具有時變時滯的數據采樣無人船舵減搖系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

白宇明 陳增治 單麒赫 李鐵山

摘要 本文研究了基于數據采樣的無人船舵減搖閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性.考慮到采樣過程存在延遲現象，引用動態(tài)時滯區(qū)間的方法，構造相應的Lyapunov-Krasovskii泛函（LKF）.此方法將固定時滯區(qū)間擴展成為動態(tài)時滯區(qū)間，不僅放寬了時滯區(qū)間上界和下界的限制，還能同時獲得基于線性矩陣不等式（LMI）的更小保守性的相關穩(wěn)定性判據.最終可以獲得一個更寬松的標準來分析基于數據采樣的無人船舵減搖閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性.最后，舉例說明了所提出方法的有效性.

關鍵詞

數據采樣系統(tǒng);無人船;時變時滯;動態(tài)時滯區(qū)間方法

中圖分類號? TP13

文獻標志碼? A

0 引言

近年來，多無人船系統(tǒng)作為一類分布式復雜系統(tǒng)，在環(huán)境檢測、資源勘探、科學研究等領域發(fā)展迅速.無人船（USV）被設計為智能運動平臺，可以在惡劣的海洋環(huán)境中工作并完成各種任務[1-4] ，它是造船業(yè)和海洋產業(yè)的下一個發(fā)展方向，具有重要的科學和社會意義.因此，無人船已成為當前研究和應用的熱點之一[5-6] .在理論研究和實際應用中，由于對安全性和舒適性的需求不斷增加，船舶舵減搖控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性開始受到人們的關注[7] .所以，研究如何同時實現船舶的精確航向控制[8] 和舵減搖[9-10] 的性能非常重要.

在工程實際中，無人船的航向角、橫搖角和艏搖角速度等狀態(tài)都是由采樣器采樣并傳輸到控制器，控制器構建控制指令并將其發(fā)送到舵機（圖1描述了受數據采樣延遲影響的無人船）[11] .很明顯，由于采樣過程的存在，不可避免地產生延遲，這可能導致系統(tǒng)振蕩、發(fā)散或不穩(wěn)定[12-14] .因此，在控制設計時必須充分考慮采樣引起的時滯.

目前，研究人員已經找到了一些方法和技術來處理時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題.相關的研究結果可以分為兩類：頻域方法和時域方法.頻域方法已經出現了很長時間，通常通過分析時滯系統(tǒng)的特征根是否具有負實部來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性.它們主要包括掃頻法、直接法、圖解法、分析法、數值計算法等[15-16] .然而，頻域方法對于處理具有時變時滯的系統(tǒng)是不可行的.目前時滯系統(tǒng)研究的穩(wěn)定性主要集中在時域方法上， 主要方法是構建Lyapunov-Krasovskii泛函（LKF） 并使用處理LKF導數的數學技術來得到相應的穩(wěn)定性判據定理[17-19] .在時變時滯分析方法中，Park[20] 提出了具有向量交叉內積的邊界方法;Fridman[21] 提出了模型轉換方法;將具有向量交叉內積的邊界方法與模型轉換方法相結合，Fridman等[22] 得到了一系列保守性較低的穩(wěn)定性標準.為了進一步降低保守性，Wu等[23] 提出了一種自由加權矩陣方法，通過采用Newton-Leibniz公式，引入了一些自由加權矩陣.之后，Park等[24] 通過構建新的Lyapunov函數，進一步改進了自由加權矩陣方法;Han等[25] 提出了離散Lyapunov函數方法，以得到更小的保守性.然而，自由加權矩陣方法和離散Lyapunov函數方法都將引入大量計算，這使得穩(wěn)定性條件變得復雜.Shao[26] 和Seuret等[27] 采用了積分不等式方法，這種方法無需引入過多的自由權矩陣參數，由此降低了計算量，但是對于分析時滯穩(wěn)定性仍存在一定的保守性.最近，Zhang等[28] 提出了動態(tài)時滯區(qū)間方法，此方法改變固定的時滯區(qū)間為動態(tài)的時滯區(qū)間，并且更準確地分析了LKF的導數項，這對于獲得一個更大的允許時滯上界更為有效.

本文研究了一種具有時變時滯的基于數據采樣的無人船舵減搖閉環(huán)控制系統(tǒng)穩(wěn)定性.本文引用動態(tài)時滯區(qū)間方法[28] 的思想，針對所研究系統(tǒng)，獲得了基于線性矩陣不等式（LMI）的更小保守性的相關穩(wěn)定性判據.本方法允許有更多的能力來應對采樣引起的延遲，這將對降低船舶設備的故障率有重要意義.

