李林華

APOS理論是一種建構(gòu)主義的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理論，是由美國(guó)數(shù)學(xué)教育學(xué)家杜賓斯基（Dubinsky）等人提出的。APOS分別是由英文“Action（操作）”“Process（過(guò)程）“Object（對(duì)象）”“Scheme（圖式）”的第一個(gè)字母組合而成。APOS理論認(rèn)為：在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，如果引導(dǎo)個(gè)體通過(guò)具體的操作行為到思維的操作，再到過(guò)程和對(duì)象階段后，個(gè)體一般就能在建構(gòu)、反思的基礎(chǔ)上把它們組合成圖式，從而理清問(wèn)題情境，順利解決問(wèn)題。通過(guò)查閱有關(guān)文獻(xiàn)我們發(fā)現(xiàn)，國(guó)內(nèi)外研究者主要關(guān)注APOS理論在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的應(yīng)用，并取得了一定的成果，而關(guān)注APOS理論在數(shù)學(xué)法則教學(xué)中的應(yīng)用研究卻很少。因此，筆者嘗試將APOS理論運(yùn)用到初中數(shù)學(xué)法則的教學(xué)中，并以新人教版七年級(jí)上冊(cè)第三章3.3《解一元一次方程——去分母》教學(xué)為例，闡述教學(xué)實(shí)踐與教學(xué)思考。

一、教學(xué)過(guò)程

（一）操作階段——?jiǎng)?chuàng)設(shè)情境，引入法則

“操作”泛指數(shù)學(xué)活動(dòng)，如動(dòng)手操作、猜想、回憶、計(jì)算、推理等。為了讓學(xué)生通過(guò)操作、思考和討論等數(shù)學(xué)活動(dòng)來(lái)解決問(wèn)題，筆者創(chuàng)設(shè)了如下問(wèn)題情境：

《九章算術(shù)》是中國(guó)古代具有代表性的數(shù)學(xué)著作，它奠定了中國(guó)古代數(shù)學(xué)的基本框架，它的代數(shù)成就主要包括開方術(shù)、正負(fù)術(shù)和方程術(shù)，其中方程術(shù)是《九章算術(shù)》最高的數(shù)學(xué)成就。《九章算術(shù)》中記載：“今有人共買雞，人出九，盈十一；人出六，不足十六.問(wèn)人數(shù)、雞價(jià)各幾何？”譯文：“有若干個(gè)人一起買雞，如果每人出9文錢，就多余11文錢；如果每人出6文錢，還缺16文錢.問(wèn)買雞的人數(shù)和雞的價(jià)錢各是多少？”

然后用課件出示問(wèn)題情境和相關(guān)圖片，并提問(wèn)：

問(wèn)題1：我們?nèi)绾卧O(shè)未知數(shù)列方程呢？

此問(wèn)題情境屬于中國(guó)古代數(shù)學(xué)的“盈不足問(wèn)題”，在利用“移項(xiàng)”解一元一次方程中學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)，因此學(xué)生能較快得到如下解答：設(shè)人數(shù)有x人，根據(jù)題意列出方程9x-11=6x+16①，解得x=9，再把x=9代入（9x-11）可得雞的價(jià)錢是70文錢。

教師及時(shí)肯定學(xué)生的解法，并追問(wèn)：

問(wèn)題2：如果設(shè)雞的價(jià)錢是m文錢，那么我們又該如何列方程呢？

學(xué)生：設(shè)雞的價(jià)錢是m文錢，如果每人出9文錢，就多余11文錢，那么所有人出的總錢數(shù)是（m+11）文錢，所以共有■人；如果每人出6文錢，還缺16文錢，那么所有人出的總錢數(shù)是（m-16）文錢，所以共有■人。由于買雞人數(shù)是一個(gè)定值，從而列出方程■=■②。

問(wèn)題3：方程①與方程②之間有怎樣的聯(lián)系？

學(xué)生：方程①是根據(jù)雞的價(jià)錢不變列方程的，方程②是根據(jù)買雞人數(shù)不變列方程的。事實(shí)上，由于9x-11=6x+16=m，通過(guò)移項(xiàng)、系數(shù)化為1可得：x=■=■，因此可得方程：■=■②，這說(shuō)明方程①與方程②在本問(wèn)題中是等價(jià)的。

