黃亮， 劉君強(qiáng)， 貢英杰

(南京航空航天大學(xué) 民航學(xué)院， 南京 211106)

發(fā)動機(jī)的失效是材料處于惡劣的運(yùn)行環(huán)境下緩慢退化的結(jié)果[1-2]。隨著系統(tǒng)復(fù)雜程度的提高，傳統(tǒng)基于失效機(jī)理模型的方法很難構(gòu)建出可靠的故障模型來對應(yīng)產(chǎn)品的失效過程[3-4]?；诮y(tǒng)計(jì)性能退化監(jiān)測數(shù)據(jù)的方法只需要運(yùn)行過程中產(chǎn)生的退化數(shù)據(jù)，不必建立精確的數(shù)學(xué)模型，具有較高的計(jì)算優(yōu)勢。

目前，基于統(tǒng)計(jì)性能退化監(jiān)測數(shù)據(jù)的壽命預(yù)測是研究的熱門[5-6]，并且已經(jīng)研究出多種性能退化模型，例如隨機(jī)系數(shù)模型[7]、隨機(jī)過程模型[8-9]和隨機(jī)濾波模型[10]等?；诮y(tǒng)計(jì)性能退化監(jiān)測數(shù)據(jù)的壽命預(yù)測方法，利用退化過程的隨機(jī)性求出剩余壽命的概率分布情況，便于反映預(yù)測結(jié)果的隨機(jī)性。在基于隨機(jī)過程模型中，最常采用Wiener過程。Wiener過程便于描述系統(tǒng)因受到外部環(huán)境影響、內(nèi)部的狀態(tài)改變以及負(fù)載情況，而具有隨機(jī)的非單調(diào)獨(dú)立增量過程[11]。由于Wiener過程可以用來描述隨機(jī)的非單調(diào)獨(dú)立增量過程，目前大量采用Wiener過程對復(fù)雜系統(tǒng)進(jìn)行性能退化建模[12]。通常所說的Wiener過程是指具有線性漂移系數(shù)的一類隨機(jī)過程[13-14]。Wang[15]提出了基于期望最大化(Expectation-Maximization，EM)算法的性能退化模型參數(shù)估計(jì)方法。

上述研究豐富了Wiener過程在剩余壽命預(yù)測領(lǐng)域中的應(yīng)用，但還存在著如下幾個(gè)問題：

1) 假設(shè)系統(tǒng)的性能退化過程是關(guān)于時(shí)間的線性函數(shù)，或運(yùn)用某些尺度轉(zhuǎn)換方法將非線性關(guān)系轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系[16]。例如Gebraeel[17]采用取對數(shù)方法將指數(shù)退化模型轉(zhuǎn)變?yōu)橐话愕木€性退化模型。然而，還有很多非線性退化過程無法轉(zhuǎn)換為線性的，例如航空發(fā)動機(jī)性能退化過程具有明顯的非線性特點(diǎn)，直接建立非線性退化模型更滿足實(shí)際情況。司小勝等[18]采用非線性Wiener過程對復(fù)雜系統(tǒng)的剩余壽命進(jìn)行研究。

2) 在目前的剩余壽命預(yù)測研究中，鮮有研究多階段退化的情況。劉君強(qiáng)等[19]在發(fā)動機(jī)的壽命預(yù)測中研究了多階段的情況，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明發(fā)動機(jī)的退化過程具有多階段性。

3) 如何體現(xiàn)個(gè)體性能退化的差異性。由于環(huán)境、材料和誤差等的影響，同類型產(chǎn)品的性能退化過程存在差異性，在產(chǎn)品的剩余壽命預(yù)測中需要考慮個(gè)體性能退化的差異性。劉君強(qiáng)等[19]提出性能退化模型參數(shù)具有隨機(jī)性，服從高斯-伽馬分布，從而反映出個(gè)體退化的差異性。

