隨機(jī)競(jìng)爭(zhēng)Lotka-Volterra系統(tǒng)的正周期研究

蒲曉琴

(中國(guó)民航飛行學(xué)院 計(jì)算機(jī)學(xué)院, 四川 廣漢 618307)

1 基礎(chǔ)知識(shí)

經(jīng)典的Lotka-Volterra系統(tǒng)是通過(guò)下面的n維微分方程來(lái)描述物種間的相互制約的,

n≥1,i=1,2,…,n,

(1)

其中,bi(t)、aij(t)(i,j=1,2,…,n)都是連續(xù)函數(shù).環(huán)境噪聲存在于人口系統(tǒng)中.事實(shí)上,許多學(xué)者已經(jīng)研究了人口系統(tǒng)受白噪聲干擾的問(wèn)題[1-17].對(duì)于確定性的人口系統(tǒng),有許多文獻(xiàn)對(duì)周期解的存在性進(jìn)行了研究.然而對(duì)隨機(jī)微分方程周期解的研究[17]還非常的少.

文獻(xiàn)[17]考慮了如下n-維隨機(jī)人口系統(tǒng):

n≥1,i=1,2,…,n,

(2)

其中，bi(t)、aij(t)和cij(t)(i,j=1,2,…,n)是周期為T>0的連續(xù)函數(shù).令(Ω,F,{Ft}t≥0,P)是一完全概率空間{Ft}t≥0≥0,

ω(t)=(ω1(t),…,ωn(t))T

是定義在(Ω,F,{Ft}t≥0≥0,P)上的n-維Brownian運(yùn)動(dòng).他們得到了對(duì)方程(2)漸進(jìn)穩(wěn)定周期解存在性的一些有趣結(jié)果.然而,文獻(xiàn)[18]所提出的一些結(jié)論是錯(cuò)的.下面列出一些例子.首先,文獻(xiàn)[18]中定理2.1的證明,把‖(u1,…,un)‖→∞對(duì)每個(gè)i有ui→∞或ui→-∞.因此,文獻(xiàn)[18]中定理2.1的條件并不能推出Lv→-∞,其中

其次,文獻(xiàn)[18]中定理2.2的證明,有

Lv=

但是作者把公式弄錯(cuò)了，應(yīng)該是：

Lv=

因此,對(duì)方程(2)漸進(jìn)穩(wěn)定周期解存在性問(wèn)題依然未得到解決.本文得到了方程(2)周期解存在性和全局吸引性的充分條件.即使在特殊情況下,也改進(jìn)了文獻(xiàn)[9]中的結(jié)果.

注1.1隨機(jī)過(guò)程ξ(t)=ξ(t,ω),t∈R,如果其有限維分布是T周期性的,那么Rn也被認(rèn)為是T周期性的,對(duì)任意正整數(shù)m和任意時(shí)刻t1,…,tm,隨機(jī)變量ξ(t1+kT),…,ξ(tm+kT)的聯(lián)合分布與k(k=±1,±2,…)無(wú)關(guān).顯然,如果ξ(t)是周期為T的隨機(jī)過(guò)程,則其時(shí)刻也是以T為周期的.

2 正解的存在性和唯一性

Rn={x∈Rn:xi>0,1≤i≤n},

令R+=[0,+∞),E[f]是指f的期望.

為了方便起見(jiàn),記:

其中f(t)為周期為T的連續(xù)函數(shù).對(duì)任意的常序列{δij}(1≤i≤n,1≤j≤n)定義

假設(shè)(A) 設(shè)

aii(t)>0,aij(t)≥0,

i≠j,t≥0,i,j=1,2,…,n.

證明首先考慮方程:

(3)

它的非負(fù)性可以由下面的式子得到:

由假設(shè)(A)可得:

故

因此有

ELV(x)≤K.

從上面和文獻(xiàn)[20]中的推論4可得τe=∞,證畢.

3 正周期解的存在性

E‖x(t,x0)‖p≤K,t≥0,

其中p為某個(gè)正常數(shù).

證明為了方便,記x(t)=x(t,x0).定義

dV(x(t))=LV(x(t))dt+

計(jì)算

d(etV(x))=et(V(x(t))dt+dV(x(t))).

因此可以得到:

etEV(x(t))≤V(x0)+

V(x0)+K(et-1),t≥0.

這意味著

EV(x(t))≤V(x0)e-t+K,t≥0.

由引理3.1有

E(‖x(t)‖p)≤

證畢.

