有界完全Reinhardt域上的星形映照

王朝君， 崔艷艷

(周口師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 河南 周口 466001)

1 預(yù)備知識

單復(fù)變函數(shù)論中一些基本結(jié)論在多復(fù)變中的不成立使得人們開始討論具有特殊幾何性質(zhì)的雙全純映照，例如星形映照與凸映照[1]以及它們的子族.在單復(fù)變中要找到具體的星形映照與凸映照及其子族相對容易，而在多復(fù)變數(shù)空間中卻比較困難.1995年Roper-Suffridge算子[2]的引入使得我們可以由復(fù)平面上具有某些特殊幾何性質(zhì)的單葉全純函數(shù)構(gòu)造出多復(fù)變數(shù)空間中相應(yīng)的雙全純映照，于是許多學(xué)者結(jié)合Roper-Suffridge算子討論了星形映照與凸映照的子族或擴充，證明了推廣的Roper-Suffridge延拓算子在不同空間不同區(qū)域上保持各類雙全純映照子族的性質(zhì)[3-8].之前的結(jié)論總是討論各類雙全純映照子族在Roper-Suffridge延拓算子下的幾何不變性，而本文卻是應(yīng)用Roper-Suffridge延拓算子通過單位圓盤上全純函數(shù)的某種幾何性質(zhì)討論n維復(fù)空間上相應(yīng)的雙全純映照的其他的幾何性質(zhì).

2014年，Liu等[9]將Roper-Suffridge算子推廣為

其中,r=sup{|z1|:z=(z1,zn…,)∈Ω,β1∈[0,1],βk∈[0,β1],k=2,…,n}，并證明了推廣后的算子在一定條件下保持β型螺形性、α次殆星形性和α次星形性.

本文在文獻[9]的基礎(chǔ)上給出了一類新形式的Roper-Suffridge延拓算子，借助推廣后的Roper-Suffridge延拓算子討論了α次凸函數(shù)、近于凸函數(shù)與星形映照之間的關(guān)系，最后討論了算子的偏差.本文中用D表示單位圓盤，JF(z)表示F(z)在z點的Frechet導(dǎo)數(shù).

2 主要結(jié)論及其證明

r=sup{|z1|:z=(z1,…,zn)′∈Ω}，

F(z)=((f′(z1/r))β1z1,(f′(z1/r))β2z2,…,

(f′(z1/r))βnzn)′，

若0≤βk≤β1≤1，則F(z)是Ω上的星形映照.

證明由F(z)的表達式得

則

其中

i=2,…,n.

于是由引理1.1得

(1)

若令ζ=z1/r，則ζ∈D.由(1)式及引理1.2得

故F(z)是Ω上的星形映照.

于是定理得證.

定理2.3若f是D上正規(guī)化的α次凸函數(shù)，F(xiàn)(z)是定理2.1中所定義的函數(shù)，則

證明由定理2.1知

(2)

即

又由于f是D上正規(guī)化的α次凸函數(shù)，則

(1+|z1|)2(α-1)≤|f′(z1)|≤

(1-|z1|)2(α-1)，

(3)

于是

則

由(2)～(4)式得結(jié)論成立.

致謝周口師范學(xué)院2018年度科研創(chuàng)新基金(ZKNUA201805)對本文給予了資助，謹致謝意!

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