韓亞君,高文華,康 琳

(太原科技大學(xué)電子信息工程學(xué)院,太原 030024)

無線傳感器網(wǎng)絡(luò)由大量的微小的、低功率的節(jié)點(diǎn)組成,節(jié)點(diǎn)將感知到的信息傳到匯聚節(jié)點(diǎn),匯聚節(jié)點(diǎn)再將數(shù)據(jù)傳輸?shù)交?達(dá)到通信的目的。無線傳感器網(wǎng)絡(luò)有感知、計(jì)算和通信的能力,廣泛應(yīng)用于軍事偵察、環(huán)境監(jiān)測(cè)、基礎(chǔ)設(shè)施、災(zāi)害搜救、設(shè)備診斷和其他工業(yè)應(yīng)用[1-2]。為了確保整個(gè)傳感網(wǎng)絡(luò)所在區(qū)域信息向匯聚節(jié)點(diǎn)的的傳輸,網(wǎng)絡(luò)的覆蓋和連通必須同時(shí)得到保證。

受限于部署成本,達(dá)到網(wǎng)絡(luò)的全連通是不能實(shí)現(xiàn)的,為了滿足網(wǎng)絡(luò)的覆蓋與連通問題,Broadbent等[3]人最早將滲流理論引入到無線網(wǎng)絡(luò)的連通問題的研究,當(dāng)網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)分布密度達(dá)到一定的數(shù)值,整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的連通就可以由部分連通轉(zhuǎn)化為全連通,即形成了整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的滲流。Scher等[4]提出了滲流密度來表示節(jié)點(diǎn)的分布情況。在此基礎(chǔ)上,Mertens等[5]提出一種算法計(jì)算了二維連續(xù)介質(zhì)滲流閾值,用臨界滲流密度來表示節(jié)點(diǎn)在覆蓋性的情況下最少節(jié)點(diǎn)數(shù)目。在滲流理論中,有很多模型,例如:Ammari等[6]提出了一個(gè)關(guān)于滲流網(wǎng)絡(luò)的磁盤相關(guān)模型;Li等[7]提出了一種連接組合模型;Wang等[8]提出了一種新穎的完全信息覆蓋模型。在這3種模型中,本文選用磁盤相關(guān)模型。在實(shí)際的節(jié)點(diǎn)部署中,必須考慮實(shí)際情況,Chau等[9]說明了定向傳輸在大規(guī)模無線網(wǎng)絡(luò)中的重要作用,Sung等[10]在定向傳輸?shù)幕A(chǔ)上用多邊形法建立覆蓋改善定向無線傳感器網(wǎng)絡(luò),Ai等[11]分析了在無線傳感器中定向傳感器的隨機(jī)部署,Gupta等[12]人研究了在隨機(jī)異構(gòu)情況下的覆蓋連通問題,在無線傳感器網(wǎng)咯中,節(jié)點(diǎn)隨機(jī)分布,并且節(jié)點(diǎn)的感知半徑不同,形狀不同,遵循圓盤模型,但可以有不同的形狀,提出一個(gè)有界區(qū)域的近似泊松模型,計(jì)算了網(wǎng)絡(luò)規(guī)模和網(wǎng)絡(luò)參數(shù)。本文研究隨機(jī)異構(gòu)情況下前向傳輸?shù)膫鞲芯W(wǎng)絡(luò)。同時(shí)Li等[13]人擴(kuò)展了排除區(qū)域的理論,Khanjary等[14]運(yùn)用排除區(qū)域的概念得到前向同構(gòu)情況下的排除區(qū)域的近似值,以及臨界滲流密度,Li等[15]人在將協(xié)作傳輸路徑的感知角度從π擴(kuò)展到2π,并且計(jì)算了各個(gè)角度排除區(qū)域面積的實(shí)際值,得到實(shí)際的臨界滲流密度。實(shí)際得到的臨界滲流密度比近似的臨界滲流密度小,更能夠節(jié)省資源。在實(shí)際情況中,傳感器節(jié)點(diǎn)的感知角度不盡相同,因此研究隨機(jī)異構(gòu)前向傳輸節(jié)點(diǎn)部署的滲流密度具有重要的實(shí)際意義。

