馮 斌，劉 峰，鄭飂默，3

(1.中國(guó)科學(xué)院大學(xué)， 北京 100049；2.中國(guó)科學(xué)院沈陽(yáng)計(jì)算技術(shù)研究所，沈陽(yáng) 110168；3.沈陽(yáng)高精數(shù)控智能技術(shù)股份有限公司 高檔數(shù)控國(guó)家工程研究中心，沈陽(yáng) 110168)

0 引言

隨著工業(yè)自動(dòng)化程度的提高，對(duì)機(jī)器人的要求越來(lái)越高。軌跡規(guī)劃是機(jī)器人控制的關(guān)鍵[1]。也是近幾年研究的熱點(diǎn)。目前軌跡規(guī)劃優(yōu)化分為兩種：一種是對(duì)時(shí)間進(jìn)行優(yōu)化，另一種是對(duì)系統(tǒng)能量進(jìn)行優(yōu)化。為了提高機(jī)器人的工作效率，對(duì)機(jī)器人關(guān)節(jié)空間運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行優(yōu)化。選擇運(yùn)動(dòng)時(shí)間作為優(yōu)化對(duì)象可以提高機(jī)器人工作效率，改善機(jī)器人的性能。論文中將采用粒子群算法完成對(duì)機(jī)器人關(guān)節(jié)空間運(yùn)動(dòng)軌跡的時(shí)間優(yōu)化。

對(duì)軌跡規(guī)劃進(jìn)行時(shí)間優(yōu)化有多種方法，如采用遺傳算法[2-5]，粒子群算法[6-9]等。當(dāng)前國(guó)內(nèi)外多數(shù)機(jī)器人關(guān)節(jié)空間軌跡研究都是采用遺傳算法展開(kāi)，如文獻(xiàn)[2-5]。采用粒子群算法還需要進(jìn)一步探討研究，但也有一定的研究基礎(chǔ)，如文獻(xiàn)[6-9]都是采用粒子群算法在軌跡規(guī)劃方面展開(kāi)研究。將作為論文研究的基礎(chǔ)。

論文選用PUMA560機(jī)器人為例，研究機(jī)器人點(diǎn)到點(diǎn)之間的軌跡規(guī)劃時(shí)間。采用高次多項(xiàng)式插值和粒子群算法，完成對(duì)軌跡規(guī)劃運(yùn)動(dòng)時(shí)間的優(yōu)化。通過(guò)實(shí)際測(cè)試和仿真實(shí)驗(yàn)相結(jié)合驗(yàn)證研究結(jié)果的實(shí)用性和預(yù)期結(jié)果。實(shí)驗(yàn)表明，該方法不僅可以完成對(duì)軌跡規(guī)劃時(shí)間的優(yōu)化，縮短了機(jī)器人關(guān)節(jié)空間運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，縮短40%左右，而且可以在實(shí)際中應(yīng)用。這對(duì)于改善機(jī)器人的性能，提高工作效率有很大的幫助。

1 PUMA560機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

PUMA560是一款6自由度的機(jī)器人，它的D-H參數(shù)如表1所示。根據(jù)D-H參數(shù)表可以構(gòu)造機(jī)器人模型。表中的為變量θ，a和d為常量。其中a1=0.4318,a2=0.0203,d3=0.1501,d4=0.4318。本文中將使用Robotics Tools 9.0中的PUMA560機(jī)器人模型及相應(yīng)的函數(shù)。

表1 PUMA560機(jī)器人的D-H參數(shù)

對(duì)PUMA560關(guān)節(jié)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)原理及仿真進(jìn)行詳細(xì)分析[10-11]，結(jié)合MATLAB機(jī)器人仿真庫(kù)，可以求得機(jī)器人運(yùn)動(dòng)的正解和逆解。為了對(duì)機(jī)器人的關(guān)節(jié)空間運(yùn)動(dòng)進(jìn)行規(guī)劃，需要求得關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)的位置點(diǎn)。根據(jù)機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)特征可以求出關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)位置點(diǎn)。

