彈性地基上轉(zhuǎn)動(dòng)功能梯度材料Timoshenko梁自由振動(dòng)的微分變換法求解

滕兆春 昌 博 付小華

蘭州理工大學(xué)理學(xué)院，蘭州，730050

0 引言

功能梯度材料（functionally graded material，F(xiàn)GM）是將不同材料組分從一側(cè)向另一側(cè)連續(xù)變化的先進(jìn)復(fù)合材料，和層壓復(fù)合工藝相比，功能梯度材料特性在特定的尺寸內(nèi)變化平緩，沒有材料性能的突變。功能梯度材料通常由不同的兩種材料組合而成，例如陶瓷和金屬材料。傳統(tǒng)復(fù)合材料中，在相鄰層的連接處，材料特性會(huì)發(fā)生突變，從而產(chǎn)生很大的剪切應(yīng)力，而功能梯度材料具有很多優(yōu)點(diǎn)，例如能夠確保應(yīng)力分布的平穩(wěn)過渡、最小化或者消除應(yīng)力集中現(xiàn)象、增加兩種不同材料在連接處的黏合強(qiáng)度［1-2］，因此，采用功能梯度材料制作的結(jié)構(gòu)在工程中得到大量運(yùn)用，包括航空結(jié)構(gòu)、核反應(yīng)堆、化工廠、光學(xué)器件、半導(dǎo)體和生物工程等。

關(guān)于功能梯度材料梁的力學(xué)行為研究，目前已有較多成果，例如SINA等［3］采用一種不同于一階剪切梁理論的新理論，用解析法研究了材料性質(zhì)由厚度方向按冪指數(shù)連續(xù)變化的功能梯度材料梁的自由振動(dòng)，并和其他梁理論的結(jié)果做了對比。李世榮等［4］基于Euler-Bernoulli梁理論，研究了材料性質(zhì)沿厚度連續(xù)變化的功能梯度材料梁的彎曲、屈曲和自由振動(dòng)問題，并得到了與均勻材料梁的解之間的相似轉(zhuǎn)換關(guān)系。LI［5］研究了功能梯度材料Timoshenko梁和Euler-Bernoulli梁的靜態(tài)彎曲和應(yīng)力分布，也研究了波在梁中的傳播以及梁的自由振動(dòng)。MOHANTY等［6］基于Timoshenko梁理論，采用有限單元法研究了轉(zhuǎn)動(dòng)功能梯度材料和夾層功能梯度材料懸臂梁的自由振動(dòng)問題，給出了梁的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、輪轂半徑和轉(zhuǎn)速對前兩階模態(tài)頻率的影響。在以上梁的力學(xué)分析中，經(jīng)典梁理論（Euler-Bernoulli梁理論）忽略橫向剪切變形的影響，故僅適用于細(xì)長梁；而一階剪切梁理論（Timoshenko梁理論）克服了經(jīng)典梁理論的局限性，考慮了橫向剪切變形的影響，能適用于比較短和粗的梁，也使得計(jì)算結(jié)果更貼合工程實(shí)際［7］。

微分變換法（differential transform method，DTM）是一種有效的將線性或非線性微分方程（組）變換成代數(shù)方程（組）求解的半解析方法，最初被用于電路中問題的分析［8］，近年來DTM也逐漸用于結(jié)構(gòu)的靜動(dòng)力學(xué)響應(yīng)求解［9-11］，DTM具有較高的計(jì)算精度和計(jì)算效率，所得結(jié)果完全能滿足工程要求。目前，關(guān)于彈性地基上轉(zhuǎn)動(dòng)功能梯度材料Timoshenko梁的自由振動(dòng)問題研究，在國內(nèi)外還未見文獻(xiàn)報(bào)道。本文采用DTM對彈性地基上轉(zhuǎn)動(dòng)功能梯度材料Timoshenko梁的自由振動(dòng)問題展開研究。

