高嘉樂,邢清華,李龍躍,范成禮

(空軍工程大學(xué)防空反導(dǎo)學(xué)院,710051,西安)

受鳥群捕食的行為啟發(fā),Kenney等于1995年提出了粒子群優(yōu)化(PSO)算法[1-2],這種算法具有收斂速度快、結(jié)構(gòu)簡單等特點(diǎn),由于它對許多優(yōu)化問題表現(xiàn)出較高的求解效率而受到國內(nèi)外廣泛的關(guān)注[3-5]。但是在求解高維空間的復(fù)雜問題時,PSO算法容易早熟且陷入局部最優(yōu),在多峰值函數(shù)的求解問題中表現(xiàn)更為明顯。針對這一問題,很多學(xué)者對PSO算法進(jìn)行優(yōu)化和改進(jìn),主要集中在參數(shù)調(diào)整和與其他智能算法相結(jié)合兩個方面。增加隨機(jī)搜索范圍和頻率的方式可以避免PSO算法陷入局部最優(yōu),采用的方法如模糊邏輯[6]、混沌理論[7]、變化臨域粒子輔助更新[8]等。大部分改進(jìn)算法將基本PSO算法與全局搜索能力較強(qiáng)的智能算法結(jié)合,例如多種群方法[9]、人工蜂群(ABC)算法[10]、布谷鳥算法[11]、采用螺旋樣式的渦流搜索(VS)算法等。

目前,螺旋搜索(SS)主要應(yīng)用于反潛搜索路徑規(guī)劃、磁盤陣列搜索等領(lǐng)域,但在連續(xù)函數(shù)優(yōu)化方面應(yīng)用較少。文獻(xiàn)[12]提出了一種螺旋粒子群搜索算法,采用了一種螺旋樣式的搜索行為以解決PSO早熟問題,這種方法的參數(shù)是隨機(jī)設(shè)置的,并且搜索區(qū)域尺寸固定,相當(dāng)于在一個固定尺度搜索空間中的隨機(jī)搜索,雖然可以避免陷入局部最優(yōu),但效率不高。與螺旋搜索樣式相似,文獻(xiàn)[13]提出一種渦流樣式的算法,以當(dāng)前種群個體為中心在一個衰減半徑的區(qū)域內(nèi)進(jìn)行隨機(jī)搜索,盡管搜索范圍衰減,但這種搜索方式仍然是一種無目的的搜索。文獻(xiàn)[14]提出了量子渦流算法,將渦流搜索行為投影到Bloch球面中,投影搜索行為可以有效地避免在搜索后期大范圍的無目的的搜索。

螺旋搜索具有很好的全局搜索能力,但是參數(shù)多、后期搜索效率低,因此在連續(xù)空間的最優(yōu)化問題中應(yīng)用較少。針對上述問題,提出了一種基于投影空間的螺旋搜索的粒子更新算法(SSPSO),并應(yīng)用于粒子群算法中以解決早熟問題。為了增強(qiáng)算法的尋優(yōu)能力,引入自適應(yīng)算子選擇方法和混沌變異策略。仿真實(shí)驗(yàn)表明,本文算法能夠以較少的迭代次數(shù)收斂,且具有較高的尋優(yōu)精度和尋優(yōu)穩(wěn)定性。

1 基本粒子群算法

粒子群算法的基本概念源于鳥群捕食行為。在粒子群算法中,每一只鳥看作一個粒子,食物是適應(yīng)度,頭鳥則是每一代的全局最優(yōu)解,所有粒子向著全局最優(yōu)解進(jìn)行收斂。每個粒子的速度和位置更新公式為

(1)

(2)

2 基于螺旋搜索的粒子群算法

2.1 螺旋搜索策略

智能算法的搜索方式主要有隨機(jī)搜索和個體合作兩種方法。隨機(jī)搜索可以分為兩種:一種是全局隨機(jī)搜索,這種方法簡單但搜索效率低;另一種是小范圍的隨機(jī)擾動,這種方法是在上一代優(yōu)秀個體周圍進(jìn)行小范圍的隨機(jī)搜索,搜索效率高且特別適用于求解多峰值問題。個體合作通常用于加快收斂,在優(yōu)秀個體周圍進(jìn)行搜索容易尋找到更優(yōu)的個體,但是這種方法也最容易陷入局部最優(yōu)。受VS算法的啟發(fā),結(jié)合上述兩種搜索策略,本文提出了一種新的螺旋搜索方式。

