謝錫麟

(復(fù)旦大學(xué) 航空航天系，上海 200433)

1 追求具有一流水平的微積分教學(xué)

研習(xí)當(dāng)今具有國(guó)際一流程度的微積分教程的廣度與深度，以俄羅斯Zorich(卓里奇)著《數(shù)學(xué)分析》[1]等為代表的微積分教程，可歸納以下特點(diǎn)： ① 在講述一元微分學(xué)基礎(chǔ)上(第一學(xué)期)，多元微分學(xué)直接建立在有限維Euclid空間之間的向量值映照之上.Zorich的書還進(jìn)一步講述一般賦范線性空間之間映照的微分學(xué)，亦即一般賦范線性空間上的微分學(xué).② 在講述一元函數(shù)Riemann積分的基礎(chǔ)上(第一學(xué)期)，多元積分學(xué)則沿用有限維Eucild空間上Lebesgue積分建立的思想和方法，甚至直接進(jìn)行.③ 基于有限維Euclid空間之間微分同胚的知識(shí)，發(fā)展微分流形上的微積分[2].

上述“一流化做法”的必要性及可行性，可歸納如下：

必要性① 建立于有限維Euclid空間之間映照的微積分以及一般賦范線性空間之間映照的微分學(xué)將真正全面地展現(xiàn)微積分在認(rèn)識(shí)自然及非自然世界中的作為；相關(guān)的系統(tǒng)思想及方法不僅為力學(xué)、物理學(xué)等廣大基礎(chǔ)科學(xué)和技術(shù)科學(xué)而且也為經(jīng)濟(jì)管理等學(xué)科提供深厚的知識(shí)基礎(chǔ).② 講述一般賦范線性空間之間映照的微分學(xué)，有限維Euclid空間上Lebesgue積分建立的基本思想和方法，為進(jìn)一步研習(xí)測(cè)度論以及泛函分析做了十分有益的鋪墊；有限維Euclid空間中微分流形的初步理論為今后研習(xí)現(xiàn)代數(shù)學(xué)、力學(xué)、物理以及數(shù)理經(jīng)濟(jì)等較為高深的學(xué)問(相關(guān)系統(tǒng)思想及方法的集合)提供必要的基礎(chǔ).需指出，隨著所研究事物的復(fù)雜度的提高，測(cè)度論以及泛函分析、微分流形等基本思想和方法是我們研究和認(rèn)識(shí)復(fù)雜事物所必然需要的.

可行性① 一元微分學(xué)(面對(duì)一般實(shí)函數(shù))建立的思想和方法，可很大程度地直接應(yīng)用于有限維Euclid空間之間映照；而有限維Euclid空間之間映照的微分學(xué)建立幾乎可以“一模一樣”地應(yīng)用于一般賦范線性空間之間映照的微分學(xué)的建立.由此，我們可以將新知識(shí)的學(xué)習(xí)過程作為“溫故而知新”的過程.② 有限維Euclid空間中微分流形的初步理論實(shí)質(zhì)性地基于微分同胚的相應(yīng)結(jié)論，由此我們又可以實(shí)踐“溫故而知新”的過程.

值得指出的是，現(xiàn)行國(guó)內(nèi)數(shù)學(xué)類專業(yè)的微積分教學(xué)一般為3學(xué)期，非數(shù)學(xué)類一般為2學(xué)期，由此教學(xué)的廣度一般限于有限維Euclid空間上的微積分.經(jīng)廣泛實(shí)踐這樣的設(shè)置是合理的，并可以通過后續(xù)課程進(jìn)一步提供微積分的思想與方法.微積分知識(shí)體系不僅是諸多后續(xù)數(shù)理知識(shí)的基石，而且直接為認(rèn)知自然世界與非自然世界提供了系統(tǒng)的思想與方法.由此，研究具有一流程度的微積分教學(xué)，對(duì)創(chuàng)新性人才的培養(yǎng)具有深遠(yuǎn)的意義.

本文從方法論層面闡述數(shù)理知識(shí)體系自身研究與知識(shí)體系傳播研究的若干思想與方法，并藉此實(shí)踐于非數(shù)學(xué)類專業(yè)的微積分教學(xué).

2 教學(xué)理念與方法論層面的獲得——將教學(xué)理解為知識(shí)體系自身的研究與傳播的研究?jī)煞矫?/h2>

近些年，結(jié)合筆者就相關(guān)數(shù)理知識(shí)體系的持續(xù)性研究，明晰了一種可作為世界觀的“數(shù)理觀點(diǎn)”[3]——以數(shù)理的觀點(diǎn)認(rèn)知事物的方式與方法；數(shù)理觀點(diǎn)立足于力學(xué)、數(shù)學(xué)所屬相關(guān)知識(shí)體系，并且需要各知識(shí)體系內(nèi)在的融會(huì)貫通與觸類旁通.我們致力于融合力學(xué)、數(shù)學(xué)相關(guān)知識(shí)體系，以期為數(shù)理方面的人才培養(yǎng)提供具有一流化程度的課程體系.一流化程度指課程的廣度與深度可類比國(guó)內(nèi)外具有一流水平的教程或?qū)Ｖ?，且學(xué)生具有一定的理論聯(lián)系實(shí)際的能力.

筆者將教學(xué)理解為兩個(gè)方面即“知識(shí)體系自身的研究”與“知識(shí)體系傳播的研究”，如圖1所示.理念上，立足于基于知識(shí)體系自身的研究以驅(qū)動(dòng)知識(shí)體系傳播的研究；另一方面，基于知識(shí)體系自身的研究以驅(qū)動(dòng)科學(xué)與技術(shù)研究，科學(xué)與技術(shù)方面研究亦為教學(xué)提供實(shí)際背景與引導(dǎo).

圖1 教學(xué)的兩方面構(gòu)成與對(duì)應(yīng)的方法論研究Fig.1 Two aspects of teaching with related methodology study

3 知識(shí)體系自身的研究

3.1 知識(shí)體系自身研究的學(xué)術(shù)基礎(chǔ)

知識(shí)體系自身的研究區(qū)別于一般的科學(xué)與技術(shù)研究，科學(xué)與技術(shù)研究往往具有局部性的特點(diǎn)，致力于解決具體的一個(gè)問題或者一類問題.然而，知識(shí)體系研究致力于研究知識(shí)體系的內(nèi)在發(fā)展動(dòng)力(核心思想及其發(fā)展)、體系架構(gòu)、應(yīng)用研究，以及此知識(shí)體系與其他知識(shí)體系之間的關(guān)系；知識(shí)體系研究需要澄清所有的細(xì)節(jié)，并且需要提煉與歸納具有一般意義的思想與方法.就此，筆者獲得如下認(rèn)識(shí)：

知識(shí)點(diǎn)與知識(shí)要素以“知識(shí)點(diǎn)”分解“知識(shí)體系”，知識(shí)點(diǎn)為具有一定獨(dú)立性的知識(shí)(思想與方法)的集合.每一知識(shí)點(diǎn)再由若干“知識(shí)要素”組成，“知識(shí)要素”可為特定的數(shù)學(xué)等式、不等式或者特定的處理思想與方法，亦稱為“數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)”，如圖2(看第252頁(yè))所示.

數(shù)學(xué)通識(shí)與相似結(jié)構(gòu)值得指出的是，隸屬同一知識(shí)體系甚至不同知識(shí)體系的知識(shí)點(diǎn)可能包含相同的知識(shí)要素，稱為“數(shù)學(xué)通識(shí)”，如圖2所示.此外，知識(shí)體系之間亦可能存在“相似結(jié)構(gòu)”，如一元微分學(xué)[4]、高維微分學(xué)[5]、一般賦范線性空間上微分學(xué)[6]具有高度相似的知識(shí)點(diǎn)構(gòu)成，如點(diǎn)列極限、映照極限、映照可微性、無(wú)限小增量公式、有限增量公式、逆映照定理與隱映照定理，主要結(jié)論的分析思想與方法具有高度的統(tǒng)一性.

