陶躍躍

摘要

本文研究了一類具有異步控制器的離散馬爾可夫Lure跳變系統(tǒng)的穩(wěn)定性及 2增益性能.通過引入隱馬爾可夫模型（HHM）來描述所設計的控制器和原始系統(tǒng)之間出現(xiàn)的異步現(xiàn)象.利用線性矩陣不等式（LMI）方法分析了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和 2增益性能.然后提出了一個充分條件使得閉環(huán)系統(tǒng)隨機穩(wěn)定，并使得從擾動到系統(tǒng)輸出的 2增益達到最小.同時，通過求解給定條件來設計一個由線性狀態(tài)反饋和扇形有界非線性輸出反饋組成的異步控制器.最后，給出了一個數(shù)值仿真例子來驗證所提方法的有效性.

關鍵詞 馬爾可夫跳變系統(tǒng);Lure系統(tǒng);e2增益;隨機穩(wěn)定性;異步控制器

中圖分類號? TP273

文獻標志碼? A

0 引言

作為一類重要的隨機切換系統(tǒng)，馬爾可夫跳躍系統(tǒng)（MJSs）因其對有參數(shù)或系統(tǒng)結構突然變化的系統(tǒng)建模中的強大能力而備受關注，例如，環(huán)境干擾、執(zhí)行器故障和子系統(tǒng)中的互連變化等.在過去的幾十年中，大量用于穩(wěn)定性分析和控制器/濾波器設計的工作已經(jīng)被發(fā)表，如文獻[1-6].

在大多數(shù)現(xiàn)有工作中，通常假設控制器/濾波器能夠獲得全部的系統(tǒng)模態(tài)信息，因此控制器/濾波器模態(tài)可以與系統(tǒng)模態(tài)同步運行.不幸的是，在實際應用中，由于一些意想不到的因素，例如時間延遲、網(wǎng)絡控制系統(tǒng)中的丟包及量化等，上述理想假設很難被滿足.為了克服這個嚴格的限制，學者們提出了兩種研究方法，分別被稱為模態(tài)非依賴方法和異步方法.在模態(tài)非依賴方法[6-7] 中，控制器的模態(tài)是與系統(tǒng)模態(tài)相互獨立的，也就是說，系統(tǒng)模態(tài)不會影響到控制器的模態(tài).但是這樣也使得系統(tǒng)模態(tài)信息未被有效利用，可能會導致一些保守性.因此，利用異步方法來研究馬爾可夫跳變系統(tǒng)的控制/濾波問題在近幾年得到了更多的關注.文獻[8]針對一類具有隨機出現(xiàn)傳感器非線性的離散馬爾可夫跳變系統(tǒng)，使用一個分段齊次馬爾可夫鏈設計了一個異步 2- ∞濾波器，使得系統(tǒng)隨機穩(wěn)定.文獻[9]又采用一種新的隱馬爾可夫模型設計了一個異步控制器，來確保系統(tǒng)的被動性能;同時，文中提出的方法覆蓋了同步的情況.近年來，借助這種隱馬爾可夫模型，許多學者針對異步控制器/濾波器設計問題進行了大量的研究.例如，文獻[10]設計了一個針對網(wǎng)絡控制系統(tǒng)的異步濾波器.文獻[11]和[12]分別對離散、連續(xù)馬爾可夫跳變系統(tǒng)的異步濾波器設計問題進行了討論.文獻[13]則針對一類系統(tǒng)信息部分已知的離散馬爾可夫跳變系統(tǒng)，設計了一個異步控制器，并保證系統(tǒng)是隨機穩(wěn)定的.

非線性是一種在實際控制系統(tǒng)中普遍存在的現(xiàn)象.在眾多非線性系統(tǒng)模型中，Lure系統(tǒng)[14] 在近年來受到了許多關注.該系統(tǒng)由一個線性部分和一個扇形有界的非線性組成.針對Lure系統(tǒng)的穩(wěn)定性及控制器/濾波器設計問題，學者們已經(jīng)進行了大量的研究.文獻[15]和[16]分別在離散時域和連續(xù)時域討論了具有飽和和扇形有界的非線性Lure系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性問題.他們采用了一種由線性狀態(tài)反饋和扇形有界的非線性輸出反饋組成的控制器，大大提高了系統(tǒng)設計的靈活性，同時降低了結論的保守性，這一控制器結構被其他研究者大量采用.文獻[17]針對一類系統(tǒng)模態(tài)轉移矩陣部分已知且具有控制器飽和的離散時域非線性馬爾可夫跳變系統(tǒng)，采用隨機二次型李雅普諾夫泛函研究了系統(tǒng)穩(wěn)定性和 2增益問題.隨后，文獻[18]采用了一種新型的李雅普諾夫泛函，即Lure型李雅普諾夫泛函，該泛函包含了文獻[17]中的隨機二次型部分，同時添加了隨機扇形有界的非線性部分，使得所得結果的保守性更低.文獻[19]采用了隨機Lure型李雅普諾夫泛函研究了離散系統(tǒng)的隨機穩(wěn)定性問題.迄今為止，離散馬爾可夫Lure跳變系統(tǒng)的異步控制器設計問題仍然未見相關報道，這促使我們進行現(xiàn)在的工作.