由于搜索行為是建立在螺旋樣式的曲線上,對于螺旋曲線的選擇沒有固定的要求,本文僅以雙曲螺旋線為例

(3)

式中:w是旋轉(zhuǎn)角度,w∈(-∞,0)∪(0,+∞);θ1和θ2是位置擾動參數(shù),θ1、θ2∈(-1,1)。當(dāng)w趨近于0時,曲線可以近似看作為一條直線;當(dāng)w趨近于無窮時,曲線則是呈螺旋的樣式收斂到(0,0)點(diǎn)。依據(jù)上述分析,只要旋轉(zhuǎn)角度不趨近于0,曲線即可呈現(xiàn)螺旋樣式。為了便于計算,選取一個整數(shù)作為旋轉(zhuǎn)角度的下界,本文設(shè)w∈(2π,+∞),使收束曲線呈螺旋形狀。

文獻(xiàn)[12]中的螺旋搜索方法采用絕對尺度的螺旋曲線在決策空間搜索,搜索后期依然還有很大的搜索范圍,雖然絕對尺度的螺旋搜索具有全局搜索的功能,但搜索到更好的個體難度較大。受文獻(xiàn)[14]啟發(fā),本文提出了一種相對尺度的搜索,即將搜索投影到一個固定的螺旋曲線的空間中,使得搜索尺度隨著搜索過程的進(jìn)行而變化,效率更高。

2.2 基于螺旋搜索的粒子更新

依據(jù)個體合作策略選擇兩個粒子進(jìn)行合作,一個是當(dāng)前粒子xi,另一個在種群中隨機(jī)選擇粒子xj。然后在螺旋曲線上隨機(jī)選擇一個點(diǎn)(a1,b1)作為xi的投影點(diǎn),(a1,b1)稱為第一投影點(diǎn);xj投影到(0,0),(0,0)為第二投影點(diǎn)。假設(shè)點(diǎn)(a1,b1)的旋轉(zhuǎn)角度取值w1,在螺旋曲線上生成一個點(diǎn)作為新個體(a2,b2),(a2,b2)的旋轉(zhuǎn)角度w2取值公式為

w2=w1+Lπ

(4)

式中:L是角度控制參數(shù)。螺旋搜索示意圖如圖1所示。圖1中2個三角點(diǎn)分別是螺旋線的起點(diǎn)和終點(diǎn),它們的旋轉(zhuǎn)角度w=2π和w=10π,依據(jù)式(3)計算2個點(diǎn)的位置,在圖1中標(biāo)注為三角點(diǎn)。新粒子在螺旋線的投影為(a2,b2)。當(dāng)L趨近于+∞時,(a2,b2)趨近于(0,0),(a2,b2)在決策空間映射的個體與(0,0)對應(yīng)的xj相似度增高。當(dāng)w趨近于+∞時,螺旋線上點(diǎn)的變化趨于0,此時變異差別極小,搜索能力可以忽略不計。

為了避免對個體周圍進(jìn)行過度的局部搜索,定義起始點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)角度w1和控制參數(shù)L的取值范圍,w1∈(2π,10π)和L∈(0,500)。兩個參數(shù)的下限依據(jù)旋轉(zhuǎn)角度w的取值范圍定義。w1主要用于確定第一投影點(diǎn)的位置,是螺旋搜索行為的起點(diǎn)。在實(shí)驗(yàn)過程中發(fā)現(xiàn),w1對于搜索過程影響不大，因此定義w1是(2π,10π)范圍內(nèi)的隨機(jī)數(shù)。隨機(jī)生成的目的是為了保證每次搜索行為的隨機(jī)性,最大限度地避免重復(fù)個體的生成。L是螺旋搜索的主要參數(shù),L過大偏重于對第二投影點(diǎn)的周圍進(jìn)行搜索,L過小偏重全局搜索。在實(shí)際的參數(shù)測試過程中,L的上界較小時對于搜索影響不大,但是L超過500時,算法的搜索效率下降,因此將其上限設(shè)為500。

圖1 螺旋搜索示意圖

螺旋搜索每次只選擇粒子的一個維度,即將粒子的一個維度投影到螺旋線(a1,b1)上,得到新生成粒子的兩個候選解

(5)

由式(3)可以看出,當(dāng)w取值趨于π/2的整數(shù)倍時,a或b趨近于0。在求解式(5)之后,兩個候選解可能超出決策空間的范圍,為了避免此類現(xiàn)象發(fā)生,選取兩個候選解中速度v較小的解作為粒子的下一代解的速度,速度和粒子位置更新如下式