圖2 數(shù)學(xué)通識(shí)/相似結(jié)構(gòu)： 隸屬同一知識(shí)體系或不同知識(shí)體系的知識(shí)點(diǎn)可能包含相同的知識(shí)要素Fig.2 Mathematical generality/similar structure： It is possible to contain the same knowledge elements by different knowledge points that can be included by one knowledge system or by different knowledge systems

數(shù)學(xué)通識(shí)與相似結(jié)構(gòu)可為實(shí)現(xiàn)“同一知識(shí)體系之內(nèi)的融會(huì)貫通”、“不同知識(shí)體系之間的觸類旁通”提供一種高成效的途徑.值得指出的是，數(shù)學(xué)通識(shí)亦可服務(wù)于不同課程之間的銜接.目前，筆者嘗試在教學(xué)中突出“數(shù)學(xué)通識(shí)”，遵循由“結(jié)構(gòu)”驅(qū)動(dòng)“結(jié)論”的知識(shí)體系發(fā)展方式，此種講授風(fēng)格不僅能夠有效吸引學(xué)生的注意力，而且可收獲更為理想的教與學(xué)的成效.

正本清源正本清源，指深入研究知識(shí)體系的自身發(fā)展“動(dòng)力”——澄清各知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)系，往往可基于共同的思想與方法來發(fā)展各個(gè)知識(shí)點(diǎn).教學(xué)中表現(xiàn)為知識(shí)體系的發(fā)展更加符合正向思維，注重基于已有的知識(shí)發(fā)展新的知識(shí)，注重由結(jié)構(gòu)驅(qū)動(dòng)結(jié)論.另一方面，強(qiáng)調(diào)正本清源亦可以幫助學(xué)生不斷回顧已學(xué)的內(nèi)容，有助于獲得對(duì)知識(shí)體系的全面認(rèn)識(shí).

圖3 正本清源的事例： 一元微分學(xué)中的中值定理Fig.3 Case of radically reform： Mean value theorem in one dimensional differential calculus

如圖3所示，我們突出極限保號(hào)性決定了Fermat引理(可導(dǎo)的極值點(diǎn)其導(dǎo)數(shù)必為零)；由Fermat引理推出Rolle定理(敘述為閉區(qū)間上連續(xù)且內(nèi)部可導(dǎo)的函數(shù)，如果區(qū)間內(nèi)部有最值點(diǎn)則該點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為零；常見的形式是設(shè)定函數(shù)在端點(diǎn)上取值一致，就此決定內(nèi)部有最值點(diǎn))；基于Rolle定理可以獲得針對(duì)一般光滑曲線與Monge曲線的中值定理.值得指出的是，多數(shù)微積分教程中闡述的Lagrange中值定理，要求運(yùn)動(dòng)的水平速度不為零，就此軌跡僅能為Monge曲線；只有要求運(yùn)動(dòng)的速率不為零，軌跡才可能為一般曲線形式.此結(jié)論的獲得亦基于上述“設(shè)定函數(shù)在區(qū)間內(nèi)部有最值點(diǎn)”的Rolle定理.

圖4 格物致知的事例： 一元積分學(xué)中的積分事例Fig.4 Case of thoughtcast： An example of integral in one dimensional integral calculus

格物致知指注重將數(shù)理知識(shí)體系密切聯(lián)系于認(rèn)識(shí)世界的過程.例如針對(duì)微積分中對(duì)不定積分的分類，可以從力學(xué)、物理學(xué)等實(shí)際研究中尋找各種分類所對(duì)應(yīng)的實(shí)際背景.如4所示，水星進(jìn)動(dòng)源于相對(duì)論效應(yīng)，計(jì)算進(jìn)動(dòng)角的積分式進(jìn)行簡(jiǎn)化后就是可以利用Abel變換處理的形式.教學(xué)中注重將“數(shù)學(xué)對(duì)象”聯(lián)系于“物理現(xiàn)象”，不僅可以吸引學(xué)生的注意力，而且為認(rèn)識(shí)世界提供了有效的方式.

值得指出的是，近年來筆者越來越發(fā)現(xiàn)，具體事物的數(shù)學(xué)機(jī)制往往可以對(duì)應(yīng)于某一類數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，如某種形式的積分——由此，同一類積分可能成為“貌似完全無(wú)關(guān)”的不同事物的共同數(shù)學(xué)機(jī)制.教學(xué)中引入這樣的背景，不僅可以使得數(shù)理教學(xué)生動(dòng)活潑，而且可以幫助學(xué)生加深對(duì)事物深層機(jī)制的認(rèn)識(shí).世界的相似性，也許可以追溯為相關(guān)事物所對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)機(jī)制的相似性，亦即數(shù)學(xué)通識(shí).

3.2 微積分的主要思想

3.2.1 抓住主要矛盾忽略次要矛盾

主部分離微積分中的數(shù)列極限、函數(shù)極限都具有作為充分性方法的四則運(yùn)算，就此可以歸納主部分離：

式中的極限過程可以為數(shù)列極限、函數(shù)極限、部分和極限.主部分離的思想在于先將不起主要作用的次要因素去除，以此簡(jiǎn)化所需研究的對(duì)象.在判定廣義積分與級(jí)數(shù)斂散性時(shí)，主部分離亦起到重要的作用，可以表示為如下結(jié)論：

值得指出的是，廣義積分與級(jí)數(shù)的斂散性的判定都基于Cauchy收斂原理(結(jié)構(gòu)上一致)，而上述結(jié)論基于Cauchy收斂原理，由此廣義積分與級(jí)數(shù)具有上述相似的主部分離的結(jié)論.

體積上Riemann積分的定義高維積分學(xué)中可首先在閉方塊上建立Darboux和的分析理論，這一過程完全一致于閉區(qū)間上的Darboux和分析.進(jìn)一步獲得Lebesgue定理，亦即閉方塊上多元函數(shù)Riemann可積等價(jià)于多元函數(shù)有界與幾乎處處連續(xù)，以此可以定義允許集(有界且其邊界為零測(cè)集)上多元函數(shù)的Riemann積分，允許集則無(wú)需幾何規(guī)則.零測(cè)集的引入，可以理解為抓住主要矛盾忽略次要矛盾的一種表現(xiàn).

具有零測(cè)集修正的體積分換元公式雖然高維積分學(xué)中體積分換元公式的實(shí)質(zhì)基于微分同胚，但實(shí)際應(yīng)用中可以對(duì)于原始的積分區(qū)域與變換后的積分區(qū)域都進(jìn)行零測(cè)集修正，變換僅需要在修正后的集合之間成為微分同胚.

3.2.2 由結(jié)構(gòu)驅(qū)動(dòng)結(jié)論

結(jié)構(gòu)指事物本質(zhì)的刻畫，一個(gè)事物的本質(zhì)往往簡(jiǎn)潔明朗，并可歸納為若干要點(diǎn)；但相同的結(jié)構(gòu)卻可以衍生出很多問題與結(jié)論.由結(jié)構(gòu)驅(qū)動(dòng)結(jié)論，可以有兩個(gè)方面： 1) 自身結(jié)構(gòu)，指事物自身的本質(zhì)刻畫；2) 通識(shí)/相似結(jié)構(gòu)，指不同事物具有相同的本質(zhì)刻畫.

有界閉集或閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(隸屬自身結(jié)構(gòu)) 一般的結(jié)論有： 有界性定理、確界可達(dá)性定理、介值定理(多元函數(shù)限定在包含于閉集的連續(xù)曲線之上)、Cantor定理(一致連續(xù)性).這些結(jié)論都可以由如下結(jié)構(gòu)驅(qū)動(dòng)： ① 按Weierstrass定理，有界閉集上的點(diǎn)列必有收斂子列；② 按閉性，收斂子列的極限點(diǎn)仍然隸屬于閉集；③ 按連續(xù)性的點(diǎn)列刻畫，值域空間中對(duì)應(yīng)的函數(shù)序列收斂.

凹凸性(隸屬自身結(jié)構(gòu)) 一元函數(shù)凹凸性的本質(zhì)刻畫可為數(shù)型Jensen不等式：

以此可以獲得若干重要的不等式.由此，可以獲得結(jié)論： ① 由凹凸性可推出單側(cè)變化率的存在性，由此基于左、右變化率的存在性可得連續(xù)性；② 由凹凸性的定義，可獲得Hadamard不等式： 設(shè)f(x)在[a,b]下凸，則有

分部估計(jì)(隸屬通識(shí)結(jié)構(gòu)) 指基于結(jié)構(gòu)，將需要估計(jì)的對(duì)象分成不同的組并分別進(jìn)行估計(jì).① 閉方塊上Riemann積分的振幅和具有如下估計(jì)：

則可獲得極限估計(jì).

