無限長密繞通電螺線管磁場簡明計算

李永樂

(中國人民大學(xué)附屬中學(xué) 北京 100080)

無限長密繞通電螺線管磁場簡明計算

李永樂

(中國人民大學(xué)附屬中學(xué) 北京 100080)

通過對稱性、磁場無源特點(diǎn)和安培環(huán)路定理，討論了無限長密繞通電螺線管內(nèi)外的磁場簡明計算方法.

通電螺線管 磁場 安培環(huán)路定理

針對無限長密繞螺線管內(nèi)外的磁場已有諸多討論[1]，本文討論一種沒有采用由載流圓線圈軸線上磁場積分的方法，論證該種螺線管只在內(nèi)部產(chǎn)生軸向勻強(qiáng)磁場的合理性.

1 密繞螺線管磁場分解

為了突出螺線管磁場最典型的特點(diǎn)，將密繞螺線管的電流近似看作在半徑為R的圓柱體上一系列的環(huán)形面電流，如圖1所示，這種簡化方法忽略了沿著螺線管軸向的電流.在螺線管單位長度匝數(shù)很大時，這種近似是合理的.

圖1 將密繞螺線管簡化為環(huán)形面電流

螺線管內(nèi)外任意一點(diǎn)的磁場均可分解為3個方向：軸向Bz，徑向Br和角向Bθ，如圖2所示.螺線管無限長，由對稱性可知任意位置磁場大小都與坐標(biāo)z和θ無關(guān)，僅可能是r的函數(shù)：在與螺線管軸線距離r相同處，磁場各分量的大小相同.

圖2 通電螺線管內(nèi)外磁場的分解

2 徑向磁場Br等于零

如圖3所示，在螺線管內(nèi)取一個同軸封閉圓柱，圓柱兩個底面為S1和S2，側(cè)面為S3.

角向磁場分量Bθ不會穿透圓柱面，軸向分量Bz在兩個底面S1和S2處穿透柱面；徑向磁場Br在圓柱側(cè)面上穿透圓柱面.根據(jù)麥克斯韋方程組

?Bz·dS1+?Bz·dS2+?Br·dS3=0

(1)

圖3 在螺線管內(nèi)部取封閉圓柱

由于Bz場在S1和S2處完全相同，故

?Bz·dS1+?Bz·dS2=0

(2)

這里Br與圓柱側(cè)面處處垂直，且大小固定

?Br·dS3=BrS3

(3)

將式(2)、(3)代入式(1)，得到Br=0.

由于圓柱面半徑可任意選取，因此螺線管內(nèi)部徑向磁場處處為零.

求解螺線管外部磁場時，只需將封閉圓柱面半徑取得超過螺線管大小，則可以得出相同的結(jié)果：螺線管外部徑向磁場處處為零.

3 角向磁場Bθ等于零

在螺線管內(nèi)部取如圖4所示與螺線管同心的封閉圓形曲線C1，C1并未包圍任何電流，沿C1列安培環(huán)路定理.

∮B·dl=∮Bθ·dl=0

(4)

圖4 在螺線管內(nèi)外取同心圓環(huán)

在圓環(huán)C1上各處Bθ沿著曲線且大小處處相等，∮Bθ·dl=Bθ×2πr=0，因此Bθ=0.

由于圓環(huán)半徑r可以任意選取，故螺線管內(nèi)部磁場的角向分量處處為零.

如圖4所示取大于螺線管的的封閉圓圈C2，對C2列安培環(huán)路定理，同理可得螺線管外部磁場角向分量處處為零.

4 軸向磁場Bz勻強(qiáng)

如圖5所示，在螺線管內(nèi)部取矩形回路ABCD，其中AD和BC沿著徑向.設(shè)AB處軸向磁場為Bz1，CD處軸向磁場為Bz2，由于回路并未包圍任何電流，在回路上列安培環(huán)路定理

(5)

圖5 在螺線管內(nèi)外取矩形回路

由Br=0, 有

(6)

設(shè)AB=CD=L，并設(shè)Bz向右為正，則

(7)

將式(6)、(7)代入式(5)得到

∮B·dl=(Bz1-Bz2)L=0

因此

Bz1=Bz2

由于ABCD可以任取，因此螺線管內(nèi)部磁場的軸向分量Bz處處相同.

在螺線管外部，可同理取閉合矩形A′B′C′D′，同樣得到Bz處處相同.

5 螺線管外部磁場為零

如圖6所示，取垂直于螺線管軸線的無限大平面，平面在螺線管內(nèi)部面積S1，在螺線管外部面積S2.由于磁場的無源性質(zhì)，穿過該無限大平面的磁通量為零φ=0，即內(nèi)部向右穿過S1的磁感線，必然通過外部S2穿回平面左側(cè).

圖6 取垂直軸線的無限大平面

由于螺線管內(nèi)外都是軸向勻強(qiáng)磁場，有

φ=B內(nèi)S1-Bz外S2=0

式中S1為有限值，而S2為無窮大，故

即無限長螺線管外部磁場處處為零.

6 螺線管內(nèi)部磁感應(yīng)強(qiáng)度B=μ0nI

如圖7所示，取一邊在螺線管內(nèi)，一邊在螺線管外的矩形閉合回路ABCD，AD和BC沿著螺線管徑向，AB和CD平行軸線.設(shè)AB=CD=L，每一匝電流為I0，單位長度匝數(shù)為n，則回路包圍的電流I=nLI0.

圖7 取一邊在內(nèi)一邊在外的矩形回路

因螺線管只在內(nèi)部產(chǎn)生軸向勻強(qiáng)磁場，由安培環(huán)路定理

可得

B內(nèi)=μ0nI0

7 結(jié)束語

本文首先將無限長密繞螺線管的磁場分解，并討論出螺線管內(nèi)外的徑向、角向磁場都為零，軸向磁場都均勻，再通過磁場無源性質(zhì)討論出螺線管外部磁場為零.最后根據(jù)安培環(huán)路定理得出螺線管內(nèi)部磁場的表達(dá)式.討論過程沒有采用由載流圓線圈軸線上磁場積分的方法，更容易被初學(xué)者接受.

1 劉國良. 無限長密繞載流螺線管中磁場分布教學(xué)的不同設(shè)計. 物理通報, 2016(5):9～11

2017-04-02)