1 控制微分方程及參數(shù)的量綱一化

圖1 彈性地基上轉(zhuǎn)動(dòng)功能梯度材料Timoshenko梁的幾何尺寸和坐標(biāo)系Fig.1 Geometry and co-ordinate system of a rotating FGM Timoshenko beam on elastic foundations

考慮圖1所示放置在Winkler彈性地基上并隨地基一起轉(zhuǎn)動(dòng)的功能梯度材料Timoshenko矩形截面梁。梁的長度為l，高度為h，寬度為b，Winkler彈性地基模量為K。以梁的軸向方向和厚度方向分別建立x軸和z軸，梁和地基一同繞z軸以轉(zhuǎn)速Ω轉(zhuǎn)動(dòng)。梁的材料由陶瓷和金屬復(fù)合而成，材料組分由下表面的純金屬連續(xù)變化到上表面的純陶瓷，則材料性質(zhì)沿厚度方向呈梯度分布。材料的主要物理參數(shù)有彈性模量E、剪切模量G和質(zhì)量密度ρ。假設(shè)材料組分的體積分?jǐn)?shù)沿厚度按冪指數(shù)變化［2］：

其中，下標(biāo)m和c分別表示金屬和陶瓷，Vm、Vc分別為金屬和陶瓷的體積分?jǐn)?shù)，n為材料梯度指數(shù)。于是功能梯度材料梁的材料性質(zhì)參數(shù)P（E、G和 ρ）可由下列混合律模型統(tǒng)一給出［2］：

假設(shè)功能梯度材料梁的物理中面在z=z0處，根據(jù)ZHANG等［12］提出的物理中面概念，其計(jì)算公式為

對于彈性地基上轉(zhuǎn)動(dòng)功能梯度材料Timosh?enko梁，文獻(xiàn)［13］給出的幾何方程為

式中，u0、w分別為物理中面上一點(diǎn)在x、z方向的位移；θ為梁橫截面的轉(zhuǎn)角；εxx為梁橫截面上任一點(diǎn)的線應(yīng)變；γxy、γxz為切應(yīng)變。

則梁的彎曲應(yīng)變能

將式（4）代入式（7）得

將式（8）展開并忽略某些高階小量項(xiàng)后得到

定義如下系數(shù) A1、A2、B1和 B2：

其中，A1和 A2分別稱為梁的拉伸剛度和彎曲剛度。彈性地基上轉(zhuǎn)動(dòng)功能梯度Timoshenko梁沿軸向的離心力

由離心力產(chǎn)生的物理中面上一點(diǎn)的應(yīng)變與軸向位移的關(guān)系為

聯(lián)立式（9）～式（11），得到梁的彎曲應(yīng)變能

其中，C1為常數(shù)。由剪切變形產(chǎn)生的應(yīng)變能

將式（5）和式（6）代入式（13）得

式中，C為剪切剛度。

將式（12）與式（14）相加，得到梁的總應(yīng)變能

梁的動(dòng)能

其中，C2為常數(shù)。外力做功

式中，K為彈性地基模量。

彈性地基上轉(zhuǎn)動(dòng)功能梯度材料Timoshenko梁利用廣義Hamilton原理［14］：

式中，T為系統(tǒng)的動(dòng)能；U為系統(tǒng)的彈性勢能；δ為變分符號；t1、t2分別為系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的初始時(shí)刻和終止時(shí)刻。

將式（15）～式（17）代入式（18），可得到彈性地基上轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)功能梯度Timoshenko梁橫向運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)控制微分方程：

式中，k為剪切修正系數(shù)。

對于FGM梁的自由振動(dòng)，可令

式中，為模態(tài)函數(shù)；ω為固有頻率。

將式（21）和式（22）代入式（19）和式（20），得到彈性地基上轉(zhuǎn)動(dòng)功能梯度材料Timoshenko梁自由振動(dòng)的控制微分方程：

