，， (山東科技大學 數(shù)學與系統(tǒng)科學學院，山東 青島 266590)

奇異系統(tǒng)，又被稱為廣義系統(tǒng)、隱式系統(tǒng)、微分-代數(shù)系統(tǒng)或半狀態(tài)系統(tǒng)，是一類由微分及代數(shù)方程綜合描述的系統(tǒng)，廣泛應用于Leontief經(jīng)濟模型[1]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型[2]和紐曼模型[3]等實際系統(tǒng)中。近年來，由于自然界中許多模型可以用正奇異系統(tǒng)(狀態(tài)變量為非負的奇異系統(tǒng))來描述，如人口模型、電費管理模型、液體體積模型等，正奇異系統(tǒng)引起了學者們的廣泛關(guān)注。文獻[4-12]對正系統(tǒng)的基本問題進行了充分的研究，如可控性、客觀性、可達性等。相比較而言，學者們對正奇異系統(tǒng)的研究較晚，包括連續(xù)正奇異系統(tǒng)和離散正奇異系統(tǒng)在內(nèi)的主要研究成果見文獻[13-19]。在正奇異系統(tǒng)的正性分析中，文獻[13]主要給出了分析離散正奇異系統(tǒng)正性和可達性的充要條件；文獻[14-15]通過分析廣義Lyapunov方程解的半正定性給出了在離散時間和連續(xù)時間狀態(tài)下刻畫正奇異系統(tǒng)正性和穩(wěn)定性的充要條件；文獻[16]在沒有不必要的先驗條件下，給出了判斷連續(xù)正奇異系統(tǒng)正性和穩(wěn)定性的充要條件，并首先提出了用線性規(guī)劃方法來分析系統(tǒng)的正性和穩(wěn)定性；文獻[17]在沒有不必要假設(shè)的前提條件下，給出了分析離散正奇異系統(tǒng)正性和穩(wěn)定性的充要條件，以及基于線性規(guī)劃的數(shù)值算法；文獻[18-19]給出了離散正奇異系統(tǒng)存在一個狀態(tài)反饋，使閉環(huán)系統(tǒng)是非負的、穩(wěn)定的、正則的條件?；谏鲜鲅芯炕A(chǔ)，給出了一種新的刻畫連續(xù)正奇異系統(tǒng)正性的線性規(guī)劃方法，該方法沒有不必要的先驗條件，理論上簡單易懂，可行性好，結(jié)果清晰明了，能提高系統(tǒng)正性分析的效率。

文中符號的具體說明如下：Rn表示n維實向量空間，Rn×n表示n×n維實矩陣的集合，C表示復數(shù)集，Cm×n表示m×n維復數(shù)矩陣的集合，AD表示矩陣A的Drazin逆，A-1表示矩陣A的逆，A>0(≥0)表示矩陣A的所有元素aij是正的(非負的)，AT表示矩陣A的轉(zhuǎn)置，rank(A)表示矩陣A的秩，I表示單位矩陣，vec(A)表示矩陣A的拉直算子，im(P)表示矩陣P的逆像。

1 簡介

考慮時不變齊次奇異系統(tǒng)：

(1)

其中E,A∈Rn×n為系統(tǒng)狀態(tài)矩陣，x(t)∈Rn為系統(tǒng)狀態(tài)向量，rank(E)

定義1.1[20]設(shè)A∈Rn×n且ind(A)=k，存在唯一矩陣X∈Rn×n，滿足

AX=XA，XAX=X，XAk+1=Ak。

其中k表示使rank(Ak)=rank(Ak+1)成立的最小非負整數(shù)，則X是A的Drazin逆，記作AD。

根據(jù)文獻[21]，任意矩陣A都可化為下列Jordan標準型：

(2)

其中，M為可逆矩陣，N為冪零矩陣。則矩陣A的Drazin逆可表示為：

(3)

定義1.2[15]E,A∈Rn×n，存在λ∈C，使得det(λE-A)≠0，則稱矩陣對(E,A)是正則的。

定理1.3[17] 如果(E,A)是正則的，則系統(tǒng)(1)的解可表示為：

(4)

1)P是冪等矩陣(例P2=P);

3) 對于系統(tǒng)(1)的任意解x(t)，有Px(t)=x(t)成立。

推論1.5根據(jù)定理1.3可知，系統(tǒng)(1)和系統(tǒng)(5)是等價的。

(5)

x(0)∈im(P)。

定理1.6[22]考慮方程組AXB=D，設(shè)矩陣A∈Cm×n，B∈Cs×r，D∈Cm×r，未知矩陣X∈Cn×s，則vec(D)=vec(AXB)=(BT?A)vec(X)。