分離估計(jì)(隸屬通識(shí)結(jié)構(gòu)) 指基于結(jié)構(gòu)，將構(gòu)成所需估計(jì)對(duì)象的不同成分分別進(jìn)行估計(jì).① 基于Abel估計(jì)：

為控制右端項(xiàng)為小量，則可自然導(dǎo)出數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的Abel-Dirichlet判別法：

式中φ(x)Riemann可積，η(x)單調(diào)，為控制右端的兩項(xiàng)(具有相同的結(jié)構(gòu))為小量，則可自然導(dǎo)出廣義積分的Abel-Dirichlet判別法：

式中|δi|<ε∈+(i=1,2,…,N)，?|P|<δε.以此結(jié)構(gòu)，可說明： ① 曲線上積分，局部直線段與切線段近似的一致性；② 曲面上積分，局部平面塊近似與切平面塊近似的一致性；③ 基于定積分計(jì)算數(shù)列極限亦以此結(jié)構(gòu)進(jìn)行“簡(jiǎn)化”，表現(xiàn)為：

Fermat引理(隸屬通識(shí)結(jié)構(gòu)) 指一元函數(shù)在其極值點(diǎn)可導(dǎo)，則導(dǎo)數(shù)為零.Fermat引理基于極值點(diǎn)的定義、極限保號(hào)性以及整體極限的存在性等價(jià)于單側(cè)極限的存在性.多元函數(shù)也具有極值點(diǎn)的定義，并且將函數(shù)的定義限制于直線段后仍可成立Fermat引理，對(duì)應(yīng)于在極限點(diǎn)存在方向?qū)?shù)，則方向?qū)?shù)為零.進(jìn)一步，F(xiàn)ermat引理可以推廣到泛函的變分計(jì)算.泛函可以一般地理解為函數(shù)的函數(shù)：

C2(Ω)φ(x)，

λξ(λ)∶=A(φ*(x)+λθ(x))∈，

比較的思想與方法(隸屬通識(shí)結(jié)構(gòu)) 對(duì)于不變號(hào)級(jí)數(shù)與不變號(hào)函數(shù)廣義積分的斂散性的判定，主要基于比較的思想與方法.按不變號(hào)級(jí)數(shù)與不變號(hào)函數(shù)廣義積分收斂的Cauchy收斂原理：

可引入充分性估計(jì)方法：

式中λ∈+，此即“比較的思想”，形式為直接比較，ξn與φ(x)為比較的對(duì)象.按此比較方式，可以衍生出具有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值的極限形式：

上述結(jié)論具有一致的分析機(jī)制.對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)，進(jìn)一步可以設(shè)計(jì)間接的“比較的方式”：

3.2.3 一元微積分與多元微積分之間的關(guān)系

單參數(shù)化設(shè)多元函數(shù)定義在m中的一個(gè)開集，在開集中確定一個(gè)直線段或者曲線段，然后研究限制于直線段或者曲線段上的多元函數(shù)，則多元函數(shù)退化為一元函數(shù).由此，一元函數(shù)的相關(guān)結(jié)果可以延拓到多元函數(shù)，具體有： ① 直線段上連續(xù)且內(nèi)部可導(dǎo)的多元函數(shù)的Lagrange中值定理；② 直線段上連續(xù)且內(nèi)部可導(dǎo)的向量值映照的有限增量估計(jì)；③ 曲線段上多元函數(shù)與向量值映照的有限增量估計(jì).上述①、②的獲得基于一元函數(shù)的Lagrange中值定理；③的獲得需要每一直線段上的估計(jì)與Darboux和估計(jì)相聯(lián)系.

按上述分析方法可以考察極限是否路徑相關(guān)；如果路徑分析的結(jié)果顯示路徑無(wú)關(guān)，則從正面考慮極限的存在性.上述路徑分析的思想在于將平面曲線局部Monge型化，在原點(diǎn)附近考慮曲線的局部Monge化也具有一般意義，故路徑分析在考察極限是否路徑相關(guān)一般較為有效.

Fubini定理與體積分換元公式高維積分學(xué)需要為面上與體上的積分計(jì)算提供方法.Fubini定理將二維及其以上區(qū)域的積分最值轉(zhuǎn)化為閉區(qū)間上的積分，就此一般利用Newton-Leibniz定理；體積分換元公式則主要將幾何非規(guī)則區(qū)域上的積分轉(zhuǎn)換為幾何規(guī)則區(qū)域上的積分，此處幾何規(guī)則區(qū)域要求可以應(yīng)用Fubini定理；體積分換元公式的另一作用是簡(jiǎn)化被積函數(shù).總體而言，面上與體上的積分計(jì)算依然是化到閉區(qū)間上的積分，并未提供新的計(jì)算方法.值得指出的是，一元積分學(xué)中閉區(qū)間上的積分有換元公式，而高維積分學(xué)中體積分換元公式的本質(zhì)仍在于閉區(qū)間上的積分換元公式.

3.2.4 變換的思想

微分同胚高維微分學(xué)中引入微分同胚的概念，指同維Euclid空間中兩個(gè)開集之間的雙射，且原映照與逆映照都具有相同的正則性.微分同胚中的2個(gè)開集，一個(gè)可謂實(shí)際的物理區(qū)域，另一個(gè)稱為參數(shù)區(qū)域；兩者之間的雙射可以將物理區(qū)域上的分布等價(jià)于參數(shù)區(qū)域上的分布，如圖5所示；原映照與逆映照都具有一定的正則性，當(dāng)設(shè)定物理區(qū)域上的原分布可微時(shí)，有參數(shù)區(qū)域上的分布可微，就此基于復(fù)合向量值映照J(rèn)acobi矩陣計(jì)算的鏈?zhǔn)椒▌t可以程序化地將物理區(qū)域上的分布所滿足的偏微分方程(反映物理事件本身)轉(zhuǎn)換到參數(shù)區(qū)域上的分布所滿足的偏微分方程.類似于體積分換元公式，基于微分同胚一方面可以將幾何不規(guī)則的物理區(qū)域上的分布轉(zhuǎn)化至幾何規(guī)則的參數(shù)區(qū)域上的分布，并且獲得其所滿足的偏微分方程；另一方面可以通過變換簡(jiǎn)化物理區(qū)域上分布的偏微分方程.值得指出的是，基于微分同胚的上述特征，在計(jì)算力學(xué)中微分同胚也稱為曲線坐標(biāo)或者曲線坐標(biāo)系.

圖5 高維微分學(xué)中微分同胚示意圖Fig.5 The sketch of diffeomorphism in high dimensional differential calculus

秩定理對(duì)于一般的向量值映照，其自變量與因變量都可以是若干個(gè)數(shù)，由此可以理解為將一個(gè)Euclid空間中的“馬鈴薯”變化成另一個(gè)Euclid空間中的“馬鈴薯”.如果在某一點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)，向量值映照的Jacobi矩陣具有相同的秩r，則對(duì)于自變量與因變量都可以引入新的坐標(biāo)系(亦即為自變量與因變量都引入微分同胚)，在新的坐標(biāo)空間中此向量值映照將自變量空間中的一個(gè)方塊映照至方塊的底面，就此獲得了對(duì)此映照的最簡(jiǎn)單的表示.基于秩定理可以定義函數(shù)組的相關(guān)性.

Morse定理線性代數(shù)中，對(duì)稱陣可以實(shí)現(xiàn)正交相似對(duì)角化.就此，對(duì)稱陣可以理解為2個(gè)同維Euclid空間中的一種特殊的線性變換；正交相似對(duì)角化可以理解為對(duì)自變量與因變量空間引入相同的正交變換(旋轉(zhuǎn)與鏡像對(duì)稱變換)，使得在新的自變量與因變量空間中此線性變換的變換矩陣為由特征值構(gòu)成的對(duì)角陣，也就獲得了對(duì)此變換的最簡(jiǎn)單的表示.對(duì)于連續(xù)可微的多元函數(shù)，對(duì)其非退化臨界點(diǎn)的某鄰域可以引入新的自變量，就此可以獲得此多元函數(shù)的最簡(jiǎn)單的表示.