針對以上問題，本文根據(jù)航空發(fā)動機(jī)性能退化具有非線性、多階段的性質(zhì)，用多階段非線性Wiener過程構(gòu)建出性能退化模型。根據(jù)多個(gè)同類產(chǎn)品歷史性能退化監(jiān)測數(shù)據(jù)，利用極大似然估計(jì)與一維搜索方法，進(jìn)行參數(shù)先驗(yàn)分布的估計(jì)，在先驗(yàn)分布和實(shí)時(shí)獲取的個(gè)體發(fā)動機(jī)退化數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，用貝葉斯方法求得參數(shù)的后驗(yàn)分布，從而實(shí)現(xiàn)對個(gè)體發(fā)動機(jī)剩余壽命的實(shí)時(shí)精確預(yù)測。

1 剩余壽命預(yù)測模型

1.1 模型分析與假設(shè)

通過分析航空發(fā)動機(jī)具有復(fù)雜多階段非線性的性能退化特點(diǎn)，本文將采用多階段非線性的Wiener過程建立性能退化模型。在該非線性Wiener過程中漂移系數(shù)不再與時(shí)間無關(guān)，而是關(guān)于時(shí)間的非線性函數(shù)?；诜蔷€性Wiener過程的性能退化模型可以表示為

(1)

式中：X(t)為在時(shí)刻t的性能退化量；u(t;θ)為非線性Wiener過程的漂移系數(shù)，θ為漂移系數(shù)的非線性函數(shù)中的未知參數(shù)；σ為擴(kuò)散系數(shù)；B(t)為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動。當(dāng)u(t;θ)=u時(shí)，上述非線性性能退化模型轉(zhuǎn)化為一般線性Wiener退化模型。

為了通過實(shí)際發(fā)動機(jī)監(jiān)測數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)例的驗(yàn)證,根據(jù)文獻(xiàn)[8]，本文假設(shè)u(t;θ)=urtr-1，此時(shí)的非線性退化模型變?yōu)?/p>

X(t)=utr+σB(t)

(2)

式中：r為漂移系數(shù)的非線性函數(shù)中的未知參數(shù)。

利用Wiener過程進(jìn)行多階段非線性的退化建模需要做出以下假設(shè):

假設(shè)1當(dāng)性能退化量沒有超過失效閾值時(shí)，發(fā)動機(jī)處于正常狀態(tài)；超過失效閾值時(shí)，則發(fā)動機(jī)處于失效狀態(tài)。

假設(shè)2為描述航空發(fā)動機(jī)性能退化的個(gè)體差異性，將模型參數(shù)u,σ2視為隨機(jī)變量，設(shè)w=1/σ2,可得u,w的聯(lián)合分布是高斯-伽馬分布：

(3)

式中：a、b、c、d為u和w組成的聯(lián)合分布中的參數(shù)。

1.2 多階段性能退化模型

多階段的性能退化模型可以表示為

X(t)=(X(0)+X1(t))I(0,t1)(t)+(X(t1)+

X2(t-t1))I(t1,t2)(t)+…+(X(tn-1)+

Xn(t-tn-1))I(tn-1,∞)(t)

(4)

式中：I(t)為示性函數(shù)；X(0)為性能退化模型的初始值；X(ti)為ti時(shí)的性能退化值，ti為到達(dá)每個(gè)性能退化分界值的時(shí)間；Xn(t-tn-1)為第n階段的退化函數(shù)。

根據(jù)1.1節(jié)分析與假設(shè)，本文將使用多階段非線性的Wiener隨機(jī)過程構(gòu)建出性能退化模型。此時(shí)，X(t)表示為

X(t)=(u1tr1+σ1B(t))I(0,t1)(t)+[W1+

u2(t-t1)r2+σ2B(t-t1)]I(t1,t2)(t)+…+

[Wn-1+un(t-tn-1)+σnB(t-tn-1)]·

I(tn-1,∞)(t)

(5)