本文基于連續(xù)滲流理論構(gòu)建了前向傳輸(0≤φ≤π)異構(gòu)網(wǎng)絡(luò)的連續(xù)滲流模型。模型中,基于異構(gòu)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)感知角度的差異性,被視作協(xié)作傳輸路徑的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的感知角度不同且之和為2π,在隨機(jī)出現(xiàn)節(jié)點(diǎn)的感知角度中,我們?nèi)√厥獾膫鞲衅鞲兄嵌鹊膮f(xié)作傳輸路徑:π/4、7π/4;2π/4、6π/4;3π/4、5π/4;π、π,基于異構(gòu)網(wǎng)絡(luò)的滲流模型,得到前向傳輸異構(gòu)網(wǎng)絡(luò)的連續(xù)滲流密度。

這篇文章結(jié)構(gòu)安排如下:第1部分介紹了系統(tǒng)模型及相關(guān)定義。第2部分詳細(xì)介紹了異構(gòu)節(jié)點(diǎn)滲流模型。第3部分對(duì)數(shù)值結(jié)果進(jìn)行仿真和分析。第4部分對(duì)文章進(jìn)行總結(jié)。

1 系統(tǒng)模型和定義

定義1(空間泊松分布) 它是一種常見的離散概率型分布,令Xλ代表目標(biāo)區(qū)域A內(nèi)的節(jié)點(diǎn)數(shù)目的隨機(jī)變量,λc為節(jié)點(diǎn)密度,且λc=λ|A|,其中λ為單位面積的節(jié)點(diǎn)密度,K(K≥0)為目標(biāo)區(qū)域內(nèi)的節(jié)點(diǎn)數(shù)目,則其概率可以表示為[6]:

(1)

定義2(傳感器模型) 我們定義傳感器的傳感范圍Si為[7]:

(2)

定義3(通信模型) 我們定義了通信模型為[7]:

(3)

圖1 傳感器的感知模型和通信模型

定義4(協(xié)作與通信傳感器) 兩個(gè)傳感器si和sj協(xié)作的條件是,當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)感知磁盤中心間的歐氏距離滿足|ξi-ξj|≤2r,即兩個(gè)傳感磁盤相切或重疊(如圖2(a)所示)。協(xié)作的一組傳感器si,用Col(Si)表示[6]:

Col(Si)={ξj:|ξi-ξj|≤2r}

(4)

兩個(gè)傳感器Si和Sj通信的條件是,當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)感知磁盤中心間的歐氏距離滿足|ξi-ξj|≤R(如圖2(b)所示)。通信的一組傳感器Si,用Com(Si)表示[6]:

Com(Si)={Sj:|Si-Sj|≤R}

(5)

圖2 協(xié)作傳感器和通信傳感器

定義5(協(xié)作與傳輸路徑) 兩個(gè)傳感器Si和Sj之間的協(xié)作路徑是一個(gè)傳感器序列Si,Si+1,…,Sj-1,Sj,任何一對(duì)傳感器Sl和Sl+1都可協(xié)作,其中i≤l≤j-1(如圖3(a)所示)。

兩個(gè)傳感器Si和Sj之間的傳輸路徑是一個(gè)傳感器序列Si,Si+1,…,Sj-1,Sj,任何一對(duì)傳感器Sl和Sl+1都可通信,其中i≤l≤j-1(如圖3(b)所示)。

圖3 協(xié)作路徑和傳輸路徑

定義6(前向異構(gòu)無線傳感器網(wǎng)絡(luò)) 前向傳輸:如圖4(a)所示,節(jié)點(diǎn)的感知方向?yàn)楣?jié)點(diǎn)與Sink節(jié)點(diǎn)連線的方向,且節(jié)點(diǎn)的感知范圍服從定義2,即稱前向傳輸。且在視頻傳輸中最為常見[16]。

異構(gòu)模型 將節(jié)點(diǎn)的感知角度近似看作有π/4、π/2、3π/4、π、5π/4、3π/2、7π/4等等,它們各個(gè)角度的節(jié)點(diǎn)隨機(jī)分布,如圖4(b)所示。在這里我們考慮特殊情況下的分布,在上述節(jié)點(diǎn)感知角度情況下,兩個(gè)節(jié)點(diǎn)感知角度之和為2π的節(jié)點(diǎn)作為一個(gè)協(xié)作傳輸路徑,如圖4(c)所示。然后對(duì)各種情況的協(xié)作傳輸路徑進(jìn)行討論。