2 正性分析

定義2.1[16]如果對于給定的任意非負可容許初始條件x(0)≥0，有x(t)≥0(t≥0)，則稱系統(tǒng)(5)是正系統(tǒng)。

定義2.2[23]A=[aij]∈Rn×n，若aij≥0(i≠j)，則矩陣A是Metzler矩陣。

定理2.3用A=[aij]∈Rn×n表示n×n維的實矩陣，用M=[mp,q]∈Rn2×n2表示n2×n2維的實矩陣。定義M矩陣：

M={mp,q|p≠q:mp,q=0.p=q:m1+(n+1)(j-1),1+(n+1)(j-1)=0,mi+n(j-1),i+n(j-1)=1(i≠j).}

其中，i,j∈[1,2,…,n]，p,q∈[1,2,…,n2]。若矩陣A滿足M×vec(A)≥0，則A為Metzler矩陣。

注：當A=[aij]∈R1×1時，A不存在非對角線元素，不予考慮。

例如，當矩陣A的維數(shù)為2時：i,j∈[1,2]，p,q∈[1,2,3,4]。則M∈R4×4，由不等式組M×vec(A)≥0，即

可得a2≥0，a3≥0，即矩陣A的非對角線元素非負。由定義2.2可知，矩陣A為Metzler矩陣。

當矩陣A的維數(shù)為3時：i,j∈[1,2,3]，p,q∈[1,2,…,9]。則M∈R9×9，由不等式組M×vec(A)≥0可得

由此，a2≥0，a3≥0，a4≥0，a6≥0，a7≥0，a8≥0，即矩陣A的非對角線元素非負。由定義2.2可知，矩陣A為Metzler矩陣。

證明：充分性：A=[aij]∈Rn×n，M=[mp,q]∈Rn2×n2。根據(jù)定義2.2可知，判斷矩陣是否為Metzler矩陣，只需分析其非對角線元素即可。而向量vec(A)的第i+n(j-1)(其中i≠j)個元素即為矩陣A的非對角線元素，只需左乘一個第i+n(j-1)(其中i≠j)個元素為1的單位行向量mi+n(j-1)，使mi+n(j-1)·vec(A)≥0成立，則有矩陣A為Metzler矩陣。

必要性：根據(jù)上文分析，若矩陣A為Metzler矩陣，則有mi+n(j-1).vec(A)≥0成立，即M×vec(A)≥0。

根據(jù)正奇異系統(tǒng)的解的表達式、正系統(tǒng)的定義以及引理2.5，有下列結(jié)論成立。

證明：充分性：令x(0)=Pv0，由定理1.3可得

[x(0)=Pv0=Ps(0)≥0]?[x(t)=Ps(t)≥0,?t≥0]。

定理2.7定義矩陣M=[mp,q]∈Rn2×n2，

M={mp,q|p≠q:mp,q=0.p=q:m1+(n+1)(j-1),1+(n+1)(j-1)=0,mi+n(j-1),i+n(j-1)=1(i≠j).}

其中，i,j∈[1,2,…,n]，p,q∈[1,2,…,n2]，n為系統(tǒng)狀態(tài)矩陣的維數(shù)。

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(I) 證明(8)、(9)式成立。

(i) 將矩陣方程組的求解問題轉(zhuǎn)化為線性方程組的求解問題。

Dx=b。

(11)

的求解問題。其中，

(ii) 將方程組(11)的求解問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題

(7)

(iii) 證明上述事實(ii)

(12)

接下來用反證法證明x0是方程組(11)的解。假設(shè)存在向量x*是方程組(11)的解，則有s(x*)

(13)

(14)

這與y0是線性規(guī)劃(7)、(8)和(9)的解相矛盾。

最后證明等式(15)成立。

(15)

類似地，又可證得

(Ⅱ) 證明(10)式成立。

式(10)可轉(zhuǎn)化為M×vec(H)≥0的形式。由定理2.3可得，若矩陣A滿足M×vec(A)≥0，則A為Metzler矩陣。

至此，命題得證。

3 數(shù)值例子

例1[16]考慮具有如下參數(shù)矩陣的時不變齊次正奇異系統(tǒng)

根據(jù)定理2.7可得，

(16)

由MATLAB中的Linprog函數(shù)可得：

例2[16]考慮具有如下參數(shù)矩陣的時不變齊次正奇異系統(tǒng)

根據(jù)定理2.7可得，

(17)

圖1 例1系統(tǒng)狀態(tài)軌線圖Fig.1 The trajectory of states about example 1

圖2 例2系統(tǒng)狀態(tài)軌線圖Fig.2 The trajectory of states about example 2

例3[16]考慮具有如下參數(shù)矩陣的時不變齊次正奇異系統(tǒng)

根據(jù)定理2.7可得，

(18)

由Linprog函數(shù)可求得：

例4[16]考慮具有如下參數(shù)矩陣的時不變齊次正奇異系統(tǒng)