體積分換元公式體積分換元公式將幾何不規(guī)則區(qū)域上的積分轉(zhuǎn)換至幾何規(guī)則區(qū)域上的積分，以至于可以應(yīng)用Fubini定理將高維體積上的積分逐一轉(zhuǎn)換為沿各坐標(biāo)軸的閉區(qū)間上的積分.體積分換元公式的獲得本質(zhì)性地基于微分同胚的局部簡(jiǎn)單微分同胚的分解： 一般的微分同胚可以理解為力學(xué)中的一般變形/整體變形，簡(jiǎn)單微分同胚則是單方向的變形；對(duì)于足夠小的范圍，整體變形可以分解為各個(gè)方向變形的組合.對(duì)于單方向的變形，基于Fubini定理與閉區(qū)間上的積分換元公式就獲得此情況的體積分換元公式.線性代數(shù)中非奇異陣可以分解為基本初等矩陣的乘積；微分學(xué)中整體變形的Jacobi矩陣可以分解為各方向變形的Jacobi矩陣的乘積.

3.2.5 因果分解

隱映照定理按模型化的觀點(diǎn)，可以將一個(gè)事物或者事件抽象成若干要素，問題是這些要素中哪些是因，哪些是果？或者有問題是先有雞還是先有蛋？微分學(xué)中的隱映照定理回答了上述問題，在一定的條件下，可以判斷一組要素中哪些是因，哪些是果.值得指出的是，分析上可以基于壓縮映照定理證明隱映照定理，以此盡管定理本身并未給出確定由因至果的解析表示形式，但數(shù)值上可以基于壓縮映照通過迭代獲得具體的對(duì)應(yīng)關(guān)系，由此隱映照定理具有實(shí)際應(yīng)用的價(jià)值.隱映照定理的結(jié)果直接說明了有限個(gè)數(shù)中哪些是因，哪些是果，其幾何意義就是高維Euclid空間中曲線、曲面與抽象曲面的微分流形刻畫，這也是Poincare對(duì)微分流形的基本觀點(diǎn)[7].

約束上最值問題研究定義在體積(開集)上的分布的最值點(diǎn)，則基于Fermat引理： 定義在直線段上的分布在極值點(diǎn)存在可導(dǎo)，則在該點(diǎn)處分布關(guān)于直線段的方向?qū)?shù)為零；Fermat引理的實(shí)質(zhì)在于對(duì)于一元函數(shù)而言存在整體極限等價(jià)于存在單側(cè)極限、函數(shù)極限的保號(hào)性.如果所需研究的分布定義在曲面或者曲線上，則Fermat引理不能直接推廣，因?yàn)榇藭r(shí)讓分布在一個(gè)直線段上有定義都做不到.為研究約束上分布的極值點(diǎn)，基本的方法就是對(duì)約束采用微分流形的觀點(diǎn)，亦即局部意義上可以明確哪些Cartesian坐標(biāo)是因、哪些是果，由此約束上的分布就對(duì)應(yīng)為隸屬因的那部分Cartesian坐標(biāo)的函數(shù)，就此可以使用Fermat引理.以此為基礎(chǔ)，基于復(fù)合向量值映照的矩陣形式的鏈?zhǔn)角髮?dǎo)可獲得約束上分布的臨界點(diǎn)方程.值得指出的是，進(jìn)一步按展開至二階的近似以研究極值的類別可以“推導(dǎo)出”常用的處理約束上最值問題的Lagrange乘子法.

3.3 微積分的主要方法

圖6 知識(shí)轉(zhuǎn)化為方法的事例： 無(wú)限小分析方法Fig.6 Case of the transformation from knowledge to ability： The method of infinitesimal analysis

我們不應(yīng)該學(xué)習(xí)就是為了考試、考試就是為了考試、考完基本全忘記，而是應(yīng)該將知識(shí)轉(zhuǎn)化為認(rèn)識(shí)世界的能力.就此筆者建議將知識(shí)轉(zhuǎn)化為方法.所謂“方法”，指可以系統(tǒng)性解決一類問題的思路與做法，方法對(duì)于問題的處理具有較為清晰的相似性與指導(dǎo)性.獲得方法的基礎(chǔ)在于對(duì)同類問題的本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，我們將“本質(zhì)”稱為“結(jié)構(gòu)”.由于“相同的結(jié)構(gòu)可以驅(qū)動(dòng)不同的結(jié)論”，所以提煉可處理一類問題的方法也在于認(rèn)識(shí)由結(jié)構(gòu)驅(qū)動(dòng)結(jié)論的具體方式.基于方法可以將知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力.能力，指對(duì)所需研究的事物首先抽象為微積分等知識(shí)體系的研究對(duì)象，然后利用對(duì)應(yīng)的方法研究對(duì)應(yīng)的性質(zhì)，以期獲得對(duì)所研究的事物的認(rèn)識(shí).

值得指出的是，一般數(shù)學(xué)教程中往往首先通過定義確定所需研究的對(duì)象，然后推導(dǎo)出性質(zhì)、定理以表示對(duì)所需研究對(duì)象的認(rèn)識(shí).然而，性質(zhì)與定理并不總是認(rèn)識(shí)對(duì)象“最適合的形式”.例如，為研究一元函數(shù)的局部行為往往需要獲得局部意義下的高階多項(xiàng)式逼近，就此歸納無(wú)限小分析方法，如圖6所示.一元微分學(xué)中有定理： 當(dāng)f(x)在x0點(diǎn)存在p階導(dǎo)數(shù)，則有局部意義下的高階多項(xiàng)式：

原則上可以按上述定理獲得多項(xiàng)式逼近，但求解高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算量非常大.實(shí)際為獲得高階多項(xiàng)式逼近，往往對(duì)基本初等函數(shù)的展開利用“逐項(xiàng)求導(dǎo)”與“逐項(xiàng)求積”.這2個(gè)技術(shù)性引理源于上述定理與高階多項(xiàng)式逼近的唯一性.對(duì)于多元函數(shù)亦有類似的結(jié)論.由此事例可見，性質(zhì)與定理并不就是直接的方法.

3.3.1 一元微積分的主要方法

就一元微積分，現(xiàn)歸納的主要方法有下面的10類.

1) 數(shù)列極限的計(jì)算方法，包括典型的分析方法(涉及分部估計(jì)、Abel和式估計(jì)等)；引入無(wú)窮小量的做法；處理帶有和式的數(shù)列極限(Stolz定理、化為定積分)；轉(zhuǎn)化為函數(shù)極限處理.

2) 無(wú)限小分析方法，主要為獲得函數(shù)的局部高階多項(xiàng)式逼近，以此可有效處理函數(shù)極限、數(shù)列極限.方法主要包括基本初等函數(shù)的展開；技術(shù)性引理(逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)求積)；Landau符號(hào)的性質(zhì)(表現(xiàn)為抓住主要矛盾忽略次要矛盾).如圖6(看第260頁(yè))所示.

3) 函數(shù)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法，包括充分性方法(四則運(yùn)算、鏈?zhǔn)角髮?dǎo))；極限分析方法(針對(duì)分段函數(shù)).

4) 函數(shù)的定性作圖方法，用于定性繪制平面Monge型曲線、一般參數(shù)曲線，涉及確定漸近線、單調(diào)區(qū)間、凹凸區(qū)間等.

5) 一致連續(xù)性的分析方法，分為有界區(qū)間與無(wú)界區(qū)間上連續(xù)函數(shù)二類情形.有界區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的一致連續(xù)性的判定等同于判定函數(shù)是否可以連續(xù)延拓至邊界點(diǎn).

6) 不定積分的計(jì)算方法，包括基本方法(第一類換元法、第二類換元法、分部積分方法)；隸屬有理化的換元法(涉及處理根式、三角函數(shù)的變換、Euler變換與Abel變換等)；若干基于結(jié)構(gòu)的處理方法.

7) 定積分與廣義積分的計(jì)算方法，定積分的計(jì)算一般基于Newton-Leibniz公式，就此需確認(rèn)原函數(shù)；廣義積分的積分(認(rèn)定收斂)一般先獲得以積分限為自變量的函數(shù)，然后再取極限；典型廣義積分的計(jì)算，包括Euler積分、Froullani積分(涉及積分第一中值定理).

