一類(lèi)半線(xiàn)性橢圓型方程組的邊值問(wèn)題

金啟勝, 鐘金標(biāo)

(1.安慶師范大學(xué),安慶職業(yè)技術(shù)學(xué)院,安徽 安慶 246003;2.安慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,安徽 安慶 246133)

1 引言

考慮下面一類(lèi)半線(xiàn)性橢圓型方程組:

其中

而且

(I)??Rn是有界光滑域;

(II)G(x)中每一項(xiàng)在?上面連續(xù),并且gij≥0,i,j=1,2,···,n;

(III)hk(x,u1,···,un),k=1,2,···,n對(duì)于每一個(gè)變?cè)歼B續(xù);

(IV)存在正常數(shù)c,對(duì)于 (x,U)∈R2n,都有 0≤hk(x,U)≤c,x=1,2,···,n成立.

令

引進(jìn)范數(shù)

λ1為狄利克雷條件下?△在?的第一特征值.

所以方程組(1)和下面方程組(2)等價(jià):

引理 1.1[1]設(shè)Z是一個(gè)Banach空間,C是Z的一個(gè)閉凸集.如果T是C到C的一個(gè)緊映射,R是一個(gè)正常數(shù),使得對(duì)任意的U∈C,||U||=R.

但是UtT(U),0≤t≤1,那么T有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)U∈C,而且||U||≤R.

2 主要結(jié)論和證明

定理 2.1[2]如果|G(x)|<λ1,那么方程組(3)只有零解.

證明因?yàn)間kk<|G(x)|<λ1,所以gkk<λ1,k=1,2,···,n故算子L存在逆算子

并且

是線(xiàn)性緊正算子[3].故方程組(3)等價(jià)于:

把第k個(gè)方程兩邊都乘以u(píng)k,k=1,2,···,n,同時(shí)在?上積分,再利用格林第一公式就可以得到

利用Holder不等式,Poincare不等式和Cauchy不等式,得到

將上面每個(gè)式子相加便得到

又因?yàn)閨G(x)|<λ1,可得

所以

故得到

定理 2.2[4-5]如果|G(x)|<λ1,,那么方程組(2)存在正解而且有界.

證明令

Z中各項(xiàng)都非負(fù).??上面的零向量函數(shù)構(gòu)成正錐K,所以K為Z的閉凸集.作一算子T:K→K,使得對(duì)U∈K,有

根據(jù)定理2.1可知,L?1為線(xiàn)性緊正算子;又A(x),H(x,U)中每一項(xiàng)連續(xù)非負(fù),從而

也是緊正算子.可知算子T:K→K是緊正算子.

下面利用反證法證明T滿(mǎn)足引理的條件.

若T不滿(mǎn)足引理的條件,則存在{tn}?[0,1],{Un}?K,當(dāng)n→+∞時(shí),

因?yàn)長(zhǎng)?1,L?1A(x)為線(xiàn)性算子,令

代入(8)式,得到

因?yàn)?≤H(x,Un)≤c,所以

因?yàn)長(zhǎng)?1A(x)為線(xiàn)性緊正算子,

故是列緊集.所以通過(guò)取子列可得到tn→t0∈[0,1],L?1A(x)Wn收斂.所以

再對(duì)(9)式取極限便可得到

根據(jù)定理2.1的證明可知,W0≡0,顯然與∥W0∥=1矛盾.從而T滿(mǎn)足引理的條件,故T有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)U∈K,∥U∥≤R,R是一個(gè)正常數(shù).所以

即

所以U為方程組(2)的解,而且有界.這也說(shuō)明了方程組(1)存在有界正解.

如果對(duì)方程組(1)中的非線(xiàn)性項(xiàng)進(jìn)行適當(dāng)修改,還可以證明正解的唯一性.把方程組(1)中的H(x,U)改為

并且

(I)hk(x,uk),k=1,2,···,對(duì)于每一個(gè)變?cè)B續(xù);

(II)存在正常數(shù)c,對(duì)于 (x,uk)∈Rn+1,有 0≤hk(x,uk)≤c,k=1,2,···,n,成立;

(III)對(duì)于(x,uk)∈Rn+1,0≤hk(x,uk)≤c,k=1,2,···,n關(guān)于uk是單調(diào)遞減的.考慮下面方程組:

G(x),U和方程組(1)相同.

定理 2.3[6]如果|G(x)|<λ1,那么方程組(10)存在唯一解.

證明設(shè)

是方程組(10)的兩個(gè)解,那么有

把上面兩個(gè)方程兩邊乘以(uk?vk),得到

把(13)和(14)式在?上積分,再利用格林第一公式,得到

把 (15)式減去(16)式,得到

因?yàn)閔k(x,uk),k=1,2,···,n關(guān)于uk是單調(diào)遞減的,故

所以根據(jù)(17)式,得到

使用Holder不等式,Poincare不等式和Cauchy不等式,得到

把上面n個(gè)不等式相加,得到

因?yàn)閨G(x)|<λ1,所以得到

根據(jù)得到

從而U≡V,所以方程組(10)存在唯一解.

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