為了確保機(jī)器人末端爪手的笛卡爾空間坐標(biāo)是可達(dá)的，選擇使用機(jī)器人的正向運(yùn)動(dòng)求解起點(diǎn)和終點(diǎn)。起點(diǎn)位置用js=[0 0 0 0 0 0]求得，終點(diǎn)用je=[pi/2 0 pi/2 0 0 pi/2]求得。根據(jù)MATLAB機(jī)器人仿真函數(shù)庫(kù)Robotics Tools 9.0對(duì)其進(jìn)行正向求解。式(1)求得末端爪手的起點(diǎn)位置，式(2)求得末端爪手的終點(diǎn)位置。式子中的fkine()為求正解函數(shù)，p560為PUMA560機(jī)器人模型，js和je為各關(guān)節(jié)起止位置的角度關(guān)節(jié)起止位置的角度，Hs和He為末端的齊次變化坐標(biāo)矩陣。

Hs=fkine(p560,js)

(1)

He=fkine(p560,je)

(2)

為了將路徑分為多個(gè)區(qū)間，使用函數(shù)ctraj()將路徑分為多個(gè)區(qū)間，如式(3)所示：

Hc=ctraj(Hs,He,4)

(3)

Hc中包含4個(gè)齊次變換坐標(biāo)矩陣，將路徑分為3個(gè)區(qū)間。由Hc可以獲得4個(gè)路徑點(diǎn)的笛卡爾空間坐標(biāo)點(diǎn)，如表2所示。

表2 機(jī)器人末端運(yùn)動(dòng)軌跡路徑點(diǎn)

根據(jù)齊次坐標(biāo)變換矩陣可以求得機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解，即求得關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)軌跡區(qū)間路徑點(diǎn)。求逆解如式(4)所示：

Q=ikine6s(p560,Hc)

(4)

式(4)求得關(guān)節(jié)的路徑點(diǎn)解，前3個(gè)關(guān)節(jié)的路徑點(diǎn)的解如表3所示。

表3 路徑點(diǎn)各關(guān)節(jié)的解

2 基于粒子群算法[12]的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

(1)采用高次多項(xiàng)式插值的方法對(duì)機(jī)器人關(guān)節(jié)空間運(yùn)動(dòng)進(jìn)行插值，實(shí)驗(yàn)中將關(guān)節(jié)空間運(yùn)動(dòng)路徑分為3個(gè)區(qū)間。設(shè)關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)的位置為q1～q3，不同區(qū)間的時(shí)間為t1～t3。關(guān)節(jié)空間運(yùn)動(dòng)位置與時(shí)間的關(guān)系如式(5)～式(7)所示：

(5)

(6)

(7)

根據(jù)式(5)～式(7)可以求出機(jī)器人關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)各點(diǎn)的速度和加速度計(jì)算公式。速度計(jì)算如式(8)～式(10)所示，加速度如式(11)～式(13)所示。

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

根據(jù)已知條件，不同時(shí)刻所經(jīng)過(guò)的路徑點(diǎn)和不同時(shí)刻機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，可以得出以下3組式子。設(shè)4個(gè)路徑點(diǎn)的值為Q(1)～Q(4)，3個(gè)區(qū)間的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(1)～t(3)。

第一區(qū)間求解參數(shù)公式如式(14)所示：

(14)

第二區(qū)間求參數(shù)公式如式(15)所示：

(15)

第三區(qū)間求參數(shù)公式如式(16)所示：

(16)

根據(jù)式(14)～式(16)可以求出高次多項(xiàng)式的參數(shù)。從而可以求出關(guān)節(jié)空間運(yùn)動(dòng)的軌跡公式、速度公式和加速度公式，可以根據(jù)公式求出任意時(shí)刻的位置、速度和加速度。

(2)基于粒子群算法的關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃優(yōu)化需要選取若干粒子作為優(yōu)化對(duì)象。實(shí)驗(yàn)中以完成三個(gè)區(qū)間的運(yùn)動(dòng)所用時(shí)間(t1,t2,t3)組成一個(gè)三維粒子，隨機(jī)生成20組粒子。粒子的值均在[4,5]之間。粒子的適應(yīng)函數(shù)如式(17)所示：

fitness=t1+t2+t3

(17)

