李海濤，楊 娟

(西安電子科技大學(xué)，陜西 西安 710071)

0 引 言

在雷達(dá)干擾系統(tǒng)中，合成干擾信號(hào)的峰均比是影響雷達(dá)發(fā)射機(jī)效率的重要因素[1]。當(dāng)很多個(gè)射頻噪聲基帶信號(hào)進(jìn)行矢量疊加時(shí)，合成信號(hào)的包絡(luò)起伏會(huì)變大，瞬時(shí)功率會(huì)急劇增大，甚至遠(yuǎn)大于信號(hào)的平均功率，這就會(huì)導(dǎo)致較高的峰均比[2]出現(xiàn)。由于功率放大器為非線性器件，合成信號(hào)經(jīng)過射頻功率放大器后，這就會(huì)導(dǎo)致具有較高峰值的信號(hào)處于功率放大器的飽和區(qū)，不會(huì)被放大甚至?xí)薹?，這樣一來(lái)就會(huì)大幅度降低功率放大器的效率；另一方面，當(dāng)輸入具有較大峰值的信號(hào)時(shí)，就要求雷達(dá)干擾系統(tǒng)的器件有較大的動(dòng)態(tài)范圍，這就會(huì)對(duì)模數(shù)轉(zhuǎn)換器(ADC)和數(shù)模轉(zhuǎn)換器(DAC)的性能有更嚴(yán)格的要求[3]。因此，研究合成信號(hào)的峰均比問題在雷達(dá)干擾領(lǐng)域具有重要意義。

1 合成信號(hào)的峰均比概述

1.1 信號(hào)合成理論

數(shù)字信號(hào)的表達(dá)式可以用復(fù)指數(shù)的形式來(lái)表示：

si(n)=Aiej((ω0+ωi)n+φi)

(1)

式中：Ai為幅值；ω0為中心頻率；ωi為頻率變化率；φi為初相位。

假設(shè)參與合成的N個(gè)信號(hào)是相互獨(dú)立的，則同時(shí)多信號(hào)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

(2)

因此，可以認(rèn)為任意時(shí)刻的合成信號(hào)是N個(gè)獨(dú)立復(fù)信號(hào)的疊加。

根據(jù)歐拉公式，復(fù)指數(shù)可以用三角函數(shù)來(lái)表示，將式(1)展開，即：

si(n)=Aicos((ω0+ωi)n+φi)+

j·Aisin((ω0+ωi)n+φi)

(3)

那么同時(shí)多信號(hào)合成的表達(dá)式可以表示為：

(4)

若參與合成的數(shù)字信號(hào)的實(shí)部和虛部分別用Ii(n)和Qi(n)來(lái)表示，則同時(shí)多信號(hào)合成的表達(dá)式可以為:

(5)

因此，同時(shí)多信號(hào)的合成也可以理解為是先將信號(hào)的實(shí)部和虛部分別疊加后，再將其求和得到。

下面對(duì)信號(hào)合成理論進(jìn)行仿真。將3路信號(hào)進(jìn)行合成，它們的中心頻率分為35 MHz，60 MHz和80 MHz，它們的帶寬分別為20 MHz，16 MHz和10 MHz，同時(shí)信號(hào)合成時(shí)的權(quán)值都為1。

圖1為3路信號(hào)的時(shí)域合成圖，可以看到合成信號(hào)的包絡(luò)呈現(xiàn)出較大幅度的動(dòng)態(tài)變化。圖2為合成信號(hào)的幅值分布圖，可以看到參與合成的信號(hào)的的幅值分布大體呈瑞利分布，幅值數(shù)量主要集中于某一區(qū)域，高幅值的信號(hào)個(gè)數(shù)較少。在實(shí)際工程中，由于只有少量高幅值信號(hào)的存在，會(huì)極大地浪費(fèi)雷達(dá)干擾系統(tǒng)的發(fā)射資源。因此，對(duì)合成信號(hào)進(jìn)行限幅很有必要。

圖1 合成信號(hào)的波形

圖2 合成干擾信號(hào)的幅值分布圖

1.2 信號(hào)的峰均功率比概述

(6)

由于各信號(hào)間的獨(dú)立性，合成信號(hào)的平均功率可以認(rèn)為是每個(gè)采樣點(diǎn)的幅值的平方作和后再取平均的值，即幅值平方的期望，可表示為:

(7)

式中：E[·]表示取期望。

綜上可得合成信號(hào)的峰均功率比為：

(8)

(9)

若幅值用y表示，合成信號(hào)的瞬時(shí)功率用z表示，那么z=y2。幅值y服從瑞麗分布，z服從自由度為2的中心卡方分布，均值大小為σ2[4]。它們的概率密度函數(shù)分別為：

(10)

(11)

