基于回歸折算法的小樣本數(shù)控機(jī)床可靠性建模

張海波，王 妍

(東北電力大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，吉林 吉林 132012)

0 引言

隨著設(shè)計(jì)和制造水平的不斷提高，中高檔數(shù)控機(jī)床的可靠性水平越來(lái)越高，加之更新?lián)Q代速度快和試驗(yàn)時(shí)間的限制，使得收集到的故障數(shù)據(jù)逐漸減少。傳統(tǒng)的可靠性建模方法都依賴于大樣本數(shù)據(jù)，在分析小樣本數(shù)據(jù)時(shí)，所得結(jié)果往往存在很大的誤差。因此，研究在小樣本情況下的可靠性建模具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

目前，針對(duì)小樣本數(shù)據(jù)的可靠性建模方法有修正極大似然估計(jì)法、Bayes法、Bootstrap法、Bootstrap-Bayes法等[1-5]。Kan[6]根據(jù)Bayes方法，融合專家經(jīng)驗(yàn)與多源先驗(yàn)信息建立威布爾參數(shù)的先驗(yàn)分布，采用網(wǎng)格近似方法計(jì)算后驗(yàn)分布，建立可靠性模型。張立敏[7]依靠專家經(jīng)驗(yàn)得出先驗(yàn)分布函數(shù)，通過(guò)粒子群優(yōu)化算法對(duì)模型中的尺度參數(shù)和形狀參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，采用Bayes法進(jìn)行了可靠性建模。Bayes法雖能充分利用現(xiàn)存的所有信息，但計(jì)算時(shí)涉及到大量積分運(yùn)算，且先驗(yàn)分布確定不好，效果更差。高攀東[8]提出了一種B-MUME法，利用Bootstrap法，擴(kuò)大樣本的數(shù)量，采用MUME法對(duì)威布爾分布模型的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。孫慧玲[9]利用Bootstrap法將樣本量進(jìn)行了自助擴(kuò)充，再對(duì)擴(kuò)充后的樣本進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。Bootstrap方法過(guò)度依賴于子樣的情況，不利于參數(shù)估計(jì)的穩(wěn)健性。利用參考產(chǎn)品的歷史故障數(shù)據(jù)擴(kuò)充小樣本數(shù)據(jù)，可充分利用現(xiàn)存的所有信息，使結(jié)果更加準(zhǔn)確。孫祝嶺[10-11]針對(duì)航空航天不同環(huán)境下試驗(yàn)數(shù)據(jù)的折算問(wèn)題，提出了一種回歸折算法，能彌補(bǔ)數(shù)據(jù)少的缺陷，提高數(shù)據(jù)的利用率，并應(yīng)用 Monte-Carlo 方法進(jìn)行仿真模擬來(lái)證明其有效性，但并未對(duì)威布爾分布進(jìn)行檢驗(yàn)。

本文在此基礎(chǔ)上，通過(guò)回歸折算法，將符合威布爾分布的參考產(chǎn)品的故障數(shù)據(jù)折算成產(chǎn)品本身的故障數(shù)據(jù)，擴(kuò)充成大樣本數(shù)據(jù)，采用經(jīng)典的可靠性建模方法進(jìn)行模型的建立，并用Monte-Carlo進(jìn)行模擬仿真，驗(yàn)證其方法的正確性，并結(jié)合具體實(shí)例加以說(shuō)明分析。該方法對(duì)于數(shù)控機(jī)床的小樣本可靠性建模，具有重要的工程應(yīng)用意義。

1 威布爾分布的可靠性模型

早期對(duì)數(shù)控機(jī)床進(jìn)行可靠性建模時(shí)，多采用指數(shù)分布作為參數(shù)模型，隨著研究的深入和發(fā)展，威布爾分布被認(rèn)為能更好的描述數(shù)控機(jī)床的數(shù)據(jù)特征[12]。

兩參數(shù)威布爾分布的分布函數(shù)是：

(1)

其中，t為時(shí)間；α為尺度參數(shù)；β為形狀參數(shù)。

由威布爾分布函數(shù)可知，其可靠度函數(shù)、概率密度函數(shù)和失效率函數(shù)分別為：

(2)

(3)

(4)

欲建立數(shù)控機(jī)床的可靠性模型，必先確定參數(shù)α和β。需要通過(guò)大量的故障數(shù)據(jù)分析獲得其估計(jì)值。然而在小樣本情況下，無(wú)法通過(guò)經(jīng)典建模法求得準(zhǔn)確的模型，因此借助于回歸折算法擴(kuò)大其樣本量，以提高評(píng)估結(jié)果的準(zhǔn)確性。

2 回歸折算法

回歸折算方法其基本思想是希望通過(guò)建立兩個(gè)總體之間的回歸方程，再利用回歸方程將一組數(shù)據(jù)折算到另一組，從而擴(kuò)大樣本容量。

