淺談“形”與“數(shù)”在數(shù)與代數(shù)中的應(yīng)用

郭穎

【摘要】國內(nèi)外現(xiàn)狀：數(shù)形結(jié)合作為小學(xué)數(shù)學(xué)中非常重要的思想方法，很早就引起了許多專家學(xué)者的關(guān)注。自笛卡爾創(chuàng)造了平面直角坐標(biāo)系，數(shù)形結(jié)合的思想就得到了突飛猛進(jìn)的發(fā)展。

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合 實(shí)體化教學(xué)

【基金項(xiàng)目】課題名稱：運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想提高小學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的實(shí)踐研究，課題編號(hào)：JCJYC17040334

【中圖分類號(hào)】G623.5 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2017）22-0095-02

我校結(jié)合皮亞杰兒童認(rèn)知心理學(xué)和蒙臺(tái)梭利教學(xué)法，借助盧氏直觀思維模型和實(shí)體化教學(xué)模式，完成了小學(xué)階段的數(shù)與代數(shù)的教學(xué)，概念分類和概念認(rèn)知的學(xué)習(xí)途徑與方法的探索，形成了關(guān)于數(shù)學(xué)教學(xué)的學(xué)習(xí)目標(biāo)集、概念實(shí)體攻略、三段式教學(xué)方法。

區(qū)域現(xiàn)狀：近幾年一直在推行以“概念為本，實(shí)物配對(duì)”的實(shí)體化教學(xué)，基本理念就是“一切認(rèn)知來源于感覺，12歲以下的兒童手中沒有實(shí)物，就無法進(jìn)行思考”?，F(xiàn)今我們的教學(xué)，把課堂的主動(dòng)權(quán)還給了學(xué)生。讓學(xué)生在自由、安全的學(xué)習(xí)環(huán)境中，借助實(shí)物，通過動(dòng)手操作、展示、分享等形式充分體驗(yàn)，主動(dòng)發(fā)現(xiàn)問題，探究問題，進(jìn)而解決問題，實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)的生活化。而數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)實(shí)體化教學(xué)中進(jìn)行了很好的驗(yàn)證。

[正文]：數(shù)形結(jié)合既是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想，又是一種常用的數(shù)學(xué)方法。在教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合的思想，可把抽象的數(shù)學(xué)概念直觀化，幫助學(xué)生形成概念；可使計(jì)算中的算式形象化，幫助學(xué)生在理解算理的基礎(chǔ)上掌握算法；可將復(fù)雜問題簡單化，在解決問題的過程中，提高學(xué)生的思維能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。實(shí)踐研究適時(shí)的滲透數(shù)形結(jié)合的思想，可達(dá)到事半功倍的效果。

一、概念厘定

（一）“數(shù)”與“形”

“數(shù)”和“形”是數(shù)學(xué)中兩個(gè)最基本的概念，“數(shù)”，屬于數(shù)學(xué)抽象思維范疇，是人的左腦思維的產(chǎn)物；而“形”原來主要指幾何圖形，屬于形象思維范疇，是人的右腦思維的產(chǎn)物。但是現(xiàn)在的“形”，不單單指幾何圖形，范指具體形象運(yùn)演。即：通過形式運(yùn)演、具體實(shí)際操作，形成抽象思維能力。所以可以幫助學(xué)生理解的實(shí)物、視頻等都能看作“形”。數(shù)是形的抽象概括，形是數(shù)的直觀表現(xiàn)。華羅庚先生指出，“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”。

（二）實(shí)體化教學(xué)

“概念為本，實(shí)物配對(duì)”的實(shí)體化教學(xué)，指的是使人身心一體化的教育。皮亞杰認(rèn)為：12歲之前的兒童處于要依靠具體的實(shí)物，使用感覺和體驗(yàn)學(xué)習(xí)的過程。孫瑞雪認(rèn)為：12歲的兒童手中沒有實(shí)物無法形成認(rèn)知。