一般而言，通常采用互補(bǔ)累積分布函數(shù)(CCDF)來(lái)體現(xiàn)峰均功率比的統(tǒng)計(jì)特性。CCD是基于累積分布函數(shù)(CDF)進(jìn)行描述的。CCDF定義為信號(hào)PAPR值大于某門限值ε的概率，可用下式表示：

FCCDF(ε) =P{RPAP>ε}=1-P{RPAP≤ε}

(12)

式中：P{·}為求概率運(yùn)算；P{RPAP≤ε}為累積分布函數(shù)(CDF)。

CDF意味著所有采樣點(diǎn)的幅值均小于門限的概率，其求解可進(jìn)行如下推導(dǎo)：

P(s(0)≤ε)·…·P(s(n)≤ε)=

(13)

由于合成信號(hào)瞬時(shí)功率的均值為σ2，即E{|s(n)|2}的值為σ2，那么RPAP的互補(bǔ)累積分布函數(shù)可進(jìn)行如下推導(dǎo)：

1-(1-e-ε)N

(14)

至此，推導(dǎo)結(jié)束。PAPR的統(tǒng)計(jì)特性可由CCDF來(lái)體現(xiàn)，峰均比的分布特性與參與合成的信號(hào)數(shù)量N有關(guān)。

圖3條件為當(dāng)合成信號(hào)N取不同值時(shí)的互補(bǔ)累積函數(shù)曲線，從中可以看出峰均功率比的分布與參與合成信號(hào)的數(shù)量N有關(guān)，隨著參與合成信號(hào)數(shù)量N的增加,CCDF也隨之增大,即合成信號(hào)的峰均比超過給定值的概率會(huì)有所增加。因此，當(dāng)N較大時(shí)，合成信號(hào)的峰均比也就越大，有必要對(duì)其進(jìn)行抑制。

圖3 合成信號(hào)的峰均功率比分布情況

2 基于限幅的抑制峰均比技術(shù)研究

2.1 基本原理研究

限幅法主要對(duì)合成信號(hào)進(jìn)行一種非線性變換，屬于信號(hào)畸變技術(shù)的一種[5]。該方法是在合成信號(hào)進(jìn)入功率放大器之前對(duì)其幅值進(jìn)行一定程度的限制，也常常被叫做削峰法，進(jìn)而降低合成信號(hào)的PAPR。

(15)

實(shí)際工程中，限幅電平大小通常為值的1到2倍。

下面討論信號(hào)限幅后的PAPR問題。式(9)指出，σ為s(n)所服從正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差，也即信號(hào)功率均方根的值，具體工程的取值一般由限幅率決定。限幅率(RC)，也可稱作限幅系數(shù)，是限幅電平和信號(hào)功率均方根的比值，表示如下：

(16)

(17)

通過理論推導(dǎo)可以看到，合成信號(hào)的峰均功率比與限幅門限具有函數(shù)關(guān)系。

當(dāng)限幅門限隨著RC的減小而減小時(shí)，PAPR會(huì)得到很大抑制，但更多的信號(hào)被改變幅值，誤碼率大大提高，所以在實(shí)際工程中，PAPR的抑制程度和誤碼率之間的取舍決定了RC的取值。

限幅是對(duì)信號(hào)進(jìn)行的一種非線性處理，根據(jù)傅里葉變換，限幅會(huì)使原始信號(hào)的頻譜產(chǎn)生展寬以及帶內(nèi)失真。從另一個(gè)角度分析，限幅可以由下列式子進(jìn)行說(shuō)明：

(18)

c(n)=1-p(n)

(19)

(20)

式中:c(n)為窗函數(shù)法的時(shí)域響應(yīng)函數(shù);p(n)為對(duì)高幅值信號(hào)的截?cái)嗔俊?/p>

2.2 仿真實(shí)驗(yàn)與分析

下面，對(duì)以上分析進(jìn)行仿真驗(yàn)證。仿真(1)條件為：采用3個(gè)調(diào)頻率不同的線性調(diào)頻信號(hào)進(jìn)行合成，3個(gè)信號(hào)時(shí)長(zhǎng)均為1 s，調(diào)頻斜率分別為100,150和200，起始頻率分別為300 MHz，450 MHz和650 MHz，進(jìn)行合成，包絡(luò)為Sinc函數(shù)。做N=8 192點(diǎn)的快速傅里葉變換(FFT)。合成信號(hào)的時(shí)域圖和頻域圖的仿真結(jié)果如圖4和圖5所示。

