淺談橢圓繪制算法的講解

武丹 許如星 中國計(jì)量大學(xué)理學(xué)院

計(jì)算機(jī)圖形學(xué)是計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)專業(yè)的選修課。這是一門研究如何使用計(jì)算機(jī)來生成、處理和顯示圖形的學(xué)科。圖形用戶界面已經(jīng)成為軟件的重要組成部分，以圖形化的方式表達(dá)抽象概念或數(shù)據(jù)（可視化）已成為信息領(lǐng)域的一個(gè)重要趨勢(shì)。開設(shè)這門課的目的是讓學(xué)生理解和掌握?qǐng)D形。學(xué)習(xí)的基本概念、方法和技術(shù)使學(xué)生掌握計(jì)算機(jī)圖形處理系統(tǒng)的組成和工作原理，具有一定的開發(fā)圖形應(yīng)用系統(tǒng)的能力。通過本課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生熟悉圖形生成的基本理論，掌握三維真實(shí)感圖形的生成算法，并利用Visual C++的MFC框架編程的實(shí)現(xiàn)方法。而橢圓的繪制作為其中非常重要的一個(gè)方向，需要學(xué)生熟練掌握?；诖吮疚膶?duì)橢圓的繪制算法進(jìn)行詳細(xì)解讀，并對(duì)其中的需要注意的問題進(jìn)行討論。接下來我們按照順序來對(duì)其進(jìn)行講解。

1.橢圓的對(duì)稱性

在圓的繪制中，需要繪制八分之一的圓弧?？紤]到橢圓的對(duì)稱性，可以根據(jù)對(duì)稱軸x＝0和y＝0把橢圓分成四份。只要畫出第一象限的1/4個(gè)橢圓弧，就可以根據(jù)對(duì)稱性畫出整個(gè)橢圓。這被稱為四分位橢圓算法。知道第一象限中的點(diǎn)P（x，y），可以求出橢圓順時(shí)針方向的其他三個(gè)對(duì)稱性是p（x，y），p（x，y），p（x，y）。這一點(diǎn)需要和學(xué)生提前講明，在以往的授課過程中，學(xué)生編程時(shí)很容易出錯(cuò)。

2.法矢量的計(jì)算

為了區(qū)分第一象限的橢圓弧的不同，需要計(jì)算橢圓弧上任一點(diǎn)的法矢量。利用《高等數(shù)學(xué)》中的偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算橢圓上任意一點(diǎn)P(x,y)處的法矢量

式中，i和j是沿x軸向和沿y軸向的單位矢量。

3.計(jì)算橢圓上半部分誤差項(xiàng)的遞推公式

在上半部分Ⅰ，x方向每次加1，y方向上減不減1取決于中點(diǎn)誤差項(xiàng)的值。從Pi(xi,yi)點(diǎn)出發(fā)選取下一像素時(shí)，需將Pu(xi+1，yi)和Pd(xi+1,yi-1)的中點(diǎn)M(xi+1,yi-0.5)代入隱函數(shù)，構(gòu)造中點(diǎn)誤差項(xiàng)

4.計(jì)算橢圓下半部分誤差項(xiàng)的初始值

假定圖1中）點(diǎn)是橢圓弧上半部分Ⅰ的最后一個(gè)像素＋1，yi－0.5）是用于判斷選取Pu和Pd像素的中點(diǎn)。由于下一像素就轉(zhuǎn)入了橢圓弧的下半部分Ⅱ，所以其中點(diǎn)轉(zhuǎn)換為判斷Pl和Pr的中點(diǎn)MⅡ（xi＋0.5，yi－1），所以下半部分的初始值d20為

橢圓曲線的繪制是計(jì)算機(jī)圖形中非常基礎(chǔ)的算法，因此要求學(xué)生必須掌握，但是對(duì)于初次利用高等數(shù)學(xué)中的知識(shí)來解決計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中的簡(jiǎn)單問題，需要把學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)換為編程知識(shí)，因此需要特別注意橢圓弧的分段表示，橢圓弧的初始值的繪制，以及橢圓弧不同階段的遞推公式。通過這樣簡(jiǎn)單的分析，學(xué)生能夠很好的理解算法過程，并能夠?qū)崿F(xiàn)代碼。

[1]孔令德,計(jì)算機(jī)圖形學(xué)-基于MFC三維圖形開發(fā),清華大學(xué)出版社,2014