根據(jù)適應(yīng)度函數(shù)計(jì)算粒子的適應(yīng)度值。選取單個(gè)粒子中適應(yīng)度值最小的作為局部最優(yōu)粒子pBest和所有粒子中適應(yīng)度值最小的作為全局最優(yōu)粒子gBest。

除適應(yīng)度函數(shù)外還需要確定更新粒子速度公式(18)中的各個(gè)參數(shù)。慣性權(quán)重W，W最大為Wmax=0.9，最小為Wmin=0.5，W隨著迭代次數(shù)n的增加不斷減小，變化如公式(20)所示。學(xué)習(xí)因子C1和C2均為1.5。隨機(jī)因子r1和r2為[0,1]之間的隨機(jī)數(shù)，通過(guò)MATLAB函數(shù)rand()生成。

v[m]=w·v[m]+c1·r1·(pBest[m]-
present[m])+c2·r2·
(pBest[m]-present[m])

(18)

present[m]=present[m]+v[m]

(19)

W=Wmax-(Wmax-Wmin)·(n/N)

(20)

在本次實(shí)驗(yàn)過(guò)程中除了滿(mǎn)足普通約束條件外還需要滿(mǎn)足機(jī)器人關(guān)節(jié)空間運(yùn)動(dòng)的 約束條件，即關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)的速度和加速度不能超過(guò)規(guī)定的最大速度Vmax和最大加速度amax。由公式(8)～公式(13)可以求出不同粒子下的最大速度V和最大加速度a。所以約束條件如式(21)所示：

(21)

通過(guò)帶約束條件的粒子群優(yōu)化算法完成對(duì)關(guān)節(jié)空間運(yùn)動(dòng)軌跡規(guī)劃的時(shí)間優(yōu)化，獲得關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)的最短運(yùn)動(dòng)時(shí)間。

實(shí)現(xiàn)優(yōu)化過(guò)程，首先驗(yàn)證粒子是否符合式(21)中的約束條件。滿(mǎn)足則使用式(17)將適應(yīng)度值計(jì)算出來(lái)，否則置為無(wú)窮大。將各個(gè)粒子的適應(yīng)度值保存起來(lái)。從20個(gè)粒子中通過(guò)比較適應(yīng)度值，選取適應(yīng)度值最小，即完成規(guī)劃運(yùn)動(dòng)所用時(shí)間最少，作為全局最優(yōu)粒子。通過(guò)N次迭代不斷更新粒子，計(jì)算適應(yīng)度值，選出最優(yōu)粒子，從而得到約束條件下的最優(yōu)解，即關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃最短時(shí)間。

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證及結(jié)果分析

本文中采用基于粒子群優(yōu)化算法的高次多項(xiàng)式插值方法對(duì)機(jī)器人關(guān)節(jié)空間運(yùn)動(dòng)進(jìn)行軌跡優(yōu)化。保證了關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)軌跡的平滑穩(wěn)定。

對(duì)于關(guān)節(jié)機(jī)器人如圖1a所示，是一款自主研發(fā)的關(guān)節(jié)型通用機(jī)器人，運(yùn)動(dòng)精度高，靈活性好，結(jié)構(gòu)緊湊，占地面積小，可連續(xù)作業(yè)，提高設(shè)備的利用率，保障生產(chǎn)效率，可運(yùn)用于機(jī)床上下料等多個(gè)領(lǐng)域。

為了最大限度的發(fā)揮該款機(jī)器人的優(yōu)勢(shì)，自主研發(fā)了與該款機(jī)器人配套的專(zhuān)用控制器，如圖1b所示。圖1b中的控制器具有簡(jiǎn)單易用的操作界面和國(guó)際領(lǐng)先的總線(xiàn)數(shù)據(jù)傳輸形式，非PLC控制，降低干擾，定位更精確，響應(yīng)速度快，可存儲(chǔ)多種程序，換產(chǎn)更便捷。

(a)關(guān)節(jié)型通用機(jī)器人 (b)關(guān)節(jié)型通用機(jī)器人控制器圖1 關(guān)節(jié)型通用機(jī)器人