式中：Wn-1為第n-1個(gè)性能退化階段的分界值。

1.3 壽命分布

剩余壽命Lt′定義為產(chǎn)品自t′時(shí)的退化量X(t′)到其第一次超出失效閾值Wn所用的時(shí)間，剩余壽命Lt′表達(dá)式為

Lt′=inf{X(t+t′)≥WnX(t′)≤Wn}=

inf{X(t+t′)-X(t′)≥Wn-X(t′)}

(6)

式中：X(t′)和X(t+t′)分別為在t′和t′+t時(shí)刻的性能退化量；Wn為失效閾值。

因?yàn)楸疚臉?gòu)建的退化模型考慮了非線性的性質(zhì)，很難計(jì)算求得Lt′的準(zhǔn)確分布。為此，Si等[8]給出了剩余壽命概率密度函數(shù)的一個(gè)近似表達(dá)式。航空發(fā)動機(jī)的剩余壽命Lt′的概率密度函數(shù)為

(7)

1.4 剩余壽命預(yù)測的多階段性

令ξk為航空發(fā)動機(jī)性能退化量X(t)從初始時(shí)刻到其第一次超過第k個(gè)性能退化階段分界值Wk的時(shí)間，ξk為

ξk=inf{t:X(t)≥Wk,t>0}

(8)

根據(jù)Wiener過程的齊次馬爾可夫性質(zhì)，則ξk可以改寫為

ξk=ξk-1+inf{t:X′(t)≥Wk-Wk-1,t>0}

(9)

式中：X′(t)為第k個(gè)階段的性能退化模型；X′(t)=uktrk+σkB(t)，其中uk、rk和σk表示第k個(gè)階段性能退化模型的參數(shù)。

令Δξk=ξk-ξk-1，ΔWk=Wk-Wk-1，則式(9)可以改寫為

Δξk=inf{t:X′(t)≥ΔWk,t>0}

(10)

根據(jù)式(7)可得第k個(gè)性能退化階段的壽命分布函數(shù)為

(11)

由式(11)可以推導(dǎo)出航空發(fā)動機(jī)壽命T為

T=Δξ1+Δξ2+…+Δξn

(12)

(13)

當(dāng)t′時(shí)刻的性能退化量X(t′)滿足要求X(ξk-1)≤X(t′)≤X(ξk)，Lt′表達(dá)式為

Lt′=(ξk-t′)+Δξk+1+…+Δξn

(14)

2 參數(shù)估計(jì)

由于很難直接估算出未知超參數(shù)a、b、c和d的值，本文將采用兩階段方法進(jìn)行估計(jì)。首先，根據(jù)現(xiàn)有的航空發(fā)動機(jī)的歷史退化監(jiān)測數(shù)據(jù)，利用極大似然估計(jì)與一維搜索方法估算出一組u,σ2的值。然后，根據(jù)估算出的一組u,σ2的值，再利用極大似然估計(jì)方法估算出a、b、c和d的值。

2.1 第1階段參數(shù)估計(jì)

假設(shè)現(xiàn)在共有m個(gè)同類型的航空發(fā)動機(jī)的性能退化監(jiān)測數(shù)據(jù)，其中第i個(gè)發(fā)動機(jī)的第k個(gè)階段的監(jiān)測時(shí)刻記為tik1,tik2,…,tikn，與此時(shí)刻相對應(yīng)的性能退化監(jiān)測數(shù)據(jù)記為yik1,yik2,…,yikn。

(15)

式中：yikj為第i個(gè)發(fā)動機(jī)在第k個(gè)階段的第j次監(jiān)測值；tik-1為第i個(gè)發(fā)動機(jī)到達(dá)第k-1個(gè)階段分界值的時(shí)間；nik為第i個(gè)發(fā)動機(jī)在第k個(gè)階段的監(jiān)測次數(shù)；tikj為第i個(gè)發(fā)動機(jī)在第k個(gè)階段的第j次監(jiān)測時(shí)間。

(16)

