一類具有隔離效應(yīng)的隨機(jī)SIS傳染病系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為

趙 春 園

(1.東北師范大學(xué)環(huán)境學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春130024； 2.吉林交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院管理工程學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130021)

1 預(yù)備知識(shí)

研究流行病發(fā)生機(jī)理、傳染規(guī)律及防治策略對(duì)疾病的預(yù)防與控制具有重要意義.隨著科學(xué)的發(fā)展，學(xué)者們?cè)诓粩嗬每茖W(xué)知識(shí)通過建立模擬傳染病傳播規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，將疾病傳播規(guī)律與特點(diǎn)公式化.最近，在隨機(jī)干擾的作用下，研究某種疾病消失及流行的可能性已經(jīng)成為流行病學(xué)中的一個(gè)研究主題.[1-4]隔離效應(yīng)也已經(jīng)成為消除傳染病的一個(gè)重要策略，許多學(xué)者研究了具有隔離效應(yīng)的傳染病模型.[5-8]在許多現(xiàn)有的模型中，雙線性發(fā)生率已被頻繁使用.Gray等[9]研究具有雙線性發(fā)生率的隨機(jī)SIS傳染病模型時(shí)，通過控制隨機(jī)噪聲強(qiáng)度得到了該系統(tǒng)中感染者種群滅絕及持久的充分性條件.然而，當(dāng)易感者個(gè)體的數(shù)量較大時(shí)，在一定時(shí)間內(nèi)易感者個(gè)體之間存在著感染性接觸，即存在著飽和效應(yīng).這些事實(shí)表明，飽和發(fā)生率對(duì)許多情形來講都更為合理.[10-13]基于這樣的考慮，本文主要考慮具有隔離效應(yīng)和飽和發(fā)生率的隨機(jī)SIS傳染病模型

(1)

2 正解的存在唯一性

研究隨機(jī)傳染病模型的動(dòng)力學(xué)行為，首先要考慮模型是否存在全局正解.眾所周知，存在唯一性定理一般要求系統(tǒng)滿足局部Lipschitz條件和線性增長(zhǎng)條件.然而，系統(tǒng)(1)的系數(shù)只是滿足局部Lipschitz條件，線性增長(zhǎng)條件并不滿足，所以有可能會(huì)在有限時(shí)間內(nèi)爆破.本文主要利用文獻(xiàn)[10]中Lyapunov分析方法證明隨機(jī)微分方程(1)存在唯一的全局正解.

τm=inf{t∈[0，τe)|S(t)?(1/m，m)或者I(t)?(1/m，m)或者Q(t)?(1/m，m)}，

假設(shè)上述結(jié)論不成立，那么存在常數(shù)T和∈(0，1)，使得P{τ∞≤T}>，存在整數(shù)m1≥m0，對(duì)于m≥m1，滿足

P{τm≤T}≥.

(2)

由伊藤公式可得

(3)

其中

對(duì)(3)式兩邊積分，取期望得

EV(S(τk∧T)，I(τk∧T)，Q(τk∧T))≤
V(S(0)，I(0)，Q(0))+KE(τk∧T)≤
V(S(0)，I(0)，Q(0))+KT.

(4)

對(duì)于k≥k1，令Ωk={τk≤T}，則P(Ωk)≥ε.由于對(duì)每一個(gè)ω∈Ωk，在S(τk，ω)，I(τk，ω)和V(τk，ω)中至少有一個(gè)等于k或1/k，所以V(S(τk，ω)，I(τk，ω)，Q(τk，ω))不小于

于是

由(2)和(4)式，

3 無病平衡點(diǎn)P0附近的漸近性行為

研究傳染病數(shù)學(xué)模型時(shí)，疾病何時(shí)流行、何時(shí)消亡一直是關(guān)鍵問題.對(duì)于確定性傳染病模型，許多學(xué)者通過研究傳染病模型的無病平衡點(diǎn)和地方病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，來分析得到的疾病流行與滅絕的條件.然而，隨機(jī)模型中一般不存在有病平衡點(diǎn)和無病平衡點(diǎn)，那么如何研究隨機(jī)傳染病模型的滅絕性和持久性便成為一個(gè)非常有意義的問題.本文主要探討隨機(jī)傳染病系統(tǒng)(1)在無病平衡點(diǎn)處的漸近行為和遍歷性，在一定程度上反映了疾病的消亡或流行，并關(guān)注白噪聲對(duì)原確定系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為的影響.

(5)

dV∶=lVdt+c1σ2ydB2(t)+(x+y)[σ1(x+A/μ)dB1(t)+σ2ydB2(t)]+
c2(x+y+z)[σ1(x+A/μ)dB1(t)+σ2ydB2(t)+σ3zdB3(t)]+c3σ3z2dB3(t).

由于R0<1，得到

注意到當(dāng)

成立時(shí)，定理?xiàng)l件r1，r2，r3均大于0，從而

于是

因此

注1定理2表明，在R0<1和白噪聲強(qiáng)度滿足一定條件的情況下，系統(tǒng)(1)的解會(huì)在確定系統(tǒng)的無病平衡點(diǎn)附近震動(dòng)，且震動(dòng)強(qiáng)度和白噪聲強(qiáng)度成正比.從生物學(xué)角度來解釋，若傳染病系統(tǒng)受到白噪聲的影響越小，則系統(tǒng)(1)解的長(zhǎng)時(shí)間行為會(huì)越接近于無病平衡點(diǎn).

4 隨機(jī)系統(tǒng)的遍歷性行為

由于隨機(jī)系統(tǒng)(1)的擴(kuò)散項(xiàng)是非退化的，本文利用Hasminskii理論[4]給出系統(tǒng)(1)存在平穩(wěn)分布，并且證明此平穩(wěn)分布具有遍歷性，從而表明疾病在定理?xiàng)l件下將會(huì)流行.

引理1[4]存在具有正則邊界Γ的有界區(qū)域U?El，具有如下性質(zhì)：

(1) 在U和它的一些鄰域，擴(kuò)散陣Λ(x)的最小特征值是非零的.

證明由于R0>1，則確定系統(tǒng)存在地方病平衡點(diǎn)P*，因此

(6)

利用伊藤公式求導(dǎo)有

其中

這里

由于

則橢圓

由引理1，隨機(jī)系統(tǒng)(1)存在平穩(wěn)分布μ(·)，且是遍歷的.

5 總結(jié)

本文研究具有隔離效應(yīng)和飽和發(fā)生率的隨機(jī)SIS傳染病模型的動(dòng)力學(xué)行為.首先考慮具有任意正初值系統(tǒng)(1)全局正解的存在唯一性.然后根據(jù)基本再生數(shù)和白噪聲強(qiáng)度，得到保證疾病持久和滅絕的充分條件.所得結(jié)果表明環(huán)境白噪聲對(duì)疾病的持久性與滅絕性具有重要的影響.

當(dāng)然一些有意義的問題值得進(jìn)一步研究.一方面，可以提出一些更加符合實(shí)際情形并且復(fù)雜的模型，例如可以考慮時(shí)滯對(duì)系統(tǒng)(1)的影響.另一方面，本文所用到的方法也可以用來研究其他有意義的模型，如具有其他形式的非線性發(fā)生率的SIS(Susceptible Infective Susceptible)模型、SIRS(Susceptible Infective Removed Susceptible)模型和SEIRS(Susceptible Exposed Infective Susceptible)模型等.

[參 考 文 獻(xiàn)]

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