將優(yōu)化程序加入控制終端，通過(guò)控制器操作可以完成預(yù)期的軌跡運(yùn)動(dòng)。說(shuō)明該軌跡優(yōu)化算法可以運(yùn)用于實(shí)際機(jī)器人控制中。

按照?qǐng)D1a、圖1b所示的機(jī)器人與控制器之間的工作原理在表4中的約束條件下進(jìn)行仿真驗(yàn)證，各個(gè)關(guān)節(jié)的速度和加速度約束條件如表4所示。

表4 速度和加速度約束條件

得到以下結(jié)果。關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)的位置和時(shí)間關(guān)系如圖2所示。

圖2 位置-時(shí)間關(guān)系圖

關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)的速度和時(shí)間關(guān)系如圖3所示，從圖中可以看出速度在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中都是連續(xù)的。

圖3 速度-時(shí)間關(guān)系圖

關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)的加速度和時(shí)間關(guān)系如圖4所示，從圖中可以看出整個(gè)過(guò)程中加速度是連續(xù)的，并且在開(kāi)始和終止時(shí)都為零，使關(guān)節(jié)能夠平穩(wěn)的停下來(lái)。

圖4 加速度-時(shí)間關(guān)系圖

關(guān)節(jié)空間軌跡運(yùn)動(dòng)時(shí)間與迭代次數(shù)的收斂關(guān)系如圖5所示，從圖中可以看出迭代若干次之后，時(shí)間快速收斂到最優(yōu)時(shí)間。

圖5 時(shí)間收斂圖

從圖2中可以看出關(guān)節(jié)在相應(yīng)的時(shí)刻到達(dá)預(yù)期的位置。從圖3中可以看出，關(guān)節(jié)的起始速度和結(jié)束速度均為0，并且運(yùn)動(dòng)過(guò)程速度連續(xù)，保證了機(jī)器人關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定。從圖4中可以看出關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)的加速度連續(xù)，并且始末加速度均為0，既保證了機(jī)器人關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性，減少了關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的震蕩。

在圖2～圖4的前提下，以關(guān)節(jié)1的優(yōu)化結(jié)果為例得出如表5所示的優(yōu)化結(jié)果。

表5 關(guān)節(jié)優(yōu)化結(jié)果

從表5中可以看出，完成規(guī)定的運(yùn)動(dòng)初始時(shí)間是12s。經(jīng)過(guò)優(yōu)化后有了明顯的改善，由原來(lái)的12s降到了現(xiàn)在的7.4s甚至5s就可以完成，說(shuō)明該方法真實(shí)可行。在保證運(yùn)動(dòng)軌跡平滑穩(wěn)定的前提下，提高了機(jī)器人的工作效率。

4 小結(jié)

通過(guò)論文中的設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)使機(jī)器人關(guān)節(jié)空間軌跡運(yùn)動(dòng)時(shí)間縮短超過(guò)40%，由原來(lái)的12s縮短到優(yōu)化后的7.4s。與使用遺傳算法等優(yōu)化算法比較，用粒子群算法對(duì)機(jī)器人空間軌跡進(jìn)行優(yōu)化，不僅優(yōu)化結(jié)果明顯，而且粒子群算法結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，易于實(shí)現(xiàn)。結(jié)果表明按照論文中的方法對(duì)機(jī)器人的關(guān)節(jié)空間軌跡運(yùn)動(dòng)時(shí)間進(jìn)行優(yōu)化，對(duì)改善機(jī)器人的性能有很大幫助。

論文中的實(shí)驗(yàn)是使用基于約束條件下的粒子群算法進(jìn)行優(yōu)化。通過(guò)改進(jìn)粒子群算法也能完成對(duì)機(jī)器人關(guān)節(jié)空間運(yùn)動(dòng)軌跡時(shí)間優(yōu)化，優(yōu)化的關(guān)鍵點(diǎn)在于選取優(yōu)化對(duì)象，如可以選取路徑點(diǎn)作為優(yōu)化目標(biāo)等。后續(xù)將在這些方面展開(kāi)進(jìn)一步研究。

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