根據(jù)式(15)進(jìn)一步可求得m個(gè)航空發(fā)動機(jī)的退化模型參數(shù)Θ=[uik,rik,σik]的完全對數(shù)似然函數(shù)為

(17)

2.2 第2階段參數(shù)估計(jì)

l(ak,bk,ck,dkuik,wik)=

(18)

極大化l(ak,bk,ck,dkuik,wik)，求得估計(jì)值為

(19)

3 基于貝葉斯方法的模型參數(shù)更新

由于材料、環(huán)境等外界因素的影響，同一型號發(fā)動機(jī)的性能退化路徑存在著個(gè)體的差異性。ΔYk=(Δy1,k,Δy2,k,…,Δyn,k)為個(gè)體發(fā)動機(jī)處于第k個(gè)退化過程的監(jiān)測數(shù)據(jù)。

當(dāng)獲得個(gè)體發(fā)動機(jī)實(shí)時(shí)性能退化數(shù)據(jù)后，根據(jù)貝葉斯方法可得第k個(gè)性能退化階段的參數(shù)uk和wk的后驗(yàn)分布為

f(uk,wkΔYk)∝l(ΔYkuk,wk)f(uk,wk)

(20)

式中：f(uk,wkΔYk)為個(gè)體發(fā)動機(jī)第k性能退化階段模型參數(shù)的后驗(yàn)分布函數(shù)；f(uk,wk)為第k性能退化階段的模型參數(shù)uk和wk的先驗(yàn)分布函數(shù)；l(ΔYkuk,wk)為似然函數(shù)。

根據(jù)文獻(xiàn)[20]中共軛先驗(yàn)分布的性質(zhì)，個(gè)體發(fā)動機(jī)第k個(gè)性能退化階段中的模型參數(shù)uk和wk更新后的后驗(yàn)分布表達(dá)式為

(21)

式中：

(22)

由于參數(shù)u和w的聯(lián)合分布是高斯-伽馬分布，更新后的uk和wk的后驗(yàn)分布期望為

(23)

4 個(gè)體發(fā)動機(jī)的實(shí)時(shí)剩余壽命預(yù)測

根據(jù)發(fā)動機(jī)的歷史性能監(jiān)測數(shù)據(jù)和單臺發(fā)動機(jī)的實(shí)時(shí)監(jiān)測數(shù)據(jù)，建立多階段航空發(fā)動機(jī)性能退化模型。首先利用極大似然估計(jì)和一維搜索方法，進(jìn)行參數(shù)先驗(yàn)分布的估計(jì)。在先驗(yàn)分布和實(shí)時(shí)獲取的個(gè)體發(fā)動機(jī)退化數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，采用貝葉斯方法對參數(shù)分布更新。從而實(shí)現(xiàn)對個(gè)體發(fā)動機(jī)剩余壽命的實(shí)時(shí)精確預(yù)測。剩余壽命預(yù)測的具體步驟如圖1所示。

步驟1基于歷史性能退化數(shù)據(jù)，根據(jù)式(14)建立退化模型的對數(shù)似然函數(shù)，利用極大似然與一維搜索方法估算出模型參數(shù)的先驗(yàn)分布。

步驟2當(dāng)獲取到個(gè)體發(fā)動機(jī)的實(shí)時(shí)性能退化監(jiān)測數(shù)據(jù)后，運(yùn)用貝葉斯方法，根據(jù)式(20)～式(22)對發(fā)動機(jī)性能退化模型參數(shù)進(jìn)行實(shí)時(shí)更新。

步驟3根據(jù)式(23)可以求得發(fā)動機(jī)性能退化模型中的參數(shù)u,σ2的后驗(yàn)分布的期望估計(jì)值。

步驟4根據(jù)式(11)～式(14)多階段非線性Wiener過程的壽命預(yù)測方法，求得個(gè)體發(fā)動機(jī)實(shí)時(shí)的剩余壽命。