其中θ為正常數(shù)且滿足

d[(1+U(t))θ]=θ(1+U(t))θ-2J(t)dt-

(4)

其中

不難估計(jì)

(5)

從(4)和(5)式可得

d[eηt(1+U(t))θ]=ηeηt(1+U(t))θdt

+eηtd[(1+U(t))θ]≤

eηt(1+U(t))θ-2{η(1+U(t))2-

eηtG(U)dt-θ(1+U(t))θ-1U2(t)×

E[eηt(1+U(t))θ]=(1+U(0))θ+

然后有

E[Uθ(t)]≤E[(1+U(t))θ]≤

設(shè)

因此

證明完畢.

引理3.4[22]如果μn,n=1,2,…,n,μ是Rn上的測(cè)度,那么以下條件是等價(jià)的：

(i) 測(cè)度μn序列弱收斂于μ;

令

p(0,x0,x(t),A)=P(x(t)∈A|x(0)=x0),

定理3.1在假設(shè)(A)和(B)下,方程(2)有一個(gè)正周期解.

(6)

由(6)式知,這個(gè)序列是弱收斂的.令Pnk為其子序列弱收斂于某一測(cè)度P0.如文獻(xiàn)[24]中的定理3.2.2,證明了測(cè)度P0滿足方程:

因此定義了周期過(guò)程的初始分布.由引理3.3和Chebyshev不等式知道對(duì)任意0<ε<1,存在

使得

Pn(‖x(t,x0)‖≤δ)=

引理3.4暗示P0(‖x(t,x0)‖≤δ)≤ε.因此,這個(gè)周期解是非平凡的.

注3.1定理3.1意味著如果方程(2)具有至少一個(gè)有界解,則對(duì)于一些(通常是隨機(jī)的)的初始條件,方程(2)有周期解.對(duì)于n=1,也遵循Massera定理.當(dāng)然,這個(gè)結(jié)果不能保證方程(1)對(duì)應(yīng)的確定性方程周期解的存在性,因?yàn)橹芷谛噪S機(jī)過(guò)程不需要具有周期性的樣本函數(shù).

4 正周期解的全局吸引性

本節(jié)將獲得方程(2)的周期解的全局吸引性的充分條件.

令x(p)(t)為方程(2)的一個(gè)正-T周期解.

說(shuō)x(p)(t)是全局吸引的.

引理4.2在假設(shè)(A)下,方程(2)的解x(t),t≥0,是一致連續(xù)的.

證明記

σij(t,x(t))=cij(t)xi(t),i,j=1,2,…,n,

和

f(t,x(t))=(f1(t,x(t)),…,fn(t,x(t)))T,

σ(t,x(t))=(σij(t,x(t)))n×n.

計(jì)算

從這個(gè)式子和引理3.2

E(‖f(t,x(t)‖)p)≤K, ?p>0,

(7)

E(‖ρ(t,x(t))‖p)≤K, ?p>0.

(8)

結(jié)合(7)、(8)式和文獻(xiàn)[26]中的引理3.4,知道方程(2)的解是一致隨機(jī)連續(xù)的.

注4.1文獻(xiàn)[26]中引理3.4的證明,若p=4,我們得到下面的不等式

(9)

換句話說(shuō),對(duì)指數(shù)γ,幾乎所有的樣本路徑都是局部的,但都是一致H?lder連續(xù)的.因此x(t)的幾乎每一個(gè)樣本路徑在t≥0時(shí)都是一致連續(xù)的.

對(duì)任意常數(shù)v1,…,vn,令

很容易看出hi(i=1,2,…,n)都是周期為T的函數(shù).

介紹下面這個(gè)假設(shè):

假設(shè)(C) 存在正常數(shù)v1,…,vn使得函數(shù)hi(i=1,2,…,n)在[0,T]為正的.

定理4.1在假設(shè)(A)、(B)和(C)下,方程(2)的正T-周期解x(p)(t)是全局吸引的.

因此,直接計(jì)算出函數(shù)V(t)的右上導(dǎo)數(shù)d+V(t)有

將(10)式從0到t積分,得到

V(0)<∞,

這使得

因此,從引理4.1和注4.1可得,

這就完成了定理4.1的證明.

文獻(xiàn)[8-9]考慮了隨機(jī)非自主邏輯方程

dN(t)=N(t)[a(t)-b(t)N(t)]dt+

α(t)N(t)dB(t),

(11)

其中B(t)為1-維標(biāo)準(zhǔn)Brownian運(yùn)動(dòng),a(t)、b(t)和α(t)是周期為T的連續(xù)函數(shù),a(t)>0,b(t)>0.

很容易從定理4.1中得到以下推論.

這就是注1.1中1/N*(t)或E[1/N*(t)]與周期T的關(guān)系.很明顯推論4.1改進(jìn)了文獻(xiàn)[9]中的結(jié)果.