圖4 前向異構(gòu)無線傳感器網(wǎng)絡(luò)

定義7(排除區(qū)域與總的排除區(qū)域) 排除區(qū)域指協(xié)作傳輸路徑中兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的感知區(qū)域沒有重疊部分的情況下,所能感知的最大范圍的面積,排除區(qū)域用〈aex〉表示,對(duì)一目標(biāo)區(qū)域來說,總的排除區(qū)域用〈Aex〉表示。

總的排除區(qū)域在之前的研究中已經(jīng)得到,在這里,我們?nèi)　碅ex〉=4.5。且排除區(qū)域與總的排除區(qū)域的關(guān)系如下[13]:

〈Aex〉=〈aex〉λc

(6)

定義8(填充系數(shù)) 如果一個(gè)節(jié)點(diǎn)的感知面積為a,在均勻泊松分布中,其密度λ可以表示為[14]:

ηc=λa

(7)

φ=1-e-ηc

(8)

式中:ηc為目標(biāo)區(qū)域密度,φ為填充系數(shù)。在均勻泊松分布中,填充系數(shù)φ與模型的密度λ越接近,其模型越具有優(yōu)勢(shì)。

2 異構(gòu)節(jié)點(diǎn)模型

對(duì)于異構(gòu)系統(tǒng)(協(xié)作傳輸路徑中的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的感知區(qū)域的角度不同,且協(xié)作傳輸路徑的感知角度之和為2π)總的排除區(qū)域〈Aex〉=4.5是維度不變的,又由于式(6),可以通過計(jì)算單個(gè)對(duì)象的排除區(qū)域〈aex〉得出臨界密度。接下來,介紹如何基于吉爾伯特模型求得單個(gè)對(duì)象的排除區(qū)域。當(dāng)節(jié)點(diǎn)隨機(jī)分布時(shí),假設(shè)協(xié)作傳輸路徑中的一個(gè)節(jié)點(diǎn)周圍隨機(jī)出現(xiàn)與其感知角度之和為2π的節(jié)點(diǎn)時(shí),就會(huì)得到一個(gè)在保證覆蓋連通情況下另一個(gè)節(jié)點(diǎn)所能存在的最大的區(qū)域,就是所求的排除區(qū)域。如圖5給出了前向傳感器感知角度不同時(shí)的排除區(qū)域(在第一象限的較為粗的邊緣區(qū)域?yàn)?/4排除區(qū)域面積,區(qū)域中的幾條直線將1/4排除區(qū)域分為幾個(gè)區(qū)域,以便計(jì)算)。

由于幾何的對(duì)稱性,在這里,只計(jì)算四分之一的排除區(qū)域(紅線部分),因此可用幾何學(xué)知識(shí)計(jì)算得到不同感知角度下的的排除區(qū)域。

①圖5(a)中根據(jù)排除區(qū)域的定義,得到感知角度為0≤φ≤π/4的情況下的排除區(qū)域的面積:

圖5 排除區(qū)域

(9)

②當(dāng)感知角度為π/4<φ<π/2時(shí),其排除區(qū)域的面積與感知角度為0≤φ≤π/4時(shí)相同,圖5(b)為當(dāng)感知角度為π/2時(shí)的排除區(qū)域的面積:

(10)

③圖5(c)為當(dāng)感知角度為π/2<φ≤3π/4時(shí)的排除區(qū)域的面積:

(11)

④在3π/4<φ<π范圍內(nèi),其排除區(qū)域與圖5(c)相同,當(dāng)φ=π時(shí),其排除區(qū)域?yàn)橄?