5 實(shí)例驗(yàn)證

排氣溫度裕度(Exhaust Gas Temperature Margin，EGTM)是監(jiān)測發(fā)動機(jī)性能的關(guān)鍵指標(biāo)。7臺同類型的航空發(fā)動機(jī)在全壽命周期內(nèi)監(jiān)測的EGTM數(shù)據(jù)如表1所示。為了驗(yàn)證多階段非線性Wiener過程在航空發(fā)動機(jī)剩余壽命預(yù)測中的準(zhǔn)確性，選擇表1中前5臺發(fā)動機(jī)的EGTM歷史監(jiān)測數(shù)據(jù)用作先驗(yàn)參數(shù)估計(jì)，后2臺發(fā)動機(jī)的EGTM監(jiān)測數(shù)據(jù)用作實(shí)時(shí)更新。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，EGTM的失效閾值定義為0℃。

圖2給出了該7臺發(fā)動機(jī)的性能退化路徑。從圖中可知，在大于35℃時(shí)，EGTM的上升速度較慢，0～35℃時(shí)，EGTM的退化速度較快。將發(fā)動機(jī)的退化分界值定義為ξ=35℃。此時(shí)，可采用兩階段非線性的Wiener過程進(jìn)行退化建模。

根據(jù)表1中給出的航空發(fā)動機(jī)歷史EGTM監(jiān)測數(shù)據(jù)，利用極大似然估計(jì)方法和一維搜索方法，即可得到發(fā)動機(jī)性能退化模型各階段參數(shù)先驗(yàn)分布的估計(jì)值，超參數(shù)的估計(jì)結(jié)果如表2所示。

表1某型號發(fā)動機(jī)EGTM監(jiān)測數(shù)據(jù)

Table1EGTMmonitoringdataofacertainmodelofengine

當(dāng)前時(shí)間/cycle發(fā)動機(jī)編號12345671006970.8746767616920063.356.2706561.465.363????????360021.6198-0.31513.919.4370018.717.15.610.412.516.538009.516.4-0.112.86.813.639001.210.4-0.910.74000-0.86.8

圖2 航空發(fā)動機(jī)退化路徑Fig.2 Degradation path of aeroengines

從圖2中可知，該型號發(fā)動機(jī)在不同階段的退化速率存在著明顯的差異，進(jìn)一步說明了發(fā)動機(jī)的退化過程具有多階段的特點(diǎn)。

在計(jì)算求得航空發(fā)動機(jī)各階段性能退化模型參數(shù)的先驗(yàn)分布后，可以運(yùn)用貝葉斯方法，基于實(shí)時(shí)性能退化數(shù)據(jù)對模型參數(shù)的后驗(yàn)分布進(jìn)行更新。以編號為6的發(fā)動機(jī)為例，在獲得實(shí)時(shí)性能退化監(jiān)測數(shù)據(jù)后，經(jīng)貝葉斯更新后的模型參數(shù)第1階段和第2階段估計(jì)結(jié)果分別如表3和表4所示。

在得到了參數(shù)更新后的估計(jì)值后，可以對發(fā)動機(jī)性能退化各階段的剩余壽命進(jìn)行實(shí)時(shí)預(yù)測。

圖3和圖4分別給出了編號為6的航空發(fā)動機(jī)在第1和第2階段的實(shí)時(shí)剩余壽命概率密度分布圖。

為直觀反映出基于多階段非線性Wiener的退化模型與傳統(tǒng)的單階段線性Wiener隨機(jī)過程在壽命預(yù)測問題中的精確性，定義相對誤差(Relative Error,RE)指標(biāo)為

(24)