本文研究了一類具有異步控制器的離散馬爾可夫Lure跳變系統(tǒng)的隨機穩(wěn)定性及 2增益最優(yōu)化問題.本文的主要貢獻如下：1）根據(jù)隱馬爾可夫模型，設計了一個包含線性狀態(tài)反饋和扇形有界的非線性輸出反饋的控制器;2）給出了一個LMI形式的且使得系統(tǒng)具有最小 2增益性能的充分條件.本文以下面的方式組織：第一部分介紹了系統(tǒng)模型，并給出了一些需要的預備知識;第二部分首先分析了待分析系統(tǒng)的隨機穩(wěn)定性問題，然后設計了一個控制器來確保系統(tǒng)的隨機穩(wěn)定性且使得系統(tǒng)具有最小 2增益;第三部分提供了一個數(shù)值仿真例子來闡述本文所提方法的有效性;第四部分為總結.

1 預備知識

圖2給出了一個可能的系統(tǒng)模態(tài)和控制器模態(tài)時間序列.本文選擇系統(tǒng)初始狀態(tài)為 x ?0= 2，-2.5? ?T ，外界擾動假定為 w ?k= sin （k）×0.85 k.由圖3可以看出，當系統(tǒng)未采用控制器時，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的.但是將設計的控制器施加到系統(tǒng)中時，可以得到如圖4所示的系統(tǒng)狀態(tài)曲線以及圖5所示的系統(tǒng)輸入曲線.通過對比圖3及圖4、圖5可以發(fā)現(xiàn)，所采用的控制器可以使得系統(tǒng)從不穩(wěn)定變成穩(wěn)定的系統(tǒng)，說明本文方法是正確且有效的.

4 結論

本文設計了一種由線性狀態(tài)反饋及滿足扇形有界的非線性輸出反饋組成的異步控制器，研究了一類離散馬爾可夫跳變Lure系統(tǒng)的隨機穩(wěn)定性及 2增益問題.控制器模態(tài)與系統(tǒng)模態(tài)之間的異步由一個隱馬爾可夫模型描述.在線性矩陣不等式及李雅普諾夫泛函方法的幫助下，我們分別在系統(tǒng)隨機穩(wěn)定性及 2增益問題上得到了兩個定理.文中給出了一個數(shù)值例子來驗證提出方法的有效性.但是，值得注意的是，在未來仍然有許多有意義的工作可以討論.例如，對于含有異步控制器的馬爾可夫跳變Lure系統(tǒng)，由于系統(tǒng)模態(tài)概率轉移矩陣 Π 及控制器條件模態(tài)概率轉移矩陣 Φ 的信息很難全部得到，因此研究含有不確定元素的情況是非常有意義的.另一方面，如果采用文獻[19]介紹的新型李雅普諾夫泛函或許可以得到一個更加不保守的穩(wěn)定性條件.

參考文獻

References

[ 1 ]?Lin ?H，Su H，Chen M Z Q，et al.On stability and convergence of optimal estimation for networked control systems with dual packet losses without acknowledgment[J].Automatica，2018，90：81-90

[ 2 ] Karan ?M，Shi P，Kaya C Y.Transition probability bounds for the stochastic stability robustness of continuous-and discrete-time Markovian jump linear systems[J].Automatica，2006，42（12）：2159-2168

[ 3 ] Lu R，Zou H，Su H，et al.Robust D-stability for a class of complex singularly perturbed systems[J].IEEE Transactions on Circuits & Systems Ⅱ：Express Briefs，2008，55（12）：1294-1298

[ 4 ] Lu ?R，Xu Y，Xue A，et al.Networked control with state reset and quantized measurements：observer-based case[J].IEEE Transactions on Industrial Electronics，2013，60（11）：5206-5213

[ 5 ] Wu Z G，Shi P，Su H，et al.Stochastic synchronization of Markovian jump neural networks with time-varying delay using sampled data[J].IEEE Transactions on Cybernetics，2013，43（6）：1796-1806

[ 6 ] Todorov M G，F(xiàn)ragoso M D.New methods for mode-independent robust control of Markov jump linear systems[J].Systems & Control Letters，2016，90：38-44

[ 7 ] Wu H N，Cai K Y.Mode-independent robust stabilization for uncertain Markovian jump nonlinear systems via fuzzy? control[J].IEEE Transactions on Systems，Man & Cybernetics，Part B（Cybernetics），2006，36（3）：509-519

[ 8 ] Wu ?Z G，Shi P，Su H，et al.Asynchronous e2 infty filtering for discrete-time stochastic Markov jump systems with randomly occurred sensor nonlinearities[J].Automatica，2014，50（1）：180-186

[ 9 ] Wu Z G，Shi P，Shu Z，et al.Passivity-based asynchronous control for Markov jump systems[J].IEEE Transactions on Automatic Control，2017，62（4）：2020-2025

[10] Shen Y，Wu Z G，Shi P，et al.Asynchronous filtering for Markov jump neural networks with quantized outputs[J].IEEE Transactions on Systems，Man & Cybernetics：Systems，2018，99：1-11

[11] Zhang H，Lun S，Liu D.Fuzzy ?H ?∞ filter design for a class of nonlinear discrete-time systems with multiple time delays[J].IEEE Transactions on Fuzzy Systems，2007，15（3）：453-469

[12] Shanlingdong S，Wu Z G，Pan Y J，et al.Hidden-Markov-model-based asynchronous filter design of nonlinear Markov jump systems in continuous-time domain[J].IEEE Transactions on Cybernetics，2018，99：1-11

[13] Song J，Niu Y，Zhao H，et al.Finite-time e 2-e ∞ control of Markovian jump linear systems with partly accessible hidden information via asynchronous output feedback[C]∥2017 11th Asian Control Conference.IEEE，2017：2447-2452