參考產(chǎn)品A的故障數(shù)據(jù)用X表示，目標(biāo)產(chǎn)品B的故障數(shù)據(jù)用Y表示，參考產(chǎn)品與目標(biāo)產(chǎn)品在可靠性、結(jié)構(gòu)、功能方面相似，且失效機(jī)理不變或相似，目標(biāo)產(chǎn)品通常是在參考產(chǎn)品的基礎(chǔ)上改進(jìn)來(lái)的，具有充足的歷史數(shù)據(jù)，因此可將其故障數(shù)據(jù)作為擴(kuò)充源。

回歸折算法步驟如下：

(1)將樣本X和Y的故障數(shù)據(jù)分別從小到大排列，樣本X：x(1)，x(2)，…，x(n)；樣本Y：y(1)，y(2)，…，y(m)。

①{x(u),y(v)}作為配對(duì)中心保持不變

通過(guò)最小二乘法[13]估計(jì)得到各參數(shù)值，建立可靠性模型，并計(jì)算出平均故障間隔時(shí)間MTBF。

3 Monte-Carlo計(jì)算機(jī)模擬仿真

通過(guò)Monte-Carlo方法對(duì)符合威布爾分布模型的數(shù)據(jù)進(jìn)行模擬仿真。隨機(jī)生成大樣本數(shù)據(jù)，應(yīng)用經(jīng)典建模法進(jìn)行可靠性建模，計(jì)算出MTBF，以此為基準(zhǔn)。從中隨機(jī)選取一定樣本量的隨機(jī)數(shù)作為小樣本數(shù)據(jù)，通過(guò)回歸折算法對(duì)其進(jìn)行擴(kuò)充，變成大樣本數(shù)據(jù)后，再用經(jīng)典建模法建立可靠性模型，計(jì)算出MTBF1。對(duì)兩者的MTBF進(jìn)行比較，根據(jù)其波動(dòng)性的大小，驗(yàn)證所提方法的有效性和準(zhǔn)確性。

具體過(guò)程如下：

(1)根上節(jié)提到的方法對(duì)這些數(shù)據(jù)進(jìn)行前期處理，求出x(u)和y(v)以及類的個(gè)數(shù)l1和l2，并對(duì)N1分別進(jìn)行聚類，并計(jì)算每一類的均值，與樣本Y構(gòu)建配對(duì)數(shù)據(jù)；

(2)將以上得到的配對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸分析，并對(duì)回歸模型進(jìn)行優(yōu)選，得到回歸方程；

(3)利用得到的回歸方程，對(duì)N1個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行折算，并與N2個(gè)數(shù)據(jù)組成大樣本數(shù)據(jù)N3；

(4)通過(guò)最小二乘法分別對(duì)N1和N3個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行可靠性建模，并求出MTBF，以N1數(shù)據(jù)即大樣本數(shù)據(jù)的MTBF為基準(zhǔn)，計(jì)算誤差；

(5)模擬M次，將誤差以曲線的形式輸出。

以上涉及的參數(shù)主要有威布爾分布的尺度參數(shù)α，形狀參數(shù)β，隨機(jī)數(shù)的數(shù)量N1和N2以及模擬次數(shù)M。尺度參數(shù)α和形狀參數(shù)β是有一定范圍的，需根據(jù)國(guó)內(nèi)數(shù)控機(jī)床的實(shí)際情況而定。形狀參數(shù)β代表機(jī)床的故障階段，當(dāng)0<β<1時(shí)，機(jī)床處于早期故障時(shí)期；β=1時(shí)，處于偶然故障時(shí)期；β>1時(shí)，處于耗損故障時(shí)期。由于MTBF=α·Γ(1+1/β)，因此尺度參數(shù)α可根據(jù)MTBF和形狀參數(shù)β來(lái)確定范圍，我國(guó)大部分機(jī)床專項(xiàng)的數(shù)控機(jī)床的MTBF一般達(dá)到了900h或1500h?，F(xiàn)今所研究考核的數(shù)控機(jī)床多數(shù)處于偶然故障時(shí)期的附近，根據(jù)MTBF的計(jì)算公式，即可求出尺度參數(shù)α的值。以MTBF=1200h，N1=30，N2=6，M=20的情況下，采取三種模擬方案，①α=1100，β=0.85;②α=1200，β=1;③α=1260，β=1.15，模擬結(jié)果如圖1所示。

由圖1可知，利用回歸折算法擴(kuò)充數(shù)據(jù)后計(jì)算出的MTBF誤差在15%左右，在文獻(xiàn)[9]中，應(yīng)用Boostrap-Bayes方法計(jì)算出的MTBF與經(jīng)典建模方法計(jì)算出的MTBF的誤差在20%以內(nèi)，利用常規(guī)貝葉斯方法計(jì)算出的MTBF的誤差在30%以內(nèi)，因此本文模擬出的誤差在可接受的范圍內(nèi)，可以得到較為準(zhǔn)確的可靠性模型。