(12)

且當(dāng)φ=π時(shí),式(11)為:

〈aex〉=4r2+πr2

(13)

因此式(12)可以看作是式(11)的特殊值,因此可以整理為:

〈aex〉0≤φ<π/2=8r2+2sinφr2+φr2-2tan(φ/2)r2-πr2

(14)

〈aex〉π/2≤φ≤π=6sinφr2-πr2+2φr2+4r2-2r2cot(φ/2)

(15)

當(dāng)r=1時(shí),各個(gè)排除區(qū)域的面積為:

〈aex〉0≤φ<π/2=8+2sinφ+φ-2tan(φ/2)-π

(16)

〈aex〉π/2≤φ≤π=6sinφ-π+2φ+4-2cot(φ/2)

(17)

在研究基于滲流理論的排除區(qū)域、滲流密度的計(jì)算的文章中,文獻(xiàn)[14-15]分別研究了同構(gòu)模型情況的同構(gòu)近似排除區(qū)域面積、同構(gòu)近似滲流密度和同構(gòu)實(shí)際排除區(qū)域面積、同構(gòu)實(shí)際滲流密度,結(jié)果如下:

同構(gòu)近似值 對(duì)于同構(gòu)系統(tǒng),Khanjary等[7]人在之前的研究中已經(jīng)得到,將排除區(qū)域可以等效為一個(gè)六邊形,其排除區(qū)域的面積可以得到為[14]:

(18)

當(dāng)r=1時(shí),排除區(qū)域的面積為:

〈aex〉0≤φ≤π=6sin(φ/2)

(19)

同構(gòu)實(shí)際值:李等人在她的研究中對(duì)同構(gòu)系統(tǒng)的排除區(qū)域的實(shí)際值進(jìn)行計(jì)算,結(jié)果如下[15]:

(20)

〈aex〉π/2<φ≤π=2πr2+2r2-φr2-2r2cosφ-πr2sinφ

(21)

當(dāng)r=1時(shí),排除區(qū)域的面積為:

〈aex〉0≤φ≤π/2=φ+2sinφ

(22)

〈aex〉π/2<φ≤π=2π+2-φ-2cosφ-πsinφ

(23)

臨界滲流密度的計(jì)算 在滲流理論中,排除區(qū)域的面積與臨界密度的關(guān)系為式(6),那我們可以得到臨界密度的關(guān)系為[13]:

(24)

將(14)和(15)代入是(24)可得異構(gòu)情況下的臨界滲流密度:

(25)

(26)

同構(gòu)下的實(shí)際臨界滲流密度為:

(27)

(28)

同構(gòu)下的近似臨界滲流密度為:

(29)

由定義(8)的式(7)、式(8)可知:

(30)

異構(gòu)模型情況下的臨界滲流密度λc與目標(biāo)區(qū)域密度ηc可以表示為:

(31)

3 數(shù)值結(jié)果

令r=1,得到異構(gòu)的排除區(qū)域的面積、同構(gòu)的近似排除區(qū)域的面積和同構(gòu)的實(shí)際排除區(qū)域的面積,然后對(duì)這3種面積和密度進(jìn)行仿真,得到如圖6和圖7所示的仿真圖。

圖6 排除區(qū)域隨感知角度變化圖

圖7 臨界滲流密度隨感知角度變化圖

圖6中y1表示同構(gòu)實(shí)際的排除區(qū)域的面積,y2表示同構(gòu)近似的排除區(qū)域的面積,y3表示異構(gòu)的排除區(qū)域的面積值。圖中y1由式(22)、式(23)得到;y2由式(19)得到;y3由式(16)、式(17)得到。在[0,π]區(qū)間內(nèi),y3總處于y1、y2的上方。因此異構(gòu)情況下的排除區(qū)域一直比同構(gòu)情況下的排除區(qū)域的面積大,異構(gòu)情況下的排除區(qū)域更具有優(yōu)勢(shì)。并且在[π/2,3π/4] 區(qū)間內(nèi)取到最大值,最大值為9。

圖7中y1表示同構(gòu)實(shí)際值,y2表示同構(gòu)近似值,y3表示異構(gòu)的密度值。y1由式(27)、式(28)得到,y2由式(29)得到,y3由式(25)、式(26)得到。在[0,π]區(qū)間內(nèi),y3總比y1,y2小,異構(gòu)情況下的臨界滲流密度相比同構(gòu)情況下的實(shí)際值和近似值,其密度總比同構(gòu)情況下的實(shí)際值和近似值小,則可得到在相同的區(qū)域內(nèi),異構(gòu)情況下所用的節(jié)點(diǎn)數(shù)少,更加節(jié)省資源。

