈截面可以設(shè)計(jì)成需要的形狀，則可產(chǎn)生各種磁場(chǎng)分布。用較細(xì)的矩形或圓形線(xiàn)纜可以組合成復(fù)雜的線(xiàn)圈截面，如圖4所示，顯示了可行域A內(nèi)剖分網(wǎng)格和每個(gè)網(wǎng)格對(duì)應(yīng)的電流密度值。計(jì)算時(shí)，軸向剖分網(wǎng)格數(shù)為120，徑向剖分網(wǎng)格數(shù)為30，通過(guò)MATLAB編程計(jì)算的電流密度數(shù)值填于網(wǎng)格中。

圖4 可行域A剖分網(wǎng)格和網(wǎng)格對(duì)應(yīng)的電流密度情況Fig.4 Grids and corresponding current density values of available zone A

通過(guò)計(jì)算結(jié)果可以看到，由于線(xiàn)性規(guī)劃的特征，通過(guò)目標(biāo)函數(shù)的收縮作用使得絕大部分可行域的電流密度趨于兩個(gè)極端，即最大值4×107A·mm-2和最小值0，而中間值1 A·mm-2較少。通過(guò)MATLAB自帶的可視化函數(shù)顯示可行域A對(duì)應(yīng)網(wǎng)格電流密度，根據(jù)對(duì)磁場(chǎng)的要求計(jì)算的可行域電流密度分布，如圖5所示。

圖5中左上頂點(diǎn)表示螺線(xiàn)管中心，縱軸表示螺線(xiàn)管軸向，橫軸表示徑向。左側(cè)空白區(qū)表示內(nèi)孔半徑，即非載流區(qū)域，最右側(cè)顏色條表示電流密度。由于線(xiàn)性規(guī)劃目標(biāo)函數(shù)的性質(zhì)，絕大部分可行域內(nèi)的電流密度只有最大值和最小值兩個(gè)值。在螺線(xiàn)管的分段位置附近，電流密度區(qū)域基本成階梯狀，且電流密度分布不連續(xù)，這說(shuō)明螺線(xiàn)管在分段處需要分離線(xiàn)圈組合，才能產(chǎn)生需要的磁場(chǎng)分布。將螺線(xiàn)管截面的電流密度取最大值的網(wǎng)格用極小的圓環(huán)電流絲代替，忽略電流密度數(shù)值較小的區(qū)域,可以生成新的截面較復(fù)雜的螺線(xiàn)管，可行域A段線(xiàn)圈集合(3/4圓環(huán))見(jiàn)圖6。

圖5 線(xiàn)性規(guī)劃計(jì)算的截面電流密度 Fig.5 Visualization of section current density values calculated by LP method

圖6 可行域A內(nèi)的電流密度最大值用圓環(huán)線(xiàn)圈代替Fig.6 Zone with the maximum current density in available zone A replaced by ring coils

同理，將兩個(gè)可行域所有電流密度數(shù)值較大的區(qū)域用圓環(huán)電流線(xiàn)圈代替，新設(shè)計(jì)的螺線(xiàn)管線(xiàn)圈見(jiàn)圖7，在Radia中完成了圓環(huán)電流線(xiàn)圈組合后，計(jì)算勻場(chǎng)區(qū)的軸向磁場(chǎng)分布如圖8所示。

通過(guò)計(jì)算不難發(fā)現(xiàn)，在同樣的800 mm的磁場(chǎng)均勻度要求的區(qū)域，新設(shè)計(jì)的螺線(xiàn)管磁體線(xiàn)圈不均勻度為0.68%，小于常規(guī)螺線(xiàn)管的不均勻度9.8%，新的磁體內(nèi)徑為100 mm，外徑為390 mm，總長(zhǎng)度為1 000 mm，新設(shè)計(jì)和常規(guī)設(shè)計(jì)相當(dāng)。不僅如此，在同樣電流密度和線(xiàn)纜線(xiàn)規(guī)條件下，新磁體儲(chǔ)能為48 kJ，電感為61 H，磁體最大磁場(chǎng)為2.08 T，而所耗線(xiàn)纜約為120 kg，這是因?yàn)橹虚g分段處的分立線(xiàn)包增加了均勻度的同時(shí)也增加了線(xiàn)纜質(zhì)量。

圖7 新設(shè)計(jì)的螺線(xiàn)管磁體線(xiàn)圈Fig.7 New-designed segment solenoid

圖8 新設(shè)計(jì)的螺線(xiàn)管勻場(chǎng)區(qū)軸向磁場(chǎng)分布Fig.8 Bz distribution in homogeneity magnetic field of the new-designed segment solenoid

