武 濤, 薛 紅

(西安工程大學 理學院,陜西 西安 710048)

0 引 言

隨著期權(quán)定價的深入研究, 股票價格遵循 Ornstein-Uhlenbeck(簡稱 O-U)過程也被逐漸引入金融市場模型中.O-U過程是一類重要的移動平均過程, 最早由Sato和Yamazato[13]在1982年提出. 許多學者也對股票價格遵從O-U過程的期權(quán)實行了定價[14-16].冪型期權(quán)是奇異期權(quán)的一種, 它在到期日的價值不是用股價與執(zhí)行價格的差值,而是股票價格在到期日的某個指數(shù)冪與執(zhí)行價格之間的差值. 與傳統(tǒng)期權(quán)所不同的是, 冪型期權(quán)有能夠增強期權(quán)風險的效果, 同時也有很大的變通性, 可以滿足各樣風險喜好的投資者的需求. 近幾年不少學者研究冪型期權(quán)[17-19]，并把O-U過程引入到模型中[20-24].本文借助雙分數(shù)Brown運動相關(guān)理論, 引入Ornstein-Uhlenbeck過程,假設(shè)股票價格服從雙分數(shù)布朗運動和Ornstein-Uhlenbeck過程下驅(qū)動的隨機微分方程,借助雙分數(shù)布朗運動和Ornstein-Uhlenbeck過程下金融市場數(shù)學模型,運用保險精算方法,推導出歐式冪型期權(quán)定價公式和歐式上封頂及下保底冪型期權(quán)定價公式, 豐富了期權(quán)定價的理論.

1 雙分數(shù)Ornstein-Uhlenbeck過程下金融市場數(shù)學模型

假定股票價格{St,t≥0}遵循雙分數(shù)Ornstein-Uhlenbeck過程

(1)

定理1 隨機微分方程(1)的解為

(2)

兩邊積分有

可得

得證.

注:當α=0時,可得雙分數(shù)布朗運動環(huán)境下股票價格過程:

定義2[16]價格過程{St,t≥0}在[0,t]上的期望回報率β(u),u∈[0,t]定義為

(3)

定理2 股票價格{St,t≥0}在[0,t]上的期望回報率β(u),u∈[0,t]滿足

(4)

當α=0時,雙分數(shù)布朗運動環(huán)境下股票價格期望回報率為β(u)=μ,u∈[0,t]

證明由定理1知

由于

ξ

得證.

2 歐式冪型期權(quán)定價

定義3[13]歐式冪期權(quán)在T時刻的價值定義為:股票到期日價格按期望回報率折現(xiàn)值的冪與執(zhí)行價(看作是無風險資產(chǎn)債券)按無風險利率折現(xiàn)值的差在股票價格實際分布的概率測度下的數(shù)學期望, 這一定價稱為期權(quán)的保險精算定價. 用C(K,T)和P(K,T)分別表示執(zhí)行價格為K, 到期日為T的歐式看漲冪期權(quán)和看跌冪期權(quán)在t=0時刻的價格, 則根據(jù)精算定價方法知歐式冪型期權(quán)的保險精算價值

(5)

(6)

其中

定理3 執(zhí)行價格為K, 到期日為T的歐式看漲和看跌期權(quán)在t=0時刻的保險精算價值

(7)

(8)

且

則

從而B={η>d1}.

由于

(9)

其中

由此可得

同理可得

推論1 當K=1時, 可得分數(shù)O-U過程下的歐式看漲和看跌冪型期權(quán)定價公式為

推論2 當α→0時, 可得雙分數(shù)布朗運動環(huán)境下的歐式冪型期權(quán)定價公式；當α→0,K=1時, 可得分數(shù)布朗運動環(huán)境下的歐式冪型期權(quán)定價公式(見文獻[21]).

3 歐式上封頂及下保底冪型期權(quán)定價

定理4 設(shè)L為給定的期權(quán)上限, 則歐式看漲和看跌上封頂冪型期權(quán)在0時刻保險精算價格為

其中

證明歐式上封頂看漲冪型期權(quán)的損益為

(14)

利用定理3可得結(jié)果.

定理5 設(shè)R為給定的期權(quán)下限, 則歐式下保底看漲和看跌冪型期權(quán)0時刻保險精算價格為

證明歐式下保底看漲冪型期權(quán)的損益為

(17)

利用定理3可得結(jié)果.

注1 當L→+∞, 或L=0時, 可得雙分數(shù)O-U過程下歐式看漲冪型期權(quán)定價公式.

推論3 當K=1時, 可得分數(shù)O-U過程下的歐式上封頂及下保底n次冪型期權(quán)定價公式.

推論4 當n=1時, 可得雙分數(shù)O-U過程下的歐式上封頂及下保底冪型期權(quán)定價公式.

推論5 當α→0,K=1時, 可得分數(shù)布朗運動環(huán)境下的歐式上封頂及下保底冪型期權(quán)定價公式[25].

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