引入如下的量綱一變量：

式中，r為量綱一轉(zhuǎn)動(dòng)慣量參數(shù)；η為量綱一轉(zhuǎn)速；s為量綱一剪切模量；μ為量綱一固有頻率；λ為量綱一彈性地基模量。

離心力用量綱一坐標(biāo)ξ表示的表達(dá)式為

則彈性地基上轉(zhuǎn)動(dòng)功能梯度材料Timoshenko梁自由振動(dòng)問題的量綱一控制微分方程為

彈性地基上轉(zhuǎn)動(dòng)功能梯度材料Timoshenko梁的邊界條件只考慮工程實(shí)際中最常見的幾種情況：

（1）ξ=0處：

（2）ξ=1處：

2 量綱一控制方程及邊界條件的DTM變換

DTM是一種能有效地將線性或非線性微分方程（組）變換成代數(shù)方程（組）求解的半解析方法，它基于Taylor級數(shù)展開來求解微分方程，使用充分可微的多項(xiàng)式形式作為精確解的近似形式。經(jīng)DTM變換，可將原微分方程（組）和系統(tǒng)邊界條件轉(zhuǎn)化為適于計(jì)算機(jī)編程的代數(shù)方程（組）。對于原函數(shù) f(x)，根據(jù)函數(shù)的Taylor公式，經(jīng)過DTM變換后的函數(shù)F(k)定義為［8］

F(k)的逆變換為

或

在實(shí)際應(yīng)用中，函數(shù) f(x)只考慮級數(shù)的有限項(xiàng)，式（29）可改寫為

其中，正整數(shù)m表示Taylor級數(shù)的項(xiàng)數(shù)，通常情況下可通過增大m的值來提高解的精度。

分別用Φ和Θ表示變量W和的微分變換形式，則彈性地基上轉(zhuǎn)動(dòng)功能梯度材料Timoshen?ko梁自由振動(dòng)問題的量綱一控制微分方程（式（26）和式（27））經(jīng)DTM變換并化簡后如下：

經(jīng)DTM變換后的量綱一邊界條件為

（1）當(dāng) ξ=0時(shí)：

夾緊（C）：Φ(0)=0，Θ(0)=0

（2）當(dāng) ξ=1時(shí)：

3 結(jié)果計(jì)算及分析

計(jì)算中功能梯度材料Timoshenko梁的材料物性參數(shù)分別取值如下［15］：ρc=3 960 kg/m3，ρm=2 702 kg/m3，Ec=380 GPa，Em=70 GPa。通過編寫MATLAB程序可獲得式（30）和式（31）在各邊界條件下特征值問題的量綱一固有頻率。為了驗(yàn)證計(jì)算模型的準(zhǔn)確性及DTM求解方法的有效性，表1給出了量綱一轉(zhuǎn)動(dòng)慣量r分別為0.05，0.06，0.07，0.08，0.09，0.1時(shí)和量綱一轉(zhuǎn)速 η分別為0，4時(shí)，將原問題控制微分方程退化到均勻材料且無彈性地基時(shí)Timoshenko懸臂梁的量綱一基頻計(jì)算結(jié)果，并與文獻(xiàn)［15］的動(dòng)力剛度法求解結(jié)果做比較。由表1可看出，本文結(jié)果與文獻(xiàn)［15］完全一致。計(jì)算中梯度指數(shù)n=0，剪切修正系數(shù)k=2/3，泊松比 υ=1/3，量綱一固有頻率

表2給出了當(dāng)梯度指數(shù)n=1時(shí)，控制微分方程退化到無轉(zhuǎn)動(dòng)速度和無彈性地基時(shí)功能梯度材料Timoshenko懸臂梁的前3階量綱一固有頻率的計(jì)算結(jié)果，并和文獻(xiàn)［16］中的Chebyshev配點(diǎn)法求解結(jié)果做了比較。由表2也可看出，本文結(jié)果與文獻(xiàn)［16］基本一致。計(jì)算中細(xì)長比l/h=10，量綱一固有頻率