(6)

(7)

從螺旋搜索粒子更新方式可以看出,螺旋搜索的全局尋優(yōu)策略的優(yōu)勢主要有不同維度變異無相關(guān)性和反向搜索能力兩方面。對于不同維度變異無相關(guān)性來說,每一維度搜索的結(jié)果都是不同的,雖然新粒子需要兩個父代個體的信息才能產(chǎn)生,但新粒子的速度方向與兩個父代個體的連線方向沒有直接關(guān)系,兩個方向呈現(xiàn)正交關(guān)系都是可能的。對于反向搜索能力來說,如果新粒子的投影點(diǎn)(a2,b2)與父代個體(a1,b1)在對角象限上,由式(5)可知,新粒子的速度方向?yàn)樨?fù),即在決策空間上的位置與xj的方向相反,而速度小于2倍的xi與xj之間的距離。

2.3 基于混沌擾動策略的參數(shù)設(shè)置

完全隨機(jī)搜索是一種相對低效的但是簡單的全局搜索行為,而小概率的擾動可相對高效地提高算法的尋優(yōu)能力。本文為螺旋搜索行為設(shè)置了多個隨機(jī)參數(shù),這些參數(shù)通過擾動促使搜索行為不重復(fù)。本文的隨機(jī)擾動參數(shù)主要有4個:第一投影點(diǎn)位置參數(shù)w1,曲線擾動參數(shù)θ1和θ2,以及控制參數(shù)L。

為了提高搜索效率,將混沌思想引入螺旋搜索中,選擇經(jīng)典的Logistic映射[16],計算公式為

zt+1=4zt(1-zt)

(8)

式中:zt∈[0,1]為混沌變量,正整數(shù)t為迭代次數(shù)。

(9)

(10)

(11)

(12)

理論上這種經(jīng)典的Logistic映射的值域是一個閉區(qū)間。為了避免取到參數(shù)的邊界值,本文添加參數(shù)重新生成機(jī)制,即如果參數(shù)在混沌變異的過程中產(chǎn)生邊界值,那么隨機(jī)取值重新開始混沌變異。

2.4 自適應(yīng)算子選擇

傳統(tǒng)PSO個體更新策略具有良好的收斂性,但容易陷入早熟;螺旋搜索具有良好的擾動性,能夠提高算法全局尋優(yōu)能力,但是在收斂速度方面不如傳統(tǒng)PSO的更新策略。本文提出一種自適應(yīng)算子選擇策略,在搜索階段的初期以較大的概率選擇傳統(tǒng)的PSO粒子更新策略,提高算法的收斂速度,在后期以較大的概率選擇螺旋搜索方式,以避免搜索陷入局部最優(yōu)。定義算子選擇概率

(13)

式中:T表示最大迭代次數(shù)。在自適應(yīng)算子選擇策略中,首先產(chǎn)生一個隨機(jī)數(shù),r3∈(0,1)區(qū)間,如果隨機(jī)數(shù)小于P,則采用傳統(tǒng)PSO更新策略,否則使用螺旋搜索。

2.5 算法描述和分析

下面對算法步驟進(jìn)行詳細(xì)描述。

輸入:加速因子c1和c2、慣性權(quán)重因子c0、種群規(guī)模N、最大迭代次數(shù)T。

輸出:全局最優(yōu)解pg。

步驟1初始化種群粒子位置和速度;

步驟2計算種群的適應(yīng)度值,并尋找個體歷史最優(yōu)解pi和全局最優(yōu)解pg;

步驟3依據(jù)2.4節(jié)中的自適應(yīng)算子選擇策略,生成隨機(jī)數(shù)r3,如果r3

步驟4使用式(3)和式(4)更新粒子速度與位置,轉(zhuǎn)至步驟7;

步驟5依據(jù)2.3節(jié)混沌擾動策略生成螺旋搜索參數(shù);

步驟6使用螺旋搜索更新粒子速度與位置;

步驟7更新個體歷史最優(yōu)解pi和全局最優(yōu)解pg;

步驟8迭代終止條件判斷,若滿足,轉(zhuǎn)至步驟9,否則轉(zhuǎn)至步驟3;

