高正平，郭靖鋒

（電子科技大學(xué)微電子與固體電子學(xué)院 四川 成都 610054）

1 引言

隨機粗糙面的電磁散射研究，一直以來都是材料學(xué)、電磁學(xué)等各個領(lǐng)域研究的重點關(guān)注課題[1-4]。特別是在最近幾十年來，各種算法在隨機粗糙面的RCS研究上取得了巨大的進(jìn)展，本文重點解決的是計算隨機粗糙面的電磁散射系數(shù)時，傳統(tǒng)的積分方程產(chǎn)生的低頻崩潰問題。矩量法（MOM）是求解電積分方程的最常用一種方法。本文先用商業(yè)FEKO軟件中矩量法MOM對隨機粗糙面雙站散射系數(shù)σ進(jìn)行計算，然后再用自編程軟件的中AEFIE算法來解決計算隨機粗糙面的RCS時，傳統(tǒng)電場積分方程面臨的低頻崩潰問題。并用自編程軟件計算得出隨機粗糙面的散射系數(shù)，通過與商業(yè)FEKO軟件中傳統(tǒng)的多層快速多極子算法（MLFMA）算法計算的數(shù)據(jù)進(jìn)行對比，來表明新型積分方程的計算時間短，占用內(nèi)存少等優(yōu)勢。

MATLAB軟件是當(dāng)前制作數(shù)值3D模型最為流行的軟件之一，本文用線性濾波法把隨機粗糙面仿真出二維模型，再把二維模型導(dǎo)入到商業(yè)FEKO軟件或自編程軟件中去。為了提高自編程軟件和用戶之間信息交互能力，可采用可視化的用戶接口即UI（User Interface）界面。本文利用Microsoft Visual C++ 6.0編程平臺使用C++語言進(jìn)行編程，用自編程的增量積分方程來計算隨機粗糙面的電磁散射系數(shù)。

2 模型建立與算法的實現(xiàn)

2.1 計算機的硬件與軟件配置

計算機中央處理器（CPU）采用的是Intel Core i7-6700HQ 2.6GHz，計算機內(nèi)存（Memory）采用的是16GB（聯(lián)想 DDR3 2400MHz），操作系統(tǒng)（OS）采用的是Windows 10 SP1（64位），開發(fā)平臺采用的是Microsoft Visual C++ 6.0，開發(fā)語言使用C++語言。

2.2 二維隨機粗糙面模型的建立

我們可以通過MATLAB等軟件把高低起伏的地面仿真出二維隨機粗糙面模型，隨機粗糙表面由均方根長度δ和表面相關(guān)長度l兩個基本參量決定[5-7]。

E[ ]表示整個隨機粗糙面平均值，z=f（x）表示的是隨機粗糙面高度起伏的函數(shù)表達(dá)式，高度起伏的分布情況則是由概率密度函數(shù)p（f）來表征。

對于一個隨機粗糙表面，它的粗糙面特性并不僅用均方根來描述，另外的一個重要參數(shù)就是相關(guān)函數(shù)[8-9]。

將自相關(guān)函數(shù)進(jìn)行歸一化處理得到相關(guān)系數(shù)為

本文用蒙特卡羅方法（線性濾波法）生成一個二維的隨機粗糙面，粗糙面上每一點的高度可表示為[10]

其中

上式中表示要生成隨機粗糙面的功率譜密度函數(shù)為[11]

圖1（a）、（b）、（c）和（d）是當(dāng)均方根高度δ取值為0.05λ、0.1λ、0.2λ、0.3λ，相關(guān)長度l取固定值為0.5λ時的隨機粗糙面圖形

圖1 隨機粗糙面l=0.5λ：（a）δ=0.05λ；（b）δ=0.1λ；（c）δ=0.2λ；（d）δ=0.3λFig.1 random rough surfacel=0.5λ of （a）δ=0.05λ；（b）δ=0.1λ；（c）δ=0.2λ；（d）δ=0.3λ

圖2（a）、（b）、（c）和（d）分別為當(dāng)相關(guān)長度l分別取值為0.3λ，1λ均方根高度取固定值為0.1λ的二維粗糙面模型

圖2 隨機粗糙面δ=0.1λ：（a）l=0.3λ；（b）l=0.7λ；（c）l=1λ；（d）l=2λFig.2random rough surface δ=0.1λ of （a）l=0.3λ；（b）l=0.7λ；（c）l=1λ；（d）l=2λ

從上述用MATALB軟件仿真出來的二維隨機粗糙面模型可以看出，在l固定的情況下，隨著δ的增大，隨機粗糙面的起伏也就越來越大，粗糙面的峰值和谷值的絕對值就越大。即粗糙面的高度起伏與均方根高度成正比。同樣可以看出在δ為固定值時，l增大，隨機粗糙面變化就變得緩慢。

2.3 增量型電場積分方程實現(xiàn)

增量型電場積分方程（AEFIE）是一種通過改變積分方程的形式來消除低頻崩潰問題的一種有效方法，被提出后迅速成為有效的計算工具[12-14]。AEFIE中的矢量位和標(biāo)量位被分離，電流連續(xù)性限制條件被用于建立額外的方程系統(tǒng)。通過采用合適的頻率擴張因子，可以去除低頻問題。