4 實(shí)例驗(yàn)證

某型號(hào)M的同批次7臺(tái)數(shù)控加工中心，分別由Z1,Z2,…,Z7表示，共有60個(gè)故障數(shù)據(jù)，如表1所示。利用經(jīng)典方法即最小二乘法對(duì)M型加工中心的大樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行可靠性模型的建立，并以此為基準(zhǔn)。從大樣本數(shù)據(jù)中抽取小樣本，來(lái)自于Z1,Z2,…,Z7。分別用回歸折算擴(kuò)充數(shù)據(jù)的方法和經(jīng)典建模法對(duì)小樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行可靠性建模，與基準(zhǔn)相比較，對(duì)比分析兩種方法的誤差，以此來(lái)驗(yàn)證本文所研究的建模方法的正確性與準(zhǔn)確性。

圖1 MTBF的誤差曲線

型號(hào)機(jī)床編號(hào)故障間隔時(shí)間(h)MZ120 112 220 285 307 406 897 1005 1321Z253 97 190 427 503 590 724 838 906Z349 251 314 329 702 799 535 554 817Z441 294 305 310 314 1114 1861Z558 154 320 400 476 769 794 1112Z675 264 93 198 627 801 1046 1232Z745 108 102 175 372 260 872 812 768 1105

以Z1～Z7加工中心故障數(shù)據(jù)為大樣本數(shù)據(jù)，利用最小二乘法建立的兩參數(shù)威布爾分布模型參數(shù)如下：α=548.72；β=1.18；MTBF*=518.70h。再分別以Z1,Z2,…,Z7為目標(biāo)產(chǎn)品，即小樣本數(shù)據(jù)，建立可靠性模型。以Z1為例，根據(jù)本文提出的方法，建立配對(duì)關(guān)系(44.3，20)、(97.8，112)、(187.4，220)、(296.1，285)、(416.2，307)、(503，406)、(753.2，897)、(1133.6，1005)、(1861，1321)，并對(duì)以上數(shù)據(jù)做回歸分析。分別選取不同的函數(shù)對(duì)配對(duì)數(shù)據(jù)擬合，最終確定冪指數(shù)函數(shù)為最優(yōu)模型。其回歸方程為：

y=3.328x0.8022

(5)

將Z1～Z7的60個(gè)故障數(shù)據(jù)按公式(5)折算，便可得到折算數(shù)據(jù)，此時(shí)Z1加工中心的小樣本數(shù)據(jù)擴(kuò)充為大樣本數(shù)據(jù)，即可用最小二乘法建立可靠性模型，求得α1=590.61，β1=1.26。因此Z1加工中心的瞬時(shí)失效率函數(shù)為：

可靠度和瞬時(shí)失效率函數(shù)的擬合曲線如圖2和圖3所示。

圖2 可靠度函數(shù)的擬合曲線 圖3 瞬時(shí)失效率函數(shù)的擬合曲線曲線

以加工中心Z2～Z7的小樣本數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，分別利用以上的方法和經(jīng)典建模法建立其可靠性模型參數(shù)，其參數(shù)估計(jì)值如表2所示。

表2 兩種方法的可靠性模型參數(shù)

將參數(shù)估計(jì)值分別代入式(6)，計(jì)算相應(yīng)的MTBF，以MTBF*=518.70h為標(biāo)準(zhǔn)，計(jì)算兩種MTBF的相對(duì)誤差。

(6)

(7)

計(jì)算結(jié)果如表3所示。

表3 MTBF的誤差

由表3知，利用回歸折算方法建立的可靠性模型誤差較小，能得到較準(zhǔn)確的可靠性模型，驗(yàn)證了本文所提方法的正確性。

5 結(jié)論

(1)引入回歸折算法對(duì)小樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行擴(kuò)充，能充分利用現(xiàn)存的所有信息，解決了小樣本數(shù)據(jù)量不足的問(wèn)題。比直接使用傳統(tǒng)建模方法建立可靠性模型，其結(jié)果更加準(zhǔn)確，從而為小樣本數(shù)控機(jī)床的可靠性建模提供了一定的指導(dǎo)方法。

(2)通過(guò)Monte-Carlo計(jì)算機(jī)模擬仿真，可見(jiàn)符合威布爾分布的小樣本故障數(shù)據(jù)經(jīng)擴(kuò)充后建立的可靠性模型更加接近真實(shí)數(shù)據(jù)，也證明了回歸折算法對(duì)威布爾分布模型數(shù)據(jù)的折算有效。

(3)以加工中心的小樣本故障數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，利用回歸折算擴(kuò)充數(shù)據(jù)的方法和經(jīng)典建模法分別建立可靠性模型，與以大樣本下經(jīng)典建模方法所建模型進(jìn)行比較，結(jié)果表明本文所提方法建立的可靠性模型誤差小。

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