在本文中：對于矩陣 A ， A? ?T 表示其轉置; I 表示具有適當維度的單位矩陣;對于對稱矩陣 A ， A > 0和 A < 0分別表示正定和負定; He （ A ）= A + A? ?T ， R? n表示n維歐氏空間.

1 無人船舵減搖數學模型介紹

船舶具有6個自由度，即橫蕩、艏搖、橫搖、縱蕩、垂蕩、縱搖.然而，在本文中，僅考慮y方向上的不對稱運動，它包括橫蕩、艏搖、橫搖.由牛頓定律，可以得到相關運動的基本方程[29-30] ：

m y ?d ?2y ?d t 2 =F y， 橫蕩，

I zz ??d ?2e ?d t 2 =N， 艏搖，

I xx ??d ?2f ?d t 2 =M， 橫搖，???? （1）

其中x，y和z表示空間固定坐標系的軸，m y表示船舶在y方向上的有效質量，F y表示y方向的力，y表示航向，e表示航向角， f表示橫搖角，I zz 和I xx 分別表示相對于z軸和x軸的慣性矩，N，M分別表示相對于z軸和x軸的力矩.

將式（1）中的方程轉化到圖2坐標系，引入泰勒展式和拉普拉斯變換，忽略一些水動力效應及波浪對航向角和橫搖角的影響，最后利用拉普拉斯逆變換，可以得到以下橫蕩 艏搖子系統(tǒng)和橫搖子系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型[29-30] ：

其中， x （t）=[v（t），r（t），ψ（t），p（t），φ（t）] ?T ∈ R? n并且v（t）、r（t）、ψ（t）、p（t）和φ（t）分別表示僅由舵運動引起的橫蕩速度、艏搖角速度、航向角、橫搖角速度和橫搖角， δ （t）代表舵角， x ?0∈ R? n表示初始條件. A ， B 定義如下：

A =? - 1 T v? 0 0 0 0 K vr ?T r? - 1 T r? 0 0 00 1 0 0 0ω 2 n K vp ?0 0 -2ζω n -ω 2 n0 0 0 1 0? ，

B =? K dv ?T v ， K dr ?T r ，0，ω 2 n K dp ，0? ?T ，

T v和T r表示傳遞函數的時間常數，ζ和ω n分別表示阻尼比和無阻尼下的固有頻率，K vr ，K vp ，K dv ，K dr 和K dp 表示給定的增益.

系統(tǒng)（2）中的橫蕩 艏搖子系統(tǒng)和橫搖子系統(tǒng)模型可用于描述無人船的相應動態(tài)情況.

設t k，t k+1 ，…（k=0，1，2，…）表示數據采樣器的采樣時刻.假設在時刻t k，t k+1 ，…采樣的數據成功獲得，而時刻t k和t k+1 （k=0，1，2，…）之間的數據丟失.那么，無人船的采樣過程可以如圖3所示，其中虛線表示數據丟失.

很明顯τ（t）∈[τ k，t k+1 -t k+τ k+1 ），這也可以描述為τ（t）∈[τ 1，τ 2）.在傳統(tǒng)的分析中，人們經常直接分析時變時滯的固定區(qū)間[τ 1，τ 2），本文把固定時滯區(qū)間轉換成動態(tài)時滯區(qū)間[（1-α）τ 1+ατ（t），ατ（t）+（1-α）τ 2），其中α∈[0，1），并且定義a（t）=（1-α）τ 1+ατ（t）、b（t）=ατ（t）+（1-α）τ 2.下一節(jié)闡述了具有時變時滯的基于數據采樣的無人船舵減搖閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性.

2 主要結果

對于給定的控制器增益 K ，設 BK = A ?1，那么可以得到如下具有時變延遲的線性系統(tǒng)：

（t）= Ax （t）+ A ?1 x （t-τ（t））， t> 0，

x （t）= Φ （t）， t∈（-τ 2，0）.????? （5）

在分析時變時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性時需要如下引理：

引理1? （ Wirtinger 積分不等式[27] ） 給定一個矩陣 M >0，對于在[a，b]→ R? n上的所有連續(xù)可微函數g，有以下不等式成立：

另一方面，應用引理1的 Wirtinger 積分不等式來估計上式中 a（t）∫ t t-a（t） ?????T （t） Q 1? （t） d s，（τ（t）-a（t））×? ∫t-a（t） ?t-τ（t） ?????T （t） Q 2? （t） d s，（b（t） -τ（t））∫t-τ（t） ?t-b（t） ?????T （t） Q 2? （t） d s ?三項，由于采用了動態(tài)時滯區(qū)間方法，所以當使用 Wirtinger 積分不等式的時候，所考慮的時滯區(qū)間并不是原來的固定的時滯區(qū)間，因此得到的穩(wěn)定性判據定理也不再受限于固定時滯區(qū)間所帶來的保守性.