步驟9輸出全局最優(yōu)解pg,算法結(jié)束。

3 實(shí)驗(yàn)分析

3.1 測試函數(shù)及參數(shù)設(shè)置

從文獻(xiàn)[17]選取常用的高維測試函數(shù)檢驗(yàn)本文算法性能,測試函數(shù)的名稱、編號、搜索范圍以及理論最優(yōu)解見表1。其中f1為單峰可分離函數(shù);f2～f5為單峰不可分離函數(shù);f6～f7為多峰不可分離函數(shù);f8～f10為旋轉(zhuǎn)多峰不可分離函數(shù)。

將本文提出的SSPSO算法與基本PSO算法、VS算法[13]、量子衍生渦流(QIVS)算法[14]對比。其中,PSO的c0設(shè)為0.729,學(xué)習(xí)因子c1和c2設(shè)為0.747,VS和QIVS的參數(shù)采用自適應(yīng)方法生成,無需設(shè)置。在仿真中,種群規(guī)模N=100,最大迭代次數(shù)T=200,測試函數(shù)維度n=30。4種算法在10個測試函數(shù)中運(yùn)行30次,將每種算法在每個測試函數(shù)上運(yùn)行結(jié)果的平均值、標(biāo)準(zhǔn)差和平均運(yùn)行時間trun進(jìn)行比較。仿真實(shí)驗(yàn)運(yùn)行環(huán)境為64位Win7操作系統(tǒng),CPU為Core i5 3.30 GHz,RAM為4 GB。

表1 測試函數(shù)描述

3.2 測試和結(jié)果分析

4種算法的對比結(jié)果見表2,其中黑體的數(shù)據(jù)為對比結(jié)果最優(yōu)值。從表2中可以看出,本文提出的算法性能良好,10個測試函數(shù)中,有8個測試函數(shù)得到結(jié)果最好。QIVS算法比PSO算法和VS算法的運(yùn)行結(jié)果好,但與SSPSO算法相比只在f5和f8上獲得了最好結(jié)果,且QIVS算法的平均值與SSPSO算法的結(jié)果在同一個數(shù)量級。比較PSO算法和VS算法的平均值,PSO算法總體上略優(yōu)于VS算法。VS算法的不定向變異雖然不容易陷入局部最優(yōu),但是其搜索效率是最低的,因此在有限的迭代次數(shù)中表現(xiàn)較差。

圖2給出了4種算法在迭代過程中的收斂曲線。VS算法整體表現(xiàn)最差,在測試函數(shù)f1、f4～f10都是在100次迭代以后才收斂,而且尋優(yōu)能力相對較弱。PSO算法具有較好的性能,表現(xiàn)出較好的尋優(yōu)能力,在f1～f3、f5和f10能夠以較少的迭代次數(shù)收斂。在收斂速度方面,PSO算法弱于QIVS算法和SSPSO算法,在尋優(yōu)精度方面,PSO算法在f4、f6、f9表現(xiàn)明顯不如QIVS算法和SSPSO算法。

(a)f1

(b)f2

(c)f3

(d)f4

(e)f5

(f)f6

(g)f7

(h)f8

(i)f9

(j)f10

表2 4種算法運(yùn)行結(jié)果的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差對比

PSO、QIVS、SSPSO 3個算法在f4、f6、f7和f94個測試函數(shù)中尋優(yōu)性能差異明顯,其中SSPSO算法能夠以較少的迭代次數(shù)收斂,且具有明顯優(yōu)于其他3種算法的尋優(yōu)能力。

表3給出了4種算法在10個測試函數(shù)運(yùn)行時的平均運(yùn)行時間。PSO算法和VS算法的運(yùn)行時間在同一個量級,但是PSO算法比VS算法略好。而本文算法和QIVS算法則相對花費(fèi)較長時間。

表3 4種算法平均運(yùn)行時間對比

4 結(jié) 論

為解決高維空間中復(fù)雜多峰函數(shù)的優(yōu)化問題,本文提出了基于投影空間的螺旋搜索粒子更新方式,并引入自適應(yīng)算子選擇和混沌策略,提出了投影螺旋搜索粒子群算法。通過測試函數(shù)的實(shí)驗(yàn)分析,本文提出的算法在性能上優(yōu)于傳統(tǒng)PSO算法,具有較高的求解精度,能夠以較少的迭代次數(shù)收斂,適合于求解具有連續(xù)空間復(fù)雜多峰值特點(diǎn)的工程應(yīng)用問題。下一步工作主要采用大量的仿真實(shí)驗(yàn)和逆向推導(dǎo)的方法優(yōu)化算法參數(shù)設(shè)置以及研究不同的投影點(diǎn)選取對于搜索的影響。

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