以學(xué)生熟悉的“盈不足問(wèn)題”創(chuàng)設(shè)情境引入新課，營(yíng)造輕松的學(xué)習(xí)環(huán)境，使學(xué)生產(chǎn)生較強(qiáng)的求知欲望。通過(guò)同一道題目?jī)煞N不同的設(shè)未知數(shù)方法，巧妙地把新舊知識(shí)聯(lián)系在一起，既復(fù)習(xí)了學(xué)過(guò)的知識(shí)，又引出了帶有分?jǐn)?shù)系數(shù)的一元一次方程，直接指向本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容。

（二）過(guò)程階段——合作交流，習(xí)得法則

過(guò)程階段是在操作階段的基礎(chǔ)上進(jìn)行思考與概括、描述與整合，是在大腦中進(jìn)行的一種內(nèi)部的心理建構(gòu)，進(jìn)而形成一種模式的階段。

教師繼續(xù)提問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生分析思考：

問(wèn)題4：方程②該如何求解呢？

在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生進(jìn)行了熱烈的討論，其中三名學(xué)生說(shuō)出了各自的想法。

學(xué)生①：我們可以把方程②轉(zhuǎn)化為■（m+11）=■（m-16），然后根據(jù)前面學(xué)過(guò)的解法求出方程的解。

學(xué)生②：根據(jù)比例的內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積，那么方程②就可以直接轉(zhuǎn)化為9（m-16）=6（m+11），然后根據(jù)前面學(xué)過(guò)的解法求出方程的解。

學(xué)生③：前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了等式的性質(zhì)2，那么方程②兩邊同時(shí)乘以18，可以得到2（m+11）=3（m-16），然后根據(jù)前面學(xué)過(guò)的解法求出方程的解。

三名學(xué)生的精彩回答贏得了全班同學(xué)熱烈的掌聲，教師順勢(shì)追問(wèn)：

問(wèn)題5：學(xué)生③的解法中方程②兩邊同時(shí)乘以18的目的是什么？還可以乘以其他數(shù)嗎？

問(wèn)題6：三種解法各有什么特點(diǎn)與聯(lián)系？我們采用什么方法解方程■-■=0更好？

教師根據(jù)學(xué)生的回答并總結(jié)歸納：根據(jù)等式的性質(zhì)2及乘法分配律，在方程兩邊同時(shí)乘以各分母的最小公倍數(shù)可以去分母。

至此，學(xué)生在已有經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上，經(jīng)過(guò)思考、討論，體會(huì)并理解了“去分母”這一數(shù)學(xué)法則的目的及依據(jù)，為后續(xù)解方程做好了鋪墊。

接著，教師進(jìn)行變式練習(xí)。通過(guò)變式訓(xùn)練，學(xué)生感受到了去分母方法的簡(jiǎn)便，同時(shí)對(duì)去分母的目的和依據(jù)有了進(jìn)一步的理解。

（三）對(duì)象階段——學(xué)習(xí)樣例，理解法則

對(duì)象階段是指給習(xí)得的法則賦予形式化的表達(dá)，使其成為一個(gè)具體的“對(duì)象”，此階段可以使學(xué)生對(duì)所學(xué)的數(shù)學(xué)法則進(jìn)一步精致化，從而達(dá)到對(duì)法則真正的理解。

教師出示例題1：解方程■-3x=1-■，并追問(wèn)：

問(wèn)題7：解含分?jǐn)?shù)系數(shù)的一元一次方程的基本步驟有哪些？每一個(gè)步驟有什么注意事項(xiàng)？

問(wèn)題8：以為未知數(shù)的方程逐步向著x=a的形式轉(zhuǎn)化的主要依據(jù)是什么？

學(xué)生獨(dú)立完成例題1的解答，然后分組討論問(wèn)題7、問(wèn)題8，在討論過(guò)程中互相補(bǔ)充、完善，最后師生一起總結(jié)歸納得出結(jié)論。