表1 均勻材料Timoshenko懸臂梁的量綱一基頻比較Tab.1 Comparison of dimensionless fundamental frequencies of homogeneous material Timoshenko beams with cantilever end condition

表2 功能梯度材料Timoshenko懸臂梁的前3階量綱一固有頻率比較（l/h=10，n=1）Tab.2 Comparison of first three natural frequencies of functionally graded material Timoshenko beams with cantilever end condition（l/h=10，n=1）

圖2分別給出了C-C、C-S和C-F邊界條件下梁的前階量綱一固有頻率μ與梯度指數(shù)n之間的關(guān)系曲線。由圖2可見，在功能梯度材料梁轉(zhuǎn)速η和彈性地基模量λ一定的情況下，量綱一固有頻率μ隨著梁梯度指數(shù)n的增大而減小，且高階量綱一固有頻率變化比較明顯，低階量綱一固有頻率特別是量綱一基頻變化較小。功能梯度材料梯度指數(shù)n在0～1范圍內(nèi)變化時(shí)頻率改變比較劇烈，此后逐漸趨于定值，這一點(diǎn)完全符合功能梯度材料梁的材料由陶瓷向金屬過渡的特點(diǎn)。

圖3分別給出了C-C、C-S和C-F邊界條件下梁的前4階量綱一固有頻率μ與量綱一轉(zhuǎn)速η之間的關(guān)系曲線。由圖3可以看出，在功能梯度材料指數(shù)n和彈性地基模量λ一定的情況下，隨著量綱一轉(zhuǎn)速η的增大，由于轉(zhuǎn)動(dòng)而產(chǎn)生的離心剛化效應(yīng)逐漸增強(qiáng)，梁的量綱一固有頻率μ也逐漸增大，且對高階量綱一固有頻率的影響比較明顯。這也說明在振動(dòng)分析中，對高階固有頻率的變化關(guān)系也需要加以關(guān)注。

圖2 前4階量綱一固有頻率μ與梯度指數(shù)n之間的關(guān)系曲線 (η=5,λ=100)Fig.2 The first four dimensionless natural frequenciesμ on graded index n(η=5,λ=100)

圖4 分別給出了C-C、C-S和C-F邊界條件下梁的前4階量綱一固有頻率μ與量綱一彈性地基模量λ之間的關(guān)系曲線。由圖4可看出，在功能梯度材料指數(shù)n和轉(zhuǎn)速η一定的情況下，量綱一固有頻率μ隨著量綱一彈性地基模量λ的增大而增大，并且量綱一彈性地基模量λ對低階量綱一固有頻率μ的影響比較明顯。

4 結(jié)論

（1）在功能梯度材料梁轉(zhuǎn)速η和彈性地基模量λ一定的情況下，量綱一固有頻率μ隨著功能梯度材料梯度指數(shù)n的增大而減小，且高階量綱一變化比較明顯，低階量綱一固有頻率特別是量綱一基頻變化較小。

圖3 前4階量綱一固有頻率μ與量綱一轉(zhuǎn)速η之間的關(guān)系曲線(n=1,λ=100)Fig.3 The first four dimensionless natural frequenciesμ on dimensionless rotating speedη(n=1,λ=100)

（2）在功能梯度材料指數(shù)n和彈性地基模量λ一定的情況下，量綱一固有頻率μ隨著量綱一轉(zhuǎn)速η的增大而增大，且對高階量綱一固有頻率的影響比較明顯。

（3）在功能梯度材料指數(shù)n和轉(zhuǎn)速η一定的情況下，量綱一固有頻率μ隨著量綱一彈性地基模量λ的增大而增大。量綱一彈性地基模量λ對低階量綱一固有頻率的影響比較明顯。

圖4 前4階量綱一固有頻率μ與量綱一彈性地基模量λ之間的關(guān)系曲線(n=1,η=5)Fig.4 The first four dimensionless natural frequenciesμ on dimensionless elastic foundation modulus(n=1,η=5)

［1］ BEVER M B，SHEN M.The Morphology of Polymeric Alloys［J］.Materials Science and Engineering，1974，15（2/3）：145-157.