新設(shè)計(jì)的螺線(xiàn)管需要復(fù)雜截面骨架用于容納新的磁場(chǎng)線(xiàn)圈，一種可行的骨架制造方式是通過(guò)分層制造骨架，一邊繞線(xiàn)一邊疊很薄的骨架，每個(gè)切片的薄骨架和每一層的繞線(xiàn)相協(xié)調(diào)，然后將切片的薄骨架堆疊而成。

2.3 兩種設(shè)計(jì)的對(duì)比

和常規(guī)的凸凹臺(tái)階式螺線(xiàn)管相比，新設(shè)計(jì)的分段式螺線(xiàn)管磁體有很多優(yōu)勢(shì)：首先也是最重要的一點(diǎn)，磁場(chǎng)均勻度大大提高，提高均勻度可以提高微波器件的波束相互作用效果，更容易獲得高功率微波。其次，在同等的電流密度和線(xiàn)纜線(xiàn)規(guī)條件下，新設(shè)計(jì)更加充分地利用了電流和線(xiàn)纜，獲得同樣強(qiáng)度的磁場(chǎng)所消耗的線(xiàn)纜質(zhì)量變小，實(shí)現(xiàn)了小型化和緊湊化。再次，線(xiàn)性規(guī)劃磁場(chǎng)設(shè)計(jì)方法具有通用性，依照同樣的程序可以實(shí)現(xiàn)低漏場(chǎng)設(shè)計(jì)，很容易移植和推廣。 兩種螺線(xiàn)管主要設(shè)計(jì)參數(shù)如表1所列。與常規(guī)復(fù)雜的大型高均勻度磁體相比，新磁體設(shè)計(jì)有較強(qiáng)的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，它明顯減少了制造成本，更加充分利用了電流和線(xiàn)纜。但新設(shè)計(jì)的螺線(xiàn)管骨架更復(fù)雜，對(duì)繞線(xiàn)工藝的要求更高。

此外，新螺線(xiàn)管設(shè)計(jì)和制造過(guò)程的磁場(chǎng)存在誤差，主要因?yàn)椋?)線(xiàn)性規(guī)劃所用的是圓環(huán)電流絲疊加計(jì)算磁感應(yīng)強(qiáng)度，線(xiàn)性疊加是在剖分很小的情況積分的近似處理，剖分越密，誤差越小，但該項(xiàng)誤差始終存在；2)線(xiàn)性規(guī)劃所算出的電流密度分布絕大部分為極值，也有一定數(shù)目的網(wǎng)格中間值存在，在磁場(chǎng)設(shè)計(jì)的過(guò)程中忽略了中間值的電流密度，這會(huì)造成磁場(chǎng)計(jì)算誤差；3)在實(shí)際制造繞線(xiàn)過(guò)程中不可避免地存在工程誤差，這也會(huì)造成磁場(chǎng)誤差。

表1 兩種磁體設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)比Tab.1 Parameter comparisons between traditionaland new-designed magnet

3 結(jié)論

利用線(xiàn)性規(guī)劃算法設(shè)計(jì)的分段式螺線(xiàn)管可通過(guò)改進(jìn)繞線(xiàn)工藝和機(jī)械結(jié)構(gòu)來(lái)提高均勻度，并具有很強(qiáng)的推廣性，較適合復(fù)雜情況下的磁場(chǎng)計(jì)算。設(shè)計(jì)的磁場(chǎng)可應(yīng)用于高功率微波螺線(xiàn)管型引導(dǎo)磁場(chǎng)，在φ100 mm×800 mm波束相互作用區(qū)域內(nèi)，該螺線(xiàn)管可把常規(guī)設(shè)計(jì)的磁場(chǎng)不均勻度9.8%降低至0.68%，大幅提高了均勻度，能更好地引導(dǎo)粒子束在均勻區(qū)內(nèi)運(yùn)動(dòng)。而且，在同樣的電流密度條件下，新設(shè)計(jì)的磁體體積、質(zhì)量和常規(guī)設(shè)計(jì)相當(dāng)。該磁場(chǎng)設(shè)計(jì)方法易于推廣到其他磁場(chǎng)約束條件下的磁場(chǎng)設(shè)計(jì)。但不足是儲(chǔ)能稍大，難點(diǎn)在于骨架和冷卻機(jī)械結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)更復(fù)雜，線(xiàn)圈繞制工藝要求更高。

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