8) 廣義積分?jǐn)可⑿缘姆治龇椒?，可歸納判定絕對(duì)收斂性、自身收斂性、絕對(duì)發(fā)散性、發(fā)散性的判定方法，按上述分析流程可獲得對(duì)絕對(duì)收斂性、條件收斂性、發(fā)散性的判定.值得指出的是，無(wú)限小分析方法在廣義積分?jǐn)可⑿缘呐卸ㄖ幸嗥鸬街匾淖饔?

9) 獲得不等式的方法(包括數(shù)型、函數(shù)型、積分型不等式)，數(shù)型不等式可來源于函數(shù)的單調(diào)性、凹凸性(包括Young不等式，以此獲得H?lder不等式、Minkowskii不等式、一般形式的Jensen不等式)；函數(shù)型不等式可一般地歸結(jié)于最值問題，特別地可基于單調(diào)性；積分型不等式可源于對(duì)應(yīng)的數(shù)型不等式(包括H?lder不等式、Minkowskii不等式、一般形式的Jensen不等式)，基于凹凸性的Hadamard不等式等；積分不等式亦可聯(lián)系于變動(dòng)積分限的函數(shù)，并結(jié)合積分的相關(guān)等式與不等式.

10) 函數(shù)全局行為的分析方法(包括等式與不等式、聯(lián)系于廣義積分收斂性的性質(zhì))，這方面的內(nèi)容可以非常地廣泛，需要結(jié)合問題的具體結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析.例如，Rolle定理可以應(yīng)用于一般函數(shù)與變動(dòng)積分限的函數(shù)(共同的特點(diǎn)就是兩端一樣高)，從而獲得函數(shù)與積分的等式關(guān)系；基于積分第一與第二中值定理亦可以獲得積分型等式.

3.3.2 高維微積分的主要方法

就高維微積分，現(xiàn)歸納的主要方法有下面的12類.

1) 向量值映照/多元函數(shù)極限的計(jì)算方法，包括正向說明極限存在；基于路徑分析方法(通過極限分析找出路徑)說明極限不存在.

2) 向量值映照/多元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法，包括充分性方法與極限分析方法.特別地,在充分性方法中所提取的矩陣形式的鏈?zhǔn)角髮?dǎo),對(duì)于隱映照與逆映照的導(dǎo)數(shù)計(jì)算非常有效.

3) 無(wú)限小分析方法，亦即獲得多元函數(shù)的高階多項(xiàng)式逼近的系統(tǒng)方法.類似于獲得一元函數(shù)的高階多項(xiàng)式逼近的無(wú)限小分析方法,獲得多元函數(shù)的高階多項(xiàng)式逼近并不是直接套用無(wú)限小增量公式,而是常常基于間接性方法.

4) 隱式形式曲線與曲面的處理方法,包括基于隱映照定理獲得曲線與曲面的局部Monge表示,并基于矩陣形式的鏈?zhǔn)角髮?dǎo)計(jì)算相關(guān)幾何量.

5) 處理約束上最值問題的方法,主要基于Lagrange乘子法,包括約束上極值的類別判定.

6) 變換方程方法，按微分同胚的觀點(diǎn)，可以引入自變量變換與因變量變換，以期簡(jiǎn)化原有因變量相對(duì)于原有自變量的偏微分方程，所歸結(jié)的方法可以有效地獲得新的因變量相對(duì)于新的自變量的偏微分方程.

7) 體積分計(jì)算的換元方法,基于含有零測(cè)集修正的體積換元公式,針對(duì)積分區(qū)域與被積函數(shù),歸結(jié)常用的積分換元方法.

8) 判定正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的方法，包括通項(xiàng)的基于無(wú)限小分析方法的展開、比值形式的展開及其判定方法.

9) 判定一般數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的方法,包括絕對(duì)收斂性、條件收斂性與發(fā)散性的分析流程與判定方法.

10) 判定函數(shù)序列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性的方法，主要基于最值點(diǎn)的位置估計(jì).

11) 冪級(jí)數(shù)的相關(guān)方法，包括確定冪級(jí)數(shù)收斂域的方法，主要基于通項(xiàng)比值形式的展開；獲得復(fù)雜函數(shù)的冪級(jí)數(shù)表示，主要基于冪級(jí)數(shù)的分析性質(zhì)；基于冪級(jí)數(shù)分析性質(zhì)的相關(guān)應(yīng)用，包括微分方程的級(jí)數(shù)解法等.

12) Fourier級(jí)數(shù)的相關(guān)方法，主要基于點(diǎn)收斂意義的展開定理獲得函數(shù)的三角級(jí)數(shù)展開，包括正弦或者余弦展開.另有，內(nèi)積意義的Fourier級(jí)數(shù)展開，可在泛函分析中進(jìn)行嚴(yán)格闡述.

基于上述所歸納的方法，可以順利地處理吉米多維奇著《數(shù)學(xué)分析習(xí)題集》[8]中約70%～80%的題目.

4 知識(shí)體系傳播的研究——追求并保證對(duì)于高程度知識(shí)體系的傳播具有優(yōu)秀的教學(xué)成效

4.1 知識(shí)體系傳播研究的學(xué)術(shù)基礎(chǔ)

復(fù)雜分析過程的要義分解對(duì)于數(shù)理方面的課程，學(xué)生感到困難以至于“跟不上”的主要原因在于課堂上被一些推導(dǎo)或者結(jié)論“卡住”，往往自己還在思考，教師已經(jīng)涉及后續(xù)內(nèi)容.就此可考慮“將復(fù)雜分析過程分解為若干要義”，“要義”包括： ① 分析的總體思想與方法；② 分析涉及的基礎(chǔ)性結(jié)論；③分析涉及的特定概念與技巧.講授時(shí)，首先澄清各個(gè)要義，然后再進(jìn)行整體性的分析.對(duì)于復(fù)雜分析過程進(jìn)行要義分解，亦表示了對(duì)復(fù)雜事物的認(rèn)識(shí)過程與認(rèn)識(shí)程度，需要盡量做到“正本清源”，揭示事物的本質(zhì).

如此處理，具有如下益處： ① 可以有效降低學(xué)生對(duì)于復(fù)雜分析過程整體性與局部性理解上的困難，提高聽課的流暢性，保持學(xué)習(xí)興趣；② 有些要義為基礎(chǔ)性結(jié)論，就此再做澄清可起到“溫故而知新”的效用.對(duì)于復(fù)雜事物，往往第一遍難以理解，但第二、第三遍就能迅速提升理解的程度.課程講授也需要恰如其分地回顧已有的內(nèi)容，不僅能“承上啟下”，而且需要時(shí)再做回顧可以有效地幫助學(xué)生提高認(rèn)識(shí)程度，提高學(xué)生聽課的流暢性.

圖7為高維積分學(xué)中Stokes公式證明的流程概要，其過程可以澄清如下： ① 基于物理空間與參數(shù)空間中邊界曲線之間的關(guān)系，獲得曲面參數(shù)域邊界上的曲線積分；② 基于Green公式，將參數(shù)域邊界上的曲線積分化成參數(shù)域上的積分；③ 通過矩陣形式鏈?zhǔn)角髮?dǎo)，厘清參數(shù)域上的積分對(duì)應(yīng)速度旋度在物理空間中曲面上的通量，此處速度旋度解釋為速度Jacobi陣反稱化后的對(duì)偶向量.一般教程中Stokes公式的證明往往涉及較為復(fù)雜的計(jì)算，不易澄清證明的要點(diǎn).筆者設(shè)計(jì)的上述證明方法，無(wú)需將相關(guān)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算具體化，并且注重所推導(dǎo)式子的幾何與物理意義，基于上述3點(diǎn)在20min內(nèi)就可以講清Stokes公式的完全形式的推導(dǎo)，而且多數(shù)學(xué)生可以厘清脈絡(luò)、澄清細(xì)節(jié).

圖7 復(fù)雜過程要義分解的事例： 高維積分學(xué)中的Stokes公式Fig.7 Case of essence decomposition of complex process： Stokes formula in high dimensional integral calculus

值得指出的是，微積分等數(shù)理知識(shí)體系的基本思想與方法，往往蘊(yùn)含于分析過程，而非具體的結(jié)論；不同的分析過程往往也會(huì)導(dǎo)致不盡相同的結(jié)果.就此，數(shù)理課程需要細(xì)致剖析相關(guān)復(fù)雜分析，基于要義分解提升學(xué)生的理解程度.