采用三角貼片對待求解的目標(biāo)進(jìn)行剖分。假定剖分后的三角貼片相關(guān)的內(nèi)邊有e條。RWG基函數(shù)為[15]

An+，An-分別為三角形Tn+，Tn-的面積。對于三角貼片，可以定義這樣的脈沖基函數(shù)來表示電荷

通過這些基函數(shù)，可以定義三個矩陣V∈Ce×e，S ∈ Ce×e以及 P ∈ Ce×e

這樣，傳統(tǒng)的基于RWG基函數(shù)的 EFIE 可以寫成[16]

通過幾何剖分模型中三角貼片和其公共邊的關(guān)系構(gòu)造一個連接矩陣∈Ce×e，其定義如下

標(biāo)量位的矩陣表示

假定三角貼片上電荷密度的系數(shù)向量為d，那么d可以用下式表示

這樣就可以得到源荷分離的電場積分表達(dá)式

成功得到了增量型電場積分方程的實現(xiàn)方法，利用Microsoft Visual C++ 6.0編程平臺使用C++語言對推導(dǎo)出的算法進(jìn)行編程，軟件程序主要由三個模塊構(gòu)成：（1）網(wǎng)格模型導(dǎo)入模塊；（2）計算參數(shù)設(shè)置模塊；（3）電磁計算程序模塊。

3 計算結(jié)果及驗證

本文采用波長為1米頻率為f=300MHz的入射波，粗糙面長度L=10λ，入射角θi=30°。每個波長被剖分為30個單元。

垂直極化波入射時，取相關(guān)長度為固定值l=0.5λ，均方根δ取值為δ=0.05λ、δ=0.2λ。再取高度起伏均方根分為固定值δ=0.05λ，選取相關(guān)長度為分別為l=0.3λ、l=1λ。用商業(yè)FEKO軟件中MOM算法計算隨機粗糙面雙站散射系數(shù)σ由于計算量過于巨大以及數(shù)值不穩(wěn)定等原因?qū)е翭EKO內(nèi)存不足，不能計算出電磁散射系數(shù)。再采用商業(yè)FEKO軟件中MLFMA算法與自編程軟件中AEFIE算法計算隨機粗糙面雙站散射系數(shù)σ，每種隨機粗糙面取30個樣本進(jìn)行雙站散射系數(shù)的計算并取平均值，最終得到計算時間與內(nèi)存消耗量如表1，得到的RCS曲線圖如圖3、4。

表1 兩種算法的計算時間與內(nèi)存消耗Table.1 Chemical components of the prepared samples （mass fraction/%）

從上表可以看出無論計算時間還是對計算機的內(nèi)存消耗AEFIE算法更具有一定的優(yōu)勢，與傳統(tǒng)的MLFMA算法相比，AEFIE用MLFMA算法加速后消耗內(nèi)存更少，計算用時更少。

圖3 均方根高度不同MLFMA和AEFIE算法RCSFig.3 RCS calculated by MLFMA and AEFIE algorithms with different root mean square heights

圖4 相關(guān)長度不同MLFMA和AEFIE算法RCSFig.4 RCS calculated by MLFMA and AEFIE algorithms with different relevant length

如圖（e）（f）所示，通過對照看出，商業(yè)FEKO軟件計算隨機粗糙面散射系數(shù)與自編程軟件計算結(jié)果基本一致，表明了AEFIE方法計算隨機粗糙面雙站散射系數(shù)σ的準(zhǔn)確有效性。同時通過圖（e）驗證了在鏡向上，散射系數(shù)σ隨高度起伏均方根δ的減小而增大，而在其余大部分的散射區(qū)域中，散射系數(shù)σ隨高度起伏均方根δ的減小跟著減小。通過圖（f）在鏡向上，散射系數(shù)σ隨高度起伏均方根δ的減小而增大，而在其余大部分的散射區(qū)域中，散射系數(shù)σ隨高度起伏均方根δ的減小跟著減小。

4 結(jié)論

本文利用Microsoft Visual C++ 6.0編程平臺使用C++語言進(jìn)行編程，用自編程的增量積分方程的方法來求解低頻TM波入射隨機粗糙面導(dǎo)致傳統(tǒng)積分方程出現(xiàn)低頻崩潰問題。并用自編程軟件的AEFIE算法與商業(yè)FEKO軟件中MLFMA算法對隨機粗糙面雙站散射系數(shù)σ進(jìn)行計算消耗的時間與內(nèi)存的平均值，表明了AEFIE用MLFMA加速后與傳統(tǒng)的MLFMA算法計算隨機粗糙面散射系數(shù)σ的有占用計算機內(nèi)存少，計算時間短等優(yōu)勢。同時通過得到的RCS曲線圖，表明了AEFIE方法計算隨機粗糙面雙站散射系數(shù) σ的準(zhǔn)確有效性。同時驗證了在鏡像上，σ 隨高度起伏均方根δ 的變小而增大，幾乎不受l變化所影響，而在非鏡像上，散射系數(shù)σ 隨高度起伏均方根δ的減小跟著減小，卻會隨其相關(guān)長度l的減小而增大。

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