[1]BAHARA,MAOX.StochasticdelayLotka-Volterramodel[J].JMathAnalAppl,2004,292(2):364-380.

[2]BAHARA,MAOX.Stochastichybriddelaypopulationdynamics[J].IntJPureApplMath,2006,11(4):377-399.

[3]MAOX.Delaypopulationdynamicsandenvironmentalnoise[J].StochDynam,2005,5(2): 149-162.

[4]MAOX,MARIONG,RENSHAWE.EnvironmentalBrowniannoisesuppressesexplosionsinpopulationdynamics[J].StochasticProcessAppl,2002,97(1):95-110.

[5]MAOX,MARIONG,RENSHAWE.AsymptoticbehaviorofthestochasticLotka-Volterramodel[J].JMathAnalAppl,2003,287(1):141-156.

[6]PANGS,DENGF,MAOX.Asymptoticpropertyofstochasticpopulationdynamics[J].DynamContinDiscreteImpulsSystSerAMathAnal,2008,15(5):603-620.

[7]JIC,JIANGD,SHIN,O’REGAND.Existence,uniqueness,stochasticpersistenceandglobalstabilityofpositivesolutionsofthelogisticequationwithrandomperturbation[J].MathMethodsApplSci,2007,30(1):77-89.

[8]JIANGD,SHIN.Anoteonnonautonomouslogisticequationwithrandomperturbation[J].JMathAnalAppl,2005,303(1):164-172.

[9]JIANGD,SHIN,LIX.Globalstabilityandstochasticpermanenceofanon-autonomouslogisticequationwithrandomperturbation[J].JMathAnalAppl,2008,340(1):588-597.

[10]KHASMINSKIIRZ,KLEBANERFC.LongtermbehaviorofsolutionsoftheLotka-Volterrasystemundersmallrandomperturbations[J].AnnApplProbab,2001,11(3):952-963.

[11]ZHUC,YING.OnhybridcompetitiveLotka-Volterraecosystems[J].NonlinearAnal,2009,71(2):1370-1379.

[12]ZHUC,YING.OncompetitiveLotka-Volterramodelinrandomenvironments[J].JMathAnalAppl,2009,357(1):154-170.

[13]LIX,MAOX.Populationdynamicalbehaviorofnon-autonomousLotka-Volterracompetitivesystemwithrandomperturbation[J].DiscreteContinDynSyst,2009,24(2):523-545.

[14]LIX,GRAYA,JIANGD,MAOX.Sufficientandnecessaryconditionsofstochasticpermanenceandextinctionforstochasticlogisticpopulationsunderregimeswitching[J].JMathAnalAppl,2011,376(1):11-28.

[15]LIUM,WANGK.Persistenceandextinctioninstochasticnon-autonomouslogisticsystems[J].JMathAnalAppl,2011,375(2):443-457.

[16]LIUM,WANGK.Extinctionandpermanenceinastochasticnonautonomouspopulationsystem[J].ApplMathLett,2010,23(12):1464-1467.

[17]ZHANGB,GOPALSAMYK.Ontheperiodicsolutionofn-dimensionalstochasticpopulationmodels[J].StochAnalAppl,2000,18(2):323-331.

[18]YAGIA,TONT.Dynamicofastochasticpredator-preypopulation[J].ApplMathComput,2011,218(7):3100-3109.

[19]MAOX.StochasticDifferentialEquationsandApplications[M].Chichester:HorwoodPress,1997.

[20]XUD,YANGZ,HUANGY.Existence-uniquenessandcontinuationtheoremsforstochasticfunctionaldifferentialequations[J].JDiffEqns,2008,245:1681-1703.

[21]WUF,HUS,LIUY.PositivesolutionanditsasymptoticbehaviourofstochasticfunctionalKolmogorov-typesystem[J].JMathAnalAppl,2010,364(1):104-118.

[22]LEADBETTERMR,CAMBANISS.MeasureandProbabilityTheory:ABasicCourse[M].Carolina:UniversityofNorthPress,2002.

[23]BAINOVDD,KOLMANOVSKIIVB.Periodicsolutionofstochasticfunctionaldifferentialequations[J].MathJToyamaUniv,1991,14:1-39.

[24]HASMINSKIIRZ.StochasticStabilityofDifferentialEquations[M].Maryland:SijthoffandNoordhoff,1980.

[25]BARBALATI.Systemsd’equationsdifferentiald’oscillationsnonlineairies[J].RevRoumaineMathPuresAppl,1959(4):267-270.

[26]XUD,HUANGY,YANGZ.ExistencetheoremsforperiodicMarkovprocessandstochasticfunctionaldifferentialequations[J].DiscreteContinDynSyst,2009,24(3):1005-1023.