教學(xué)上應(yīng)該注重向?qū)W生傳授基本的思想與方法，培養(yǎng)其具有理論聯(lián)系實(shí)際的能力；而不能停留于“依葫蘆畫瓢”式的做題，主要為了應(yīng)付考試.學(xué)習(xí)一門知識(shí)體系，如不能利用其思想與方法以認(rèn)識(shí)世界、應(yīng)用于生產(chǎn)與實(shí)踐，那就失去了意義.

圖示化研究我們對(duì)于圖形有著與生俱來的親和性與認(rèn)同感.由此，非常值得進(jìn)行知識(shí)體系的圖示化研究，可以包括下面的6個(gè)方面.

① 概念的圖示化

指將一般以文字闡述的概念與結(jié)論，通過圖示進(jìn)行表示，特別體現(xiàn)其幾何、物理意義等.

高維微分學(xué)中向量值映照極限定義的圖示化，如圖8所示，展示了極限的3種刻畫形式： 集聚刻畫(Cauchy敘述)、點(diǎn)列刻畫(Heine刻畫)、振幅刻畫(Cauchy收斂原理).值得指出的是，這種概念的圖示化可以自然衍生至分析的圖示化，有助于認(rèn)識(shí)事物的本質(zhì).

圖8 概念的圖示化的事例： 高維微分學(xué)中向量值映照的極限定義Fig.8 Case of graphicalization of concept： Definition of limitation of vector valued map in high dimensional differential calculus

② 結(jié)論的圖示化

類似于概念的圖示化，指通過圖示表示相關(guān)結(jié)論.

圖9所示顯示了高維積分學(xué)中曲面上積分的定義.一般地，將曲面上的積分分為第一類(質(zhì)量型)、第二類(通量型)曲面積分，實(shí)際流體力學(xué)中還有壓力型曲面積分，而且給出了對(duì)應(yīng)的計(jì)算公式.實(shí)際上，曲面上積分的“實(shí)質(zhì)”就是曲面細(xì)分(通過參數(shù)域細(xì)分)之后面積微元的近似，我們現(xiàn)采用切平面片近似，以此就可以獲得曲面上各種形式積分的定義式(部分和極限)，自然地也就獲得了定義于參數(shù)域上的計(jì)算式.

圖9 結(jié)論的圖示化的事例： 高維積分學(xué)中曲面上積分的定義Fig.9 Case of graphicalization of conclusion： Definition of integrals on surface in high dimensional integral calculus

③ 思想的圖示化

指通過圖示表現(xiàn)相關(guān)思想.

圖10表示了高維微分學(xué)中的主要思想“直線單參數(shù)化”，將原定義于體積的多元函數(shù)或者向量值映照限制于直線段，則成為一元函數(shù)或者單參數(shù)向量值映照.由此，對(duì)限制于直線段的多元函數(shù)就可以使用一元微積分的相關(guān)處理與結(jié)論，如Lagrange中值定理、無(wú)限小與有限增量公式等，以此可以獲得多元函數(shù)的Lagrange中值定理、無(wú)限小與有限增量公式等.可見，直線單參數(shù)化為將一元微積分的相關(guān)思想與方法引入多元函數(shù)的研究鋪設(shè)的橋梁.某種意義上而言，高維微分學(xué)知識(shí)體系可以分為2個(gè)部分： 一部分基于直線單參數(shù)化平行地推廣一元函數(shù)的相關(guān)結(jié)論；另一部分則源于高維的自身結(jié)構(gòu)，如隱映照定理等.

圖10 思想的圖示化的事例： 高維微分學(xué)中的“直線單參數(shù)化”Fig.10 Case of graphicalization of idea： Single parameterization by straight line in high dimensional differential calculus

④ 分析的圖示化

我們將復(fù)雜分析過程進(jìn)行要義分解，而對(duì)于要義的澄清可充分基于圖示化澄清或揭示相關(guān)處理的“實(shí)質(zhì)”；當(dāng)然對(duì)于一般的分析過程也可以充分利用圖示表現(xiàn)“到底是怎么回事”.看書時(shí)往往會(huì)迷惑于某句話、某一結(jié)構(gòu)或者某種作法，對(duì)此往往可以在教學(xué)中通過圖示澄清緣由，由此可有效地提升學(xué)生對(duì)基本思想與方法的學(xué)習(xí)效率，也讓其感受到認(rèn)真聽講的意義.

圖11顯示，零測(cè)集上修正一個(gè)Riemann可積函數(shù)(要求修正的值有界)依然Riemann可積并且積分值一樣的分析實(shí)質(zhì)： 零測(cè)集對(duì)應(yīng)有ε-方塊覆蓋，以此可以做譬如2倍的ε-方塊，其體積依然為小量，且對(duì)于足夠細(xì)密的分割，與ε-方塊相交的方塊將包含于2倍的ε-方塊.值得指出的是，上述分析實(shí)質(zhì)上也同樣服務(wù)于Lebesgue定理的證明.

圖11 分析的圖示化的事例： Riemann可積函數(shù)的基本性質(zhì)Fig.11 Case of graphicalization of analysis： Essential property of Riemann integrable function

⑤ 方法的圖示化

我們注重歸納與提取可以解決一類問題的系統(tǒng)性方法.由此，學(xué)生在做練習(xí)時(shí)就“有章可循”，初步實(shí)踐“理論聯(lián)系實(shí)踐”，而不是“就為了做題目而做題目”，似乎“學(xué)習(xí)就為了做題為了考試”.值得指出的是，學(xué)習(xí)期間通過做題可以理解、掌握并進(jìn)一步優(yōu)化所歸納的方法，從而今后在工作上就有能力運(yùn)用方法.值得指出的是，微積分知識(shí)體系不僅是其他數(shù)理知識(shí)體系的基礎(chǔ)，而且為認(rèn)知世界提供了系統(tǒng)且深入的思想與方法.

類比于一元積分學(xué)中對(duì)于不定積分的獲得，我們可以就有理化的處理歸類若干種換元方法，對(duì)體積上的積分也可以主要根據(jù)積分域的幾何特征構(gòu)造若干種換元形式，如圖12所示.值得指出的是，所有的換元都遵循具有零測(cè)集修正的積分換元公式.

圖12 方法的圖示化的事例： 體積分中換元的典型形式Fig.12 Case of graphicalization of method： Typical transformations of variables in volume integral valuables

⑥ 架構(gòu)的圖示化

指基于框圖表示知識(shí)體系的知識(shí)點(diǎn)及其知識(shí)要素，就此可清晰呈現(xiàn)整個(gè)知識(shí)體系的脈絡(luò)，包括數(shù)學(xué)通識(shí).學(xué)生進(jìn)行階段性或者期末總結(jié)時(shí)可以利用知識(shí)體系架構(gòu)既進(jìn)行“查漏補(bǔ)缺”，亦建立總體性的認(rèn)識(shí).

值得指出的是，數(shù)理課程教學(xué)上，可基于板書充分地進(jìn)行概念與分析過程的圖示化闡述，不僅可以使得課程講授生動(dòng)、清晰而避免乏味的照本宣科，而且可以深入地揭示事物的本質(zhì).

值得指出的是，復(fù)雜過程的要義分解、圖示化研究都主要基于對(duì)知識(shí)體系自身的系統(tǒng)且深入的研究；由此課堂講授大量反映教師自身的認(rèn)識(shí)與體會(huì)，這不僅能吸引學(xué)生的注意力，而且有利于學(xué)生基于教師的認(rèn)知而獲得“事半功倍”的學(xué)習(xí)成效——這也是筆者傳播數(shù)理知識(shí)體系的主要追求.

4.2 在線資源

4.2.1 課程體系網(wǎng)站

為配合微積分教學(xué)，筆者建設(shè)有課程體系網(wǎng)站： 微積分的一流化進(jìn)程(http：∥fdjpkc.fudan.edu.cn/d201353/main.htm).