［2］ ELISHAKOFF I，PENTARAS D，GENTILINI C.Me?chanics of Functionally Graded Material Structures［M］.Singapore：World Scientific，2016：13-22.

［3］ SINA S A，NAVAZI H M，HADDADPOUR H.An Ana?lytical Method for Free Vibration Analysis of Function?ally Graded Beams［J］.Materials and Design，2009，30（3）：741-747.

［4］ 李世榮，劉平.功能梯度梁與均勻梁靜動(dòng)態(tài)解間的相似轉(zhuǎn)換［J］.力學(xué)與實(shí)踐，2010，32（5）：45-49.LI Shirong，LIU Ping.Analogous Transformation of Static and Dynamic Solutions between Functionally Graded Material Beam and Uniform Beam ［J］.Me?chanics in Engineering，2010，32（5）：45-49.

［5］ LI X F.A Unified Approach for Analyzing Static and Dynamic Behaviors of Functionally Graded Timoshen?ko and Euler-Bernoulli Beams［J］.Journal of Sound and Vibration，2008，318（4）：1210-1229.

［6］ MOHANTY S C，DASH R R，ROUT T.Free Vibration of a Functionally Graded Rotating Timoshenko Beam Using FEM［J］.Advances in Structural Engineering，2013，16（2）：405-418.

［7］ MESUT S.Fundamental Frequency Analysis of Func?tionally Graded Beams by Using Different Higher-or?der Beam Theories［J］.Nuclear Engineering and De?sign，2010，240（4）：697-705.

［8］ 趙家奎.微分變換及其在電路中的應(yīng)用［M］.武漢：華中理工大學(xué)出版社，1988：67-151.ZHAO Jiakui.Differential Transformation and Its Ap?plication for Electrical Circuits［M］.Wuhan：Hua?zhong University of Science and Technology Press，1988：67-151.

［9］ LIU Z F，YIN Y Y，WANG F.Study on Modified Differ?ential Transform Method for Free Vibration Analysis of Uniform Euler-Bernoulli Beam［J］.Structural Engi?neering and Mechanics，2013，48（5）：697-709.

［10］ KAYA，M O.Free Vibration Analysis of a Rotating Ti?moshenko Beam by Differential Transform Method［J］.Aircraft Engineering and Aerospace Technology，2006，78（3）：194-203.

［11］ FARZAD E，MOHADESE M.Free Vibration Analy?sis of a Rotating Mori-Tanaka-based Functionally Graded Beam via Differential Transformation Method［J］.Arabian Journal for Science and Engineering，2016，41（2）：577-590.

［12］ ZHANG D G，ZHOU Y H.A Theoretical Analysis of FGM Thin Plates Based on Physical Neutral Surface［J］.Computational Materials Science，2008，44（2）：716-720.

［13］ GANGULI R.Finite Element Analysis of Rotating Beams［M］.Singapore：Springer，2017.

［14］ RAO S S.Vibration of Continuous Systems［M］.Hoboken：John Wiley and Sons，2007：317-392.

［15］ BANERJEE J R.Dynamic Stiffness Formulation and Free Vibration Analysis of Centrifugally Stiffened Ti?moshenko Beams［J］.Journal of Sound and Vibration，2001，247（1）：97-115.

［16］ WATTANASAKULPONG N，MAO Q B.Dynamic Re?sponse of Timoshenko Functionally Graded Beams with Classical and Non-classical Boundary Condi?tions Using Chebyshev Collocation Method［J］.Com?puters and Structures，2015，119：346-354.作