同時(shí),同構(gòu)情況下的密度在[0,π]范圍內(nèi)變化比較明顯;異構(gòu)情況下,密度在0.5周圍浮動(dòng),沒有較大的變化。

表1中的異構(gòu)值當(dāng)φ為π/4時(shí)由式(25)得到,當(dāng)φ為π/2、3π/4、π時(shí),由式(26)得到;同構(gòu)近似值當(dāng)φ為π/4、π/2時(shí),由式(27)得到,當(dāng)φ為3π/4、π時(shí),由式(28)得到;同構(gòu)實(shí)際值由式(29)得到。由表1可以看出,異構(gòu)的臨界滲流密度比同構(gòu)的近似值和實(shí)際值都小,異構(gòu)的臨界滲流密度穩(wěn)定在0.5上下,且異構(gòu)的臨界滲流密度比同構(gòu)實(shí)際值平均小40.77%。

表1 臨界滲流密度的異構(gòu)值、同構(gòu)近似值與同構(gòu)實(shí)際值比較

圖10 感知角度φ=3π/4時(shí),泊松密度與估計(jì)密度、填充系數(shù)間的關(guān)系

令式(31)中r=1,得到異構(gòu)模型情況下的臨界滲流密度,在這將得到的異構(gòu)臨界滲流密度稱為估計(jì)密度,將式(8)與式(31)的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比,可充分了解異構(gòu)模型情況得到的臨界滲流密度符合節(jié)點(diǎn)均勻泊松分布。如圖8～圖10所示。

圖8 感知角度φ=π/4時(shí),泊松密度與估計(jì)密度、填充系數(shù)間的關(guān)系

y1為估計(jì)密度,y2為感知角度φ=π/4時(shí)的填充系數(shù)。豎線為感知角度φ=π/4時(shí)的泊松密度。當(dāng)感知角度φ=π/4時(shí),泊松密度ηc為0.283 7,填充系數(shù)(橫線)φ為0.247 0,此時(shí)的估計(jì)密度λc為0.722 4。填充系數(shù)與估計(jì)密度的差值為0.475 4。

y1為估計(jì)密度,y2為感知角度φ=π/2時(shí)的填充系數(shù)。豎線為感知角度φ=π/2時(shí)的泊松密度。當(dāng)感知角度φ=π/2時(shí),泊松密度ηc為0.441 8,填充系數(shù)(橫線)φ為0.357 1,此時(shí)的估計(jì)密度λc為0.562 5。填充系數(shù)與估計(jì)密度的差值為0.205 4。

y1為估計(jì)密度,y2為感知角度φ=3π/4時(shí)的填充系數(shù)。豎線為感知角度φ=3π/4時(shí)的泊松密度。當(dāng)感知角度φ=3π/4時(shí),泊松密度ηc為0.590 0,填充系數(shù)(橫線)φ為0.445 7,此時(shí)的估計(jì)密度λc為0.500 8。填充系數(shù)與估計(jì)密度的差值為0.144 3。

表2 估計(jì)密度與填充系數(shù)值的比較

在感知角度的區(qū)間為[0,π],隨著感知角度的增加,估計(jì)密度與填充系數(shù)間的差距越來越小,可得異構(gòu)模型符合基于滲流理論的節(jié)點(diǎn)分布。

4 結(jié)束語

本文研究了前向傳輸定向傳感器網(wǎng)絡(luò)的覆蓋與連通問題,考慮實(shí)際情況下的節(jié)點(diǎn)前向感知角度的不同,基于滲流理論構(gòu)建了前向感知角度為的異構(gòu)節(jié)點(diǎn)對(duì)連通覆蓋模型,研究了前向傳輸異構(gòu)網(wǎng)絡(luò)的連續(xù)滲流問題。通過對(duì)異構(gòu)覆蓋模型排除區(qū)域的計(jì)算,研究了前向感知角度對(duì)異構(gòu)定向傳感網(wǎng)絡(luò)的連續(xù)滲流密度的影響。仿真實(shí)驗(yàn)表明,在前向傳輸?shù)漠悩?gòu)定向傳感網(wǎng)絡(luò)中,前向感知角度的增大可減小連續(xù)滲流密度。

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