所以，如果式（6）滿足，那么由李雅普諾夫穩(wěn)定性理論，依賴采樣控制器的無人船系統(tǒng)（5）是漸進穩(wěn)定的.由此，完成了證明.

注1?? 在無人船控制系統(tǒng)中，由于船舶的控制指令依賴于數據采樣系統(tǒng)的傳輸指令，所以考慮數據采樣引起的時延是影響整個無人船控制系統(tǒng)的一個重要因素.定理1運用了動態(tài)時滯區(qū)間方法來分析時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性.由于動態(tài)時滯區(qū)間方法的區(qū)間可調節(jié)性，在分析中，穩(wěn)定性判據的保守性被大大降低了，這為分析無人船數據采樣在何種程度的延遲上能夠被有效控制提供了較精確的理論依據.

注2?? 文獻[28]將動態(tài)時滯區(qū)間方法應用于神經網絡系統(tǒng)穩(wěn)定性分析中，并得到了保守性較少的理論成果.本文簡化了文獻[28]的李雅普諾夫泛函，并得到了基于數據采樣的無人船舵減搖閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性判定定理.由于所考慮的自由權參數個數的減少，這種在李雅普諾夫泛函設計上的簡化使得動態(tài)時滯區(qū)間方法可以更高效地提高所考慮的系統(tǒng)的最大允許上界.由于運用較少矩陣變量得到較少保守性的時滯系統(tǒng)穩(wěn)定性判定定理一直是時滯理論應用的重要著眼點[32] ，因此，是否可以對李雅普諾夫泛函進一步簡化來得到相對較好的結果依然是一個非常值得討論的問題.

3 仿真結果

本節(jié)給出了一個例子，選用文獻[26]、文獻[27]和本文所用方法進行比對，最終結果表明本文采用的方法比前兩者提出的方法的保守性更小.

例1?? 對于式（2）中的系統(tǒng)矩陣 A，B ，選擇文獻[11]所用參數：

U=7.8 ?m/s ， T v=1.8/U， T r=2/U，

K dr =-0.003 6U， K dp =-0.002 2U 2，

K dv =0.06U， K vp =0.16U，

K vr =-0.58 ?m/s ， ω n=2.2 ?rad/s ，

ζ=0.58+0.67U，

K =[0.076 3 0.238 5 0.537 4 -0.019 8 0.396 3].

因為τ（t）=t-t k，所以 （t）=1，那么，對于給定的時滯下界τ 1，使得系統(tǒng)可以漸近穩(wěn)定的最大時滯上界τ 2，如表1所示.分別選用文獻[26]、文獻[27]和本文所用方法進行仿真，由表1可以明顯看出，本文的方法可以得到更大的時滯上界.

4 結束語

本文研究了具有時變時滯的基于數據采樣的無人船舵減搖閉環(huán)控制系統(tǒng)穩(wěn)定 性.采用動態(tài)時滯區(qū)間????? 表1 當 ?（t）=1 時的時滯最大上界的方法，將固定的時滯區(qū)間擴展為動態(tài)的時滯區(qū)間，并且采用了Wirtinger積分不等式和反凸組合的方法處理LKF的導數項.最后，將本文所用方法與文獻[26]、文獻[27]所提方法進行比較，結果表明本文方法能夠得到保守性更小的穩(wěn)定性結果.這將允許有更多的能力來應對采樣引起的延遲，對降低船舶設備的故障率有重要意義.

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Stability analysis for a sampled-data rudder roll system of

an unmanned surface vehicle with time-varying delay

BAI Yuming 1 CHEN Zengzhi 1 SHAN Qihe 1 LI Tieshan 1

1 Navigation College，Dalian Maritime University，Dalian 116026

Abstract? This paper is concerned with the stabilization of sampled-data-based unmanned surface vehicle （USV）rudder roll closed-loop control system.Considering the delay in the sampling process，we discuss the dynamic delay interval method and construct a corresponding Lyapunov-Krasovskii function （LKF）.This method extends the fixed interval to a dynamic interval，which not only relaxes the restriction of upper and lower bounds to the delay interval but also can obtain a much less conservative delay-dependent stability criterion based on linear matrix inequality （LMI）.Therefore，one can obtain a much more relaxed criterion to analyze the stability of a sampled-data-based USV rudder roll closed-loop control system.To this end，an example is given to illustrate the effectiveness of the proposed method.

Key words? sampled-data system;unmanned surface vehicle （USV）;time-varying delay;dynamic delay interval method