式中：L為預(yù)測剩余壽命；T為實(shí)際剩余壽命。

2種模型的相對誤差計(jì)算結(jié)果如表5所示。

根據(jù)表5的相對誤差對比結(jié)果，可計(jì)算得到單階段線性與多階段非線性的平均誤差分別為0.372 8和0.2506。基于多階段非線性Wiener過程的剩余壽命預(yù)測平均誤差值小于傳統(tǒng)的預(yù)測，證實(shí)本文方法用于航空發(fā)動機(jī)剩余壽命預(yù)測的結(jié)果更精確。產(chǎn)生以上誤差對比結(jié)果的原因是航空發(fā)動機(jī)性能退化具有多階段非線性特點(diǎn)，基于多階段非線性Wiener過程構(gòu)建的性能退化模型更加符合實(shí)際航空發(fā)動機(jī)的性能退化路徑。此外，同類型發(fā)動機(jī)由于環(huán)境和材料等因素的影響會產(chǎn)生個(gè)體的差異性，考慮個(gè)體差異性的航空發(fā)動機(jī)剩余壽命預(yù)測結(jié)果更加精確。

表2 超參數(shù)的先驗(yàn)估值

表3 貝葉斯更新后的參數(shù)第1階段估計(jì)結(jié)果

表4貝葉斯更新后的參數(shù)第2階段估計(jì)結(jié)果

Table4Bayesupdatedparameterestimationresultsatthesecondstage

當(dāng)前時(shí)間/cycle超 參 數(shù)估 計(jì)abcduσ225003.47110.45230.0221-0.0803-0.08030.130330005.97111.98840.0153-0.0834-0.08340.333035008.47113.29860.0122-0.0958-0.09580.3893

圖3 第1階段剩余壽命概率密度分布Fig.3 Probability density distribution of residual life at the first stage

圖4 第2階段剩余壽命概率密度分布Fig.4 Probability density distribution of residual life at the second stage

當(dāng)前時(shí)間/cycle相對誤差單階段線性多階段非線性10000.04660.018615000.07210.037920000.07680.264225000.18210.17530000.62440.4935001.23500.518

6 結(jié) 論

1) 本文采用了基于多階段非線性的Wiener過程來建立航空發(fā)動機(jī)的性能退化模型，能夠較好地滿足航空發(fā)動機(jī)的實(shí)際退化路徑。

2) 與不考慮個(gè)體差異的Wiener過程的性能退化模型相比，考慮個(gè)體差異性的Wiener過程更能描述復(fù)雜系統(tǒng)的退化過程，剩余壽命的估算結(jié)果更加的準(zhǔn)確。

3) 當(dāng)獲取個(gè)體發(fā)動機(jī)的實(shí)時(shí)監(jiān)測數(shù)據(jù)后，能夠結(jié)合歷史性能退化監(jiān)測數(shù)據(jù)，運(yùn)用貝葉斯方法對模型參數(shù)的后驗(yàn)分布進(jìn)行實(shí)時(shí)更新，實(shí)現(xiàn)對個(gè)體發(fā)動機(jī)剩余壽命的實(shí)時(shí)精確預(yù)測。

參考文獻(xiàn) (References)

[1] PECHT M G.Prognostics and health management of electronics[M].Hoboken：Wiley Online Library,2008:1-19.

[2] GUAN Q,TANG Y,XU A.Objective Bayesian analysis accelerated degradation test based on Wiener process models[J].Applied Mathematical Modelling,2016,40(4):2743-2755.

[3] 謝吉偉,劉君強(qiáng),王小磊.應(yīng)用交互式多模型算法的設(shè) 備剩余壽命預(yù)測[J].空軍工程大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2016,17(2):98-102.

XIE J W,LIU J Q,WANG X L.A residual usefual lifetime prediction based on interacting multiple model algorithm[J].Journal of Air Force Engineering University(Natural Science Edition),2016,17(2):98-102(in Chinese).

[4] SI X S,WANG W,HU C H,et al.Remaining useful life estimation—A review of the statistical data driven approaches[J].European Journal of Operational Research,2011,213(1):1-14.

[5] FENG L,WANG H L,SI X S,et al.A state-space-based prognostic model for hidden and age-dependent nonlinear diffusion degradation process[J].IEEE Transactions on Automation Science and Engineering,2013,10(4):1072-1086.