教師用框圖展示解法流程，并在黑板上板書解題過(guò)程如下，使學(xué)生更加明確其解題步驟，規(guī)范其書寫格式，并及時(shí)總結(jié)解題過(guò)程中可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤，加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)法則的理解，從而使數(shù)學(xué)法則深深地建立在學(xué)生的頭腦中，以后遇到含分?jǐn)?shù)系數(shù)的方程就可以直接提取使用。

（四）圖式階段——拓展提高，應(yīng)用法則

學(xué)生在經(jīng)歷了前三個(gè)階段的學(xué)習(xí)，此時(shí)數(shù)學(xué)法則就以一種立體的、多層次的認(rèn)知對(duì)象存在于腦海之中，這時(shí)的對(duì)象稱為“圖式”。在這一認(rèn)知基礎(chǔ)上去解決相關(guān)的問(wèn)題，能促使學(xué)生對(duì)所學(xué)法則的認(rèn)識(shí)更加全面、豐富、清晰，運(yùn)用更加靈活。

筆者又出示了下列題組，供學(xué)生思考訓(xùn)練：

練習(xí)1：解方程■-■=1.6。

練習(xí)2：若式子■與■的值互為相反數(shù)，求a的值。

練習(xí)3：如果關(guān)于x的方程

2（x-1）-5=3+x與方程■+■=x-4的解相同，求m的值。

有了兒子，感到很幸福；可是兒子只活了他父親全部年齡的一半；兒子死后，他在極度悲痛中度過(guò)了四年，也與世長(zhǎng)辭了?！蹦阒纴G番圖去世時(shí)的年齡嗎？

本題組從不同的角度考查學(xué)生對(duì)去分母的理解程度，促使學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)的法則進(jìn)行遷移、應(yīng)用。練習(xí)1分母由整數(shù)變成了小數(shù)，考查學(xué)生對(duì)去分母的方法是否掌握；練習(xí)2中的未知數(shù)由替換為，并且以相反數(shù)的知識(shí)為情境，要求學(xué)生先列出方程再求解；練習(xí)3結(jié)合方程的解的概念考查一元一次方程的解法。

最后教師以思考題的形式引導(dǎo)學(xué)生小結(jié)：

問(wèn)題9：本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些主要內(nèi)容？

問(wèn)題10：去分母法則是怎么得到的？去分母法則的依據(jù)是什么？應(yīng)用去分母法則時(shí)應(yīng)該注意什么問(wèn)題？

通過(guò)題組練習(xí)和課堂小結(jié)，深化了學(xué)生對(duì)去分母的理解，完善了學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)， “圖式”基本上形成了，以后當(dāng)學(xué)生遇到含分?jǐn)?shù)系數(shù)的方程時(shí)，學(xué)生就會(huì)積極調(diào)動(dòng)與之相關(guān)的圖式，正向遷移，順利地解決問(wèn)題。

二、教學(xué)思考

APOS理論與《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）所倡導(dǎo)的“自主探索、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流”的教學(xué)理念不謀而合。但另一方面，也要看到并不是所有數(shù)學(xué)法則課的教學(xué)都適合用APOS理論來(lái)分析，什么教學(xué)內(nèi)容適合運(yùn)用APOS理論進(jìn)行指導(dǎo)，這是一個(gè)值得探究的問(wèn)題。其次，APOS理論的四個(gè)階段應(yīng)將其視為一個(gè)連續(xù)的過(guò)程，既不能割裂開來(lái)，也不能絕對(duì)化，實(shí)際操作中往往會(huì)有相互穿插的情況出現(xiàn)，但達(dá)到圖式水平的教學(xué)目標(biāo)不變，如何將教學(xué)環(huán)節(jié)與APOS理論的四個(gè)階段建立實(shí)質(zhì)上的聯(lián)系，是一項(xiàng)富有挑戰(zhàn)性的工作。

【基金項(xiàng)目：本文系廣州市教育科學(xué)規(guī)劃2016年度課題“基于APOS理論的初中數(shù)學(xué)公式有效教學(xué)研究”（立項(xiàng)編號(hào)：1201554222）與廣州市越秀區(qū)教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2016年度立項(xiàng)課題“基于APOS理論的初中數(shù)學(xué)公式法則有效教學(xué)研究”（課題審批號(hào)：越學(xué)科類[2016]13號(hào)）的研究成果。】

責(zé)任編輯羅峰