“把兒童從感覺訓(xùn)練引向概念”就是智力教育；認(rèn)知形成有這樣一個(gè)基本的過程：感覺---知覺---概念。離開了感覺，由成人“教”出來的東西，只是知識(shí)，而非智力；離開了感覺，就會(huì)導(dǎo)致感知覺分離。感覺是感覺、認(rèn)識(shí)是認(rèn)識(shí)、做法是做法，無法完成整個(gè)認(rèn)知過程，到達(dá)智力層面。

實(shí)體化教學(xué)分為兩部分：實(shí)體化概念和概念實(shí)體化。實(shí)體化概念即：經(jīng)由充分的體驗(yàn)過程，形成的概念。概念實(shí)體化即：將概念與生活對(duì)接。

二、“形”與“數(shù)”在數(shù)與代數(shù)中的實(shí)施案例

（一）“形”+“數(shù)”的概念，讓概念更加具體

人教版三年級(jí)上冊(cè)《噸的認(rèn)識(shí)》這一課。由于“噸”這個(gè)概念學(xué)生不會(huì)有感受，所以我們?cè)诮虒W(xué)本課時(shí)，讓每個(gè)學(xué)生從家里帶了不同種類但是質(zhì)量都是5千克的物品，如：大米、面粉、糖、鹽等。整個(gè)三年級(jí)的學(xué)生全部集中在操場(chǎng)上，先在各班通過拿、掂感受5千克、10千克。然后集中20個(gè)人的物品放在一個(gè)大袋子里，學(xué)生通過拖、抱感受100千克。最后集齊十個(gè)100千克的大袋子，放在一起，讓孩子通過直觀感受1噸的重量。通過上面學(xué)生的實(shí)體化活動(dòng)，回到班里，學(xué)生分享剛才活動(dòng)的感受。有的學(xué)生說：“5千克、10千克的時(shí)候我能輕松地抱動(dòng)，但是100千克我就只能拖著它走，1000千克看著那么多，我怎么都抱不動(dòng)，而且我們小組的人一起上也抱不動(dòng)”。有的學(xué)生說“原來不知道1噸有這么多，這么重”。學(xué)生充分分享后，老師適時(shí)地出現(xiàn)“噸和千克”的關(guān)系和進(jìn)率。通過實(shí)物操作，也就是“形”，最后幫助學(xué)生抽象出“數(shù)”，即“1噸=1000千克”，學(xué)生經(jīng)歷了感覺——知覺——認(rèn)知，最后形成智力。

（二）“形”+“數(shù)”的計(jì)算，讓算理更加清晰

人教版五年級(jí)上冊(cè)《解方程》例1的變式（因?yàn)闆]有質(zhì)量是3克和9克的砝碼，所以變動(dòng)原例題“x+3=9”）x+5=15。學(xué)生在之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了等式的性質(zhì)，本節(jié)課給每個(gè)小組配備一個(gè)天平、一盒砝碼和一小包鹽。告訴學(xué)生一個(gè)5克的砝碼加上這包鹽是15克，求這包鹽的質(zhì)量。讓學(xué)生自主列出方程，小組合作利用等式的性質(zhì)，用天平來稱出這包鹽的質(zhì)量。

生1：我們組在天平的左邊放上5克的砝碼和鹽，右邊我們嘗試了幾次，發(fā)現(xiàn)用1個(gè)10克、1個(gè)5克的砝碼正好能使天平平衡，然后在天平的左右兩邊同時(shí)去掉1個(gè)5克的砝碼，天平仍然平衡，所以這包鹽重10克。

生2：我覺得用天平太麻煩，我把操作天平的過程畫了圖，即：

這樣簡單，而且也很直觀。

生3：我把操作天平的過程寫了下來，就是解這個(gè)方程的過程，即：

x+5=15

解：x+5-5=15-5

x=10

學(xué)生一步步從操作天平（具象）——畫出過程圖（半具象）——解方程（抽象），借助天平（形）——解方程（數(shù)），充分理解了解方程的算理，為后面解復(fù)雜方程打下牢固的基礎(chǔ)。