[6] 彭寶華,周經(jīng)倫,孫權(quán).基于退化與壽命數(shù)據(jù)融合的產(chǎn)品剩余壽命預(yù)測[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù),2011,33(5):1073-1078．

PENG B H,ZHOU J L,SUN Q.Residual lifetime prediction of products based on fusion of degradation data and lifetime data[J].Systems Engineering and Electronic,2011,33 (5):1073-1078(in Chinese).

[7] GEBRAEEL N Z,ELWANY A H,JING P.Residual life predictions in the absence of prior degradation knowledge[J].IEEE Transactions on Reliability,2009,58(1):106-117.

[8] SI X S,WANG W,HU C H,et al.Remaining useful life estimation based on nonlinear diffusion degradation process[J].IEEE Transactions on Reliability,2012,61(1):50-67.

[9] PENG W,LI Y F,YANGY J,et al.Inverse Gaussian process models for degradation analysis:A Bayesian perspective[J].Reliability Engineering & System Safety,2014,130(1):175-189.

[10] WANG W.A two-stage prognosis model in condition based maintenance[J].European Journal of Operational Research,2007,182(3):1177-1187.

[11] 王小林,程志君,郭波.基于維納過程金屬化模電容器的剩余壽命預(yù)測[J].國防科技大學(xué)學(xué)報(bào),2011,33(4):146-151.

WANG X L,CHENG Z J,GUO B.Residual life forecasting of metallized film capacitor based on Wiener process[J].Journal of National University of Defense Technology,2011,33(4):146-151(in Chinese)．

[12] 王小林,郭波,程志君.融合多源信息的維納過程性能退化產(chǎn)品的可靠性評估[J].電子學(xué)報(bào),2012,40(5):977-982．

WANG X L,GUO B,CHENG Z J.Reliability assessment of products with Wiener process degradation by fusing multiple information[J].Acta Electronica Sinica,2012,40(5):977-982(in Chinese)．

[13] WANG W,CARR M,XU W,et al.A model for residual life prediction based on Brownian motion with an adaptive drift[J].Microelectronic Reliability,2011,51(2):285-293.

[14] SI X S,WANG W,HU C H,et al.Estimating remaining useful life with three-source variability in degradation modelling[J].IEEE Transactions on Reliability,2014,63(1):167-190.

[15] WANG X.Wiener processes with random effects for degradation data[J].Journal of Multivariate Analysis,2010,101(2):340-351.

[16] PARK C,PADGETT W J.Accelerated degradation models for failure based on geometric Brownian motion and Gamma processes[J].Life Time Data Analysis,2005,11(4):511-527.

[17] GEBRAEEL N Z.Sensory-updated residual life distributions for components with exponential degradation patterns[J].IEEE Transactions on Automation Science and Engineering,2006,3(4):382-392.

[18] 司小勝,胡昌華,周東華.帶測量誤差的非線性退化過程建模與剩余壽估計(jì)[J].自動化學(xué)報(bào),2013,39(5):530-541.

SI X S,HU C H,ZHOU D H.Nonlinear degradation process modeling and remaining useful life estimation subject to measurement error[J].Acta Automatica Sinica,2013,39(5):530- 541(in Chinese).

[19] 劉君強(qiáng),謝吉偉,左洪福,等.基于隨機(jī)Wiener過程的航空發(fā)動機(jī)剩余壽命預(yù)測[J].航空學(xué)報(bào),2015,36(2):564-574．

LIU J Q,XIE J W,ZUO H F,et al.Residual lifetime prediction for aeroengines based on Wiener process with random effects[J].Acta Aeronautica et Astronautica Sinica,2015,36(2):564-574(in Chinese)．

[20] 茆詩松,湯銀才.貝葉斯統(tǒng)計(jì)[M].北京:統(tǒng)計(jì)出版社,2012:10-16.

MAO S S,TANG Y C.The Bayesian statistics[M].Beijing:China Statistics Press,2012:10-16(in Chinese).