根據(jù)定理2.7可得，

(19)

由Linprog函數(shù)可求得：

圖3 例3狀態(tài)軌線圖Fig.3 the trajectory of states

圖4 例4狀態(tài)軌線圖Fig.4 the trajectory of states

4 結(jié)論

主要研究了連續(xù)正奇異系統(tǒng)的正性的判定方法。一方面利用Metzler矩陣的非負性約束給出了判斷Metzler矩陣的充要條件，另一方面在文獻[16]的基礎(chǔ)上結(jié)合Drazin逆和矩陣拉直算子的相關(guān)性質(zhì)，利用最小絕對差給出了一種新的判定連續(xù)正奇異系統(tǒng)正性的線性規(guī)劃方法。同傳統(tǒng)方法相比，該方法簡單且易于數(shù)值實驗，數(shù)值實驗表明，上述理論方法是正確可行的，在降低理論復雜度的同時，提高了系統(tǒng)正性分析的效率。

參考文獻：

[2]榮莉莉，張榮.基于離散Hopfiedle神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的突發(fā)事件連鎖反應路徑推演模型[J].大連理工大學學報,2013,53(4):607-614.

RONG Lili,ZHANG Rong.An exmergency event chain reaction path deduction model based on discrete Hopfield neural network[J].Journal of Dalian University of Technology,2013,53(4):607-614.

[3]LUENBERGER D.Dynamic equations in descriptor form[J].IEEE Transactions on Automatic Control,1977,22(3):312-321.

[4]OHTA Y,MAEDA H,KODAMA S.Reachability,observability,and realizability of continuous-time positive systems[J].SIAM Journal on Control and Optimization,1984,22(2):171-180.

[5]COXSON P G,SHAPIRO H.Positive input reachability and controllability of positive systems[J].Linear Algebra and its Applications,1987,94:35-53.

[6]VALCHER M E.Controllability and reachability criteria for discrete time positive systems[J].International Journal of Control,1996,65(3):511-536.

[7]FARINA L,RINALDI S.Positive Linear Systems:Theory and Applications[M].New York:John Wiley & Sons,2000.

[8]RAMI M A,TADEO F.Positive observation problem for linear discrete positive systems[C]∥2006 45th IEEE Conference on Decision and Control:2006:4729-4733.

[9]RAMI M A,TADEO F,Benzaouia A.Control of constrained positive discrete systems[C]∥2007 IEEE American Control Conference,2007:5851-5856.

[10]KACZOREK T.Fractional positive continuous-time linear systems and their reachability[J].International Journal of Applied Mathematics and Computer Science,2008,18(2):223-228.

[11]LIU X,WANG L,YU W,et al.Constrained control of positive discrete-time systems with delays[J].IEEE Transactions on Circuits and Systems II:Express Briefs,2008,55(2):193-197.

[12]LIU X,DANG C.Stability analysis of positive switched linear systems with delays[J].IEEE Transactions on Automatic Control,2011,56(7):1684-1690.

[13]BRU R,COLL C,SANCHEZ E.About positively discrete-time singular systems[J].System and Control:Theory and Applications,World Scientific and Engineering Society,Athens,2000:44-48.

[14]VIRNIK E.Analysis of positive descriptor systems：topiucs in systems and control theory[M].VDM Verlag, 2008.

[15]VIRNIK E.Stability analysis of positive descriptor systems[J].Linear Algebra and Its Applications,2008,429(10):2640-2659.

[16]RAMI M A,NAPP D.Characterization and stability of autonomous positive descriptor systems[J].IEEE Transactions on Automatic Control,2012,57(10):2668-2673.

[17]RAMI M A,NAPP D.Positivity of discrete singular systems and their stability:An LP-based approach[J].Automatica,2014,50(1):84-91.

[18]HERRERO A,RAM A,THOME N.Nonnegativity,stability,and regularization of discrete-time descriptor systems[J].Linear Algebra and its Applications,2010,432(4):837-846.

[19]NAPP D,TADEO F,CHAABANE M.State feedback positive stabilization of discrete descriptor systems[J].International Journal of Innovative Computing,Information and Control,2014,10(5):1853-1859.

[20]CAMPBELL S L,MEYER,JR C D,Rose N J.Applications of the Drazin inverse to linear systems of differential equations with singular constant coefficients[J].SIAM Journal on Applied Mathematics,1976,31(3):411-425.

[21]BEN-ISRAEL A,GREVILLE T N E.Generalized inverses:theory and applications[M].Dordrecht:Springer Science & Business Media,2003:163-164.

[22]張賢達.矩陣分析與應用[M].2版.北京:清華大學出版社有限公司,2004:74-77.

[23]LUENBERGER D G D G.Introduction to dynamic systems: Theory,models,and applications[R].Palo Alto:Stanford University,1979:204-206.