本課程體系網(wǎng)站的建設(shè)基于微積分相關(guān)數(shù)理知識(shí)體系的研習(xí)，表現(xiàn)在2個(gè)方面： ①知識(shí)體系自身的研究，主要特征為基于“數(shù)學(xué)通識(shí)”實(shí)現(xiàn)同一知識(shí)體系內(nèi)的融會(huì)貫通、不同知識(shí)體系之間的觸類旁通；②知識(shí)體系傳播的研究，既包括研究高成效的傳授方式，也包括通過組合相關(guān)知識(shí)體系以建設(shè)相關(guān)課程.

本網(wǎng)站涉及的知識(shí)體系及其所屬課程，如圖13所示.

圖13 “微積分的一流化進(jìn)程”涉及的知識(shí)體系及其所屬課程Fig.13 Knowledge systems with related courses belonging to “the progress of pursuing the first-class degree of calculus teaching”

本課程體系網(wǎng)站，主要包括的欄目有下面7塊.

研究背景包括“數(shù)理觀點(diǎn)”、“教學(xué)理念與教學(xué)方式”、“知識(shí)體系與課程體系”、“課程教師與合作專家”.

體系講稿主要按知識(shí)體系發(fā)布對(duì)應(yīng)的講稿，包括“Euclid空間上微積分”、“微分流形上微積分”、“賦范線性空間上微分學(xué)”、“測(cè)度論”、“泛函分析”.后2個(gè)目錄尚在建設(shè)中.

教學(xué)視頻主要按知識(shí)體系發(fā)布對(duì)應(yīng)的教學(xué)視頻，包括一元微分學(xué)，一元積分學(xué)；常微分基礎(chǔ)；高維微分學(xué)(基礎(chǔ)層面、高級(jí)層面、應(yīng)用事例)，高維積分學(xué)(基礎(chǔ)層面、高級(jí)層面、應(yīng)用事例)，級(jí)數(shù)；流形上微分學(xué)，流形上積分學(xué)；賦范線性空間上微分學(xué)；測(cè)度理論，可測(cè)函數(shù)，積分理論；度量空間，內(nèi)積空間；Sobolev空間；Fourier分析；漸近分析.測(cè)度論、泛函分析部分尚在建設(shè)中.

課程建設(shè)通過組合相關(guān)知識(shí)體系建設(shè)相關(guān)課程，包括： “數(shù)學(xué)分析”(一年制)，“經(jīng)典力學(xué)數(shù)學(xué)名著選講”(有關(guān)微積分的深化)；“流形上的微積分”，“應(yīng)用實(shí)變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)”(本科生與研究生共享課程).對(duì)于每一課程，包括子欄目： 知識(shí)體系、教學(xué)大綱、試卷習(xí)題、教與學(xué)研究、開設(shè)信息.

教學(xué)研究綜合性包括： “階段總結(jié)”；“雜志論文(含原稿)”，“會(huì)議論文(含原稿)”；“學(xué)術(shù)報(bào)告(含隨筆)”；“教改項(xiàng)目”.

圖示研究致力于將數(shù)理知識(shí)體系中重要的概念、復(fù)雜的分析過程進(jìn)行圖示化說明.圖示化研究成果源于并服務(wù)于知識(shí)體系自身的研究，亦隸屬并服務(wù)于知識(shí)體系傳播的研究.按知識(shí)體系建設(shè)相關(guān)目錄，包括“Euclid空間上微積分”，“微分流形上微積分”；“賦范線性空間上微分學(xué)”；“測(cè)度論”；“泛函分析”.目前主要涉及“Euclid空間上微積分”的圖示化研究，其他的均在建設(shè)中.

通識(shí)研究隸屬同一知識(shí)體系或者不同知識(shí)體系的知識(shí)點(diǎn)可能含有相同的“數(shù)學(xué)通識(shí)”——特定的數(shù)學(xué)等式、不等式或者特定的處理方式方法；基于“數(shù)學(xué)通識(shí)”可實(shí)現(xiàn)同一知識(shí)體系之間的“融會(huì)貫通”，不同知識(shí)體系之間的“觸類旁通”.本欄目設(shè)計(jì)為按知識(shí)體系劃分子目錄以分別進(jìn)行通識(shí)性結(jié)構(gòu)的研究，并在對(duì)應(yīng)的子欄目下涉及跨知識(shí)體系的通識(shí)性結(jié)構(gòu)的研究.本欄目還在持續(xù)性建設(shè)中.

基于課程體系網(wǎng)站，我們將課堂的功能分為兩個(gè)遞進(jìn)性層面，如圖14所示.

圖14 課堂的功能(兩個(gè)遞進(jìn)性層面)： 基礎(chǔ)性講授(基礎(chǔ)層面)、提高性講授(高級(jí)層面)Fig.14 Functions of class(two progressive levels)： Elementary teaching(elementary level), advanced teaching(advanced level)

①基礎(chǔ)性講授(基本層面) 基于我們現(xiàn)有的對(duì)知識(shí)體系自身及其傳播的研究，系統(tǒng)且清晰地講授相關(guān)思想與方法.這種類型的教學(xué)視頻可供學(xué)生初始的自習(xí).

②提高性講授(高級(jí)層面) 學(xué)生事先學(xué)習(xí)了基礎(chǔ)性層面的教學(xué)視頻，就此課堂講授不再是強(qiáng)調(diào)與重復(fù)所有的“細(xì)枝末節(jié)”，而是強(qiáng)化思想性、強(qiáng)化通識(shí)性、澄清復(fù)雜性、強(qiáng)化方法性，并且課堂形式可以增加師生間的互動(dòng)，提高課堂的翻轉(zhuǎn)性.

筆者自2011年起基于復(fù)旦大學(xué)精品課程網(wǎng)站(http：∥fdjpkc.fudan.edu.cn/)建設(shè)本課程體系網(wǎng)站.本網(wǎng)站所有信息可在全球范圍瀏覽，故目前除了校內(nèi)學(xué)生使用，校外甚至國(guó)外都有學(xué)習(xí)者，偶爾會(huì)收到他們的來信，多為贊許以及期許發(fā)布進(jìn)一步的內(nèi)容.

4.2.2 在線課程

基于課程體系網(wǎng)站的建設(shè)經(jīng)驗(yàn)與體會(huì)，筆者自2015年起基于復(fù)旦大學(xué)在線課程平臺(tái)建設(shè)《數(shù)學(xué)分析——一元微積分》、《數(shù)學(xué)分析——高維微積分》兩門目錄，目前已近完成；計(jì)劃于2017—2018學(xué)年正式使用.

現(xiàn)在線課程提供的主要學(xué)習(xí)資料為：

課程錄像分為隨堂錄像與概述錄像兩部分： ① 隨堂錄像注重循序漸進(jìn)、講述細(xì)致，應(yīng)用于初始學(xué)習(xí)；② 概述錄像注重整體性闡述相關(guān)思想與方法，應(yīng)用于階段性學(xué)習(xí).一般而言，經(jīng)過2至3次的學(xué)習(xí)可以理解與掌握數(shù)學(xué)分析的基本思想與方法.學(xué)習(xí)視頻一般對(duì)應(yīng)于隨堂錄像，觀看此類視頻，并結(jié)合學(xué)習(xí)目的中所列的要點(diǎn)掌握基本的概念、思想與方法.

學(xué)習(xí)講稿為在線PDF文本，已出版的教材《微積分講稿——一元微積分》、《微積分講稿——高維微積分》包括這些講稿的主要內(nèi)容.學(xué)習(xí)講稿主要包括： ① 闡述概念、思想與方法，基本對(duì)應(yīng)于課程錄像的內(nèi)容；② 典型事例，往往首先為解答一類問題提供方法，然后給出代表性事例的解答.在學(xué)習(xí)概念、思想與方法之后，學(xué)習(xí)典型事例的解答.

基礎(chǔ)練習(xí)在線PDF文本.在學(xué)習(xí)講稿的基礎(chǔ)上，進(jìn)行相關(guān)練習(xí).有些章節(jié)的練習(xí)分為兩部分： ① 基礎(chǔ)性練習(xí)，基于所歸納方法，可以較為輕松地解答這部分練習(xí)，作為對(duì)相關(guān)思想與方法最為初步的理解，這部分練習(xí)往往要求全部完成；② 提高性練習(xí)，這部分練習(xí)涉及較為深入的分析方法或者聯(lián)系于其他知識(shí)體系.解答這部分問題往往需要一定的思考，可以多次考慮相關(guān)問題.這部分練習(xí)可以結(jié)合自己的實(shí)際情況進(jìn)行選擇.