（三）“形”+“解決問題”，讓思路更加直觀

人教版小學(xué)數(shù)學(xué)一年級(jí)上冊(cè)，第六單元例6《中間有幾人》，“小麗排第10，小宇排第15。小麗和小宇之間有幾人？”對(duì)于一年級(jí)的學(xué)生來說，這樣的問題不容易解決，因?yàn)樗炔皇且阎w求部分，也不是已知部分求整體，而且還包含著序數(shù)的含義。所以需要運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，讓孩子們自己站隊(duì)演示，把抽象的數(shù)學(xué)問題實(shí)體化。通過自己的切實(shí)體驗(yàn)感知“第10個(gè)人到第15個(gè)人之間”不含第10個(gè)人和第15個(gè)人，運(yùn)用點(diǎn)數(shù)法便可以輕松地解決。在此活動(dòng)之后，讓學(xué)生嘗試用半具象半抽象的圖形表示出來。

在此基礎(chǔ)上最終達(dá)到直接運(yùn)用數(shù)數(shù)的方法解決此問題。

（四）以形助數(shù)巧理解

人教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級(jí)上冊(cè)第四單元例3“積的變化規(guī)律”后面的“做一做”中有一道習(xí)題，“已知一塊長方形綠地的面積是200平方米，寬8米。如果這塊綠地的長不變，寬增加到24米。擴(kuò)大后的綠地面積是多少？”由于已經(jīng)學(xué)過長方形的面積計(jì)算方法，因此學(xué)生習(xí)慣先算出綠地的長，再用長和增加后的寬求出擴(kuò)大后綠地的面積。在此發(fā)問：“寬從8米增加到24米，還可以如何表達(dá)寬的變化？”促使學(xué)生發(fā)現(xiàn)寬乘了3。再引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用“積的變化規(guī)律”思考：長（一個(gè)因數(shù)）不變，寬（另一個(gè)因數(shù)）乘3，長方形的面積（積）會(huì)發(fā)生什么變化。學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)，長方形的面積也會(huì)乘3。從而運(yùn)用積的變化規(guī)律巧算長方形的面積，巧妙地用“數(shù)”解“形”。以這道題為教學(xué)資源，讓學(xué)生通過拼擺或畫圖的方法，從幾何的角度自主探索：長方形的長不變，寬乘3，面積為什么也乘3。

通過討論、分享讓學(xué)生感受a×b中，a不變，b×3，積會(huì)變成3個(gè)（a×b），即3（a×b）。經(jīng)歷了對(duì)“形”的研究過程，學(xué)生對(duì)“數(shù)”的理解會(huì)更進(jìn)一步。

數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過程，感覺非常重要。在教學(xué)中，如果不讓兒童通過身體的各個(gè)部位與感官來實(shí)體化地體驗(yàn)，就無法使他們產(chǎn)生感受、情緒、意境、精神，而只能形成一些死記硬背的東西，成為裝載知識(shí)的容器。而數(shù)形結(jié)合的方法恰好就在把抽象的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化成學(xué)生易于理解的方式。借助數(shù)形結(jié)合，為實(shí)體化教學(xué)提供了很好的教學(xué)方法和解決方案。這也是實(shí)體化教學(xué)和數(shù)形結(jié)合思想方法異曲同工的地方。教學(xué)中，借助實(shí)物（形），再現(xiàn)生活情景，引導(dǎo)學(xué)生回歸生活實(shí)踐，激發(fā)學(xué)生自覺應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決生活中的相關(guān)問題，學(xué)會(huì)理性思考，用數(shù)學(xué)方法理解和解釋實(shí)際問題，促進(jìn)知識(shí)的“內(nèi)化”，有效地提高課堂教學(xué)質(zhì)量，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

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