圖4 合成信號(hào)的時(shí)域圖

圖5 合成信號(hào)的頻域圖

本次仿真，在時(shí)域譜中，信號(hào)幅值的最大值為3，峰值功率為9，通過對(duì)8 192點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算得出平均功率為0.367，最終得到仿真條件下合成信號(hào)的峰值平均功率比為24.55。在考慮合成信號(hào)帶寬時(shí)，工程中一般以半功率點(diǎn)的頻率差值來(lái)衡量，為了更加能夠描述本仿真結(jié)果，本文以頻率值為最大值的1/10的點(diǎn)所在的頻率差來(lái)表示帶寬，這樣，本仿真中合成信號(hào)的帶寬為452.6 MHz。

下面對(duì)上述的合成信號(hào)進(jìn)行限幅，限幅門限為合成信號(hào)最大值的1/2，此時(shí)得到限幅后輸出信號(hào)。仿真(2)輸出信號(hào)的時(shí)域圖和頻域圖如圖6和圖7所示。

圖6 限幅后信號(hào)的時(shí)域圖

圖7 限幅后信號(hào)的頻域圖

仿真(2)中，在時(shí)域譜中，信號(hào)幅值的最大值為1.5，峰值功率為2.25，通過對(duì)8 192點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算得出平均功率為0.258，最終得到仿真條件下合成信號(hào)的峰值平均功率比為8.726，此時(shí)的限幅率約為2.954；在頻域譜中，可以得到合成信號(hào)的頻譜帶寬為576.2 MHz。

再調(diào)整限幅門限，進(jìn)行仿真(3)，條件為：限幅門限為信號(hào)最大幅值的1/5。此時(shí)輸出信號(hào)的頻譜圖和幅值分布圖如圖8和圖9所示。

圖8 限幅后信號(hào)的時(shí)域圖

圖9 限幅后信號(hào)的頻譜圖

仿真(3)，在時(shí)域譜中，信號(hào)幅值的最大值為0.6，峰值功率為0.36，通過對(duì)8 192點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算得出平均功率為0.092，最終得到仿真條件下合成信號(hào)的峰值平均功率比為3.905，此時(shí)限幅率為1.975；在頻域譜中，可以得到合成信號(hào)的頻譜帶寬為750 MHz。

下面仍以仿真(1)的條件作為基本條件進(jìn)行仿真(4)。條件為：取限幅程度不同的多組實(shí)驗(yàn)，限幅程度由門限與信號(hào)中最大幅值的比例來(lái)描述，得到每組實(shí)驗(yàn)中限幅率和頻譜帶寬的關(guān)系圖，如表1所示。用限幅后的帶寬與原信號(hào)的差值作為頻譜展寬的主要依據(jù)，則頻譜展寬程度與限幅率的關(guān)系曲線如圖10所示。

表1 實(shí)驗(yàn)中限幅率與頻譜帶寬的對(duì)應(yīng)關(guān)系

通過仿真(1)與仿真(2)對(duì)比，得出限幅使得合成信號(hào)的峰均功率比得到改善，由原始的24.553改善為8.698；而帶寬由原來(lái)的452.6 MHz變?yōu)?76.2 MHz，頻譜發(fā)生展寬，這就說(shuō)明信號(hào)的能量在頻域更加分散了，通過圖5和圖6也可以直觀看出，圖5得出原始合成最大幅值接近400，在頻率大于1 300 MHz處幾乎沒有幅值，圖6看出限幅后信號(hào)的最大幅值介于300與350之間，在帶寬內(nèi)，與原信號(hào)相比，幅值均降低了，而在1 300 MHz以外的頻率處又出現(xiàn)了幅值較小的新生量。

圖10 頻譜展寬程度隨限幅率變化趨勢(shì)圖

仿真(3)中，限幅率為1.975，峰均比為3.905，頻譜帶寬為750 Hz。與仿真(2)相比較，可以看出限幅率越小，峰均比的抑制效果越好，但是相應(yīng)的信號(hào)頻譜展寬也會(huì)越嚴(yán)重。

仿真(4)更清楚地說(shuō)明限幅程度和頻譜展寬的關(guān)系。從表1的數(shù)據(jù)可以看出限幅程度越大，限幅率越小，相應(yīng)頻譜越大。圖10中的曲線為表1的數(shù)據(jù)關(guān)系圖，表示出頻譜帶寬與限幅率的大致走向曲線，也更直觀地驗(yàn)證了前面的理論分析。

3 結(jié)束語(yǔ)

本文在多信號(hào)合成的原理基礎(chǔ)上，研究了合成信號(hào)的峰均比的統(tǒng)計(jì)特性，著重分析了應(yīng)用限幅法對(duì)合成信號(hào)進(jìn)行峰均比抑制的研究。對(duì)合成信號(hào)進(jìn)行限幅可以有效降低其峰均比，但同時(shí)會(huì)引起合成信號(hào)的頻譜展寬。本文最后通過MATLAB進(jìn)行仿真，驗(yàn)證出限幅率決定了頻譜展寬的程度。

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