圖示化研究我們可將微積分中的概念、思想、結(jié)論、分析、方法進(jìn)行圖示化.在完成學(xué)習(xí)視頻、學(xué)習(xí)講稿、基礎(chǔ)練習(xí)的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)圖示化研究的有關(guān)內(nèi)容，以期總體性理解與掌握相關(guān)思想與方法.另外有知識(shí)體系架構(gòu)的圖示化，以此一方面可以檢查哪些內(nèi)容已掌握、哪些內(nèi)容尚需掌握，另一方面可以總體性研究各知識(shí)要點(diǎn)之間的關(guān)系.

具體的學(xué)習(xí)路徑如圖15所示.基于在線課程，筆者研究與實(shí)踐數(shù)學(xué)分析的混合式教學(xué)模式.原則上，學(xué)生可基于上述內(nèi)容循序漸進(jìn)地進(jìn)行自學(xué).

圖15 在線課程各章節(jié)的內(nèi)容架構(gòu)，對(duì)應(yīng)于學(xué)習(xí)路徑Fig.15 Content framework of online course that is corresponding to the route of study

5 課程教學(xué)的兩個(gè)方面

如前文所述，教學(xué)可以有兩個(gè)方面： 對(duì)知識(shí)體系自身的研究和對(duì)知識(shí)體系傳播的研究.上好一門課程，可以分為兩個(gè)方面： “課堂上能講些什么”和“課后能做些什么”.

5.1 課堂上能講些什么

課堂上追求在方法論層面?zhèn)魇谥R(shí)(思想與方法)，表現(xiàn)為： ① 可清晰地展現(xiàn)知識(shí)體系的架構(gòu)/來龍去脈；② 可清晰地的闡述相關(guān)思想與方法，注重歸納可適用于一類問題的方法；③ 注重基于結(jié)構(gòu)驅(qū)動(dòng)結(jié)論，結(jié)構(gòu)指知識(shí)體系的內(nèi)在本質(zhì)，往往可基于共同的結(jié)構(gòu)驅(qū)動(dòng)/衍生出諸多結(jié)論；④ 注重知識(shí)體系的內(nèi)在相似性/通識(shí)性，以此可充分利用已有的知識(shí)認(rèn)識(shí)與發(fā)展新的知識(shí).

在方法論層面?zhèn)魇谥R(shí)既有益于追求教與學(xué)的高成效，也有益于培養(yǎng)學(xué)生理論聯(lián)系實(shí)際的能力，以此有助于學(xué)生將知識(shí)升華為能力.理解與把握思想與方法的能力，亦將有助于理解政治思想與理論.政治思想與理論隸屬哲學(xué)范疇，實(shí)際應(yīng)用時(shí)需要理論聯(lián)系實(shí)際，而不是生搬硬套.按筆者的現(xiàn)有認(rèn)識(shí)，微積分的分析思想可以包括： “抓住主要矛盾忽略次要矛盾”、“由結(jié)構(gòu)驅(qū)動(dòng)結(jié)論”，通過諸多實(shí)際事例的實(shí)踐，可以讓學(xué)生切實(shí)地體會(huì)理論聯(lián)系實(shí)際的意義.

數(shù)理知識(shí)體系理應(yīng)遵循辯證唯物主義.就此，一方面對(duì)于各門數(shù)理課程的學(xué)習(xí)對(duì)應(yīng)于實(shí)踐辯證唯物主義，以此逐步深化對(duì)辯證唯物主義的認(rèn)識(shí)；另一方面可基于辯證唯物主義引領(lǐng)各門數(shù)理課程，有助于數(shù)理知識(shí)體系的融會(huì)貫通、觸類旁通，實(shí)現(xiàn)由知識(shí)到能力的深華.

5.2 課后能做些什么

首先，筆者謹(jǐn)認(rèn)為對(duì)于中國(guó)最好的一批大學(xué)，面對(duì)中國(guó)最好的一批學(xué)生，結(jié)合雙一流建設(shè)，我們必須要求課程的廣度與深度能類比國(guó)內(nèi)外一流水平，甚至有所超越.就此，需要教師對(duì)知識(shí)體系進(jìn)行持續(xù)性的研究與實(shí)踐，由此教學(xué)研究的實(shí)質(zhì)在于對(duì)知識(shí)體系自身的研究，以此支撐在方法論層面?zhèn)魇谒枷肱c方法.值得指出的是，課程廣度與深度的一流化水平對(duì)于培養(yǎng)一流化的人才具有基礎(chǔ)性或者實(shí)質(zhì)性的意義.

對(duì)于這種高程度的教學(xué)，可以對(duì)“數(shù)學(xué)分析”課程開始實(shí)施“課程工程”，指將整個(gè)課程教學(xué)歸結(jié)為： ① 實(shí)體教學(xué)，包括實(shí)體課堂、習(xí)題課；② 在線教學(xué)，包括課程體系網(wǎng)站與在線課程；③ 文本支持，包括教材、講稿；④ 研討課與研討日志；⑤ 課程講座.其中，實(shí)體教學(xué)是常見的課程模式.在線教學(xué)，主要通過課程體系網(wǎng)站、在線課程提供在線支持，學(xué)生可以結(jié)合自己的情況進(jìn)行在線學(xué)習(xí).文本支持，主要配合實(shí)體教學(xué)與在線教學(xué)，教師應(yīng)該結(jié)合教學(xué)研究與實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)實(shí)時(shí)更新講稿，并值得在一定積累上出版自己的教材.研討課，在于通過研討激發(fā)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的成效、在于面對(duì)面的答疑解惑；研討課可由教師與助教合作完成.另一方面，在線課程結(jié)合研討課可以開展混合式教學(xué).課程講座，主要向更多的學(xué)生分享知識(shí)體系自身研究的成果.

值得指出的是，上述課程教學(xué)的兩個(gè)方面充分體現(xiàn)了任課教師的職業(yè)風(fēng)范與敬業(yè)精神，在教師言傳身教的過程中可以潛移默化地影響學(xué)生養(yǎng)成正確的世界觀、人生觀與價(jià)值觀，促使他們追求高尚品德，摒棄精致利己、唯利是圖的不良品行.藉此，數(shù)學(xué)分析課程可具有課程思政的屬性.

6 總結(jié)及討論

本文闡述筆者十余年來在復(fù)旦大學(xué)為追求微積分的一流化教學(xué)所歸納的現(xiàn)有認(rèn)識(shí)與體會(huì).核心理念為教學(xué)的首要基礎(chǔ)在于學(xué)術(shù)研究或者學(xué)術(shù)屬性，然后才是敬業(yè)精神與具體的方式與方法.教學(xué)的學(xué)術(shù)屬性，一方面在于對(duì)知識(shí)體系自身的研究，具體研究?jī)?nèi)容歸納有知識(shí)點(diǎn)與知識(shí)要素、數(shù)學(xué)通識(shí)與相似結(jié)構(gòu)、正本清源、格物致知，并提出將知識(shí)轉(zhuǎn)化為方法；另一方面，教學(xué)的學(xué)術(shù)屬性也構(gòu)成傳播研究的基礎(chǔ)，具體研究?jī)?nèi)容歸納有復(fù)雜分析過程的要義分解、圖示化研究.值得指出的是，知識(shí)體系自身的研究是知識(shí)體系傳播的研究的基礎(chǔ)，前者決定后者.基于教學(xué)的學(xué)術(shù)屬性，可以構(gòu)建多種傳播方式，包括課程體系網(wǎng)站、在線課程等，本文就此進(jìn)行了相關(guān)闡述.

作為上述理念的具體實(shí)踐，本文闡述了課程教學(xué)的兩個(gè)方面： “課堂上能講些什么”和“課后能做些什么”.上好一門課雖然以學(xué)術(shù)屬性為基礎(chǔ)，敬業(yè)精神與高成效的方式與方法也是必不可少，但做得好二者可以相輔相成、相得益彰.基于課程教學(xué)的兩個(gè)方面，本文亦指出課程思政也是任何一門優(yōu)秀課程的自然屬性.

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