邢家省， 楊義川

(1.北京航空航天大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院， 北京 100191；2.數(shù)學(xué)、信息與行為教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 北京 100191)

引 言

Laplace算子在Dirichlet邊界條件下的特征值和特征函數(shù)的性質(zhì)問題[1-11]是偏微分方程中的重要課題，引起了人們持續(xù)不斷的研究[1-22]。關(guān)于特征值的跡問題，在文獻(xiàn)[16]中有詳盡的綜述。對特征函數(shù)系的完備性[1-11]，已有多種方法給予證明。然而對特征函數(shù)系在多個空間中的完備性，現(xiàn)有文獻(xiàn)中給出的證明路線不夠明確[1-11]，甚至出現(xiàn)不嚴(yán)密的表述過程[8]，沒有達(dá)到嚴(yán)密完善的標(biāo)準(zhǔn)程度。本文在前人研究成果的基礎(chǔ)上，對特征函數(shù)系在三個空間中的完備性分別給予敘述和證明，建立一套標(biāo)準(zhǔn)的證明路線，準(zhǔn)確論述了特征函數(shù)系的理論結(jié)果，推進(jìn)學(xué)術(shù)認(rèn)識發(fā)展。

1 Laplace算子在Dirichlet邊界條件下的特征值問題

范數(shù)記為

(1)

則稱λ為算子-Δ的廣義特征值，稱u為對應(yīng)于特征值λ的廣義特征函數(shù)。

在一定條件下，定義2與定義3是等價(jià)的[1-18]。

2 第一特征值問題的存在性

若λ,u是問題(1)的特征值與特征函數(shù)，則有

此式說明泛函J(u)有正的下界，因此J(u)有下確界。

定義

(2)

即存在

經(jīng)過展開處理，可得成立

因此，λ1是算子-Δ的特征值，u為對應(yīng)于特征值λ的特征函數(shù)。

式中，取v=w，得

于是λ1是-Δ的最小特征值。

3 算子-Δ的所有特征值和特征函數(shù)系

同上可證，λ2,u2滿足

即λ2是特征值，u2為對應(yīng)于特征值λ2的特征函數(shù)。

假設(shè)已經(jīng)得出算子-Δ的m-1個特征值，

λ1,λ2,…,λm-1,(m≥1),λ1≤λ2≤…≤λm-1

(3)

對應(yīng)于λ1,λ2,…,λm-1的特征函數(shù)為u1,u2,…,um-1且

(4)

函數(shù)組(4)的所有線性組合成為L2(Ω)的一個線性子空間，叫做函數(shù)組(4)在L2(Ω)中生成的子空間，記為

Vm-1=span{u1,u2,…,um-1}=

表示Vm-1在L2(Ω)中的正交補(bǔ)空間，即

(5)

就是算子-Δ的第m個特征值。

(6)

(7)

λ1≤λ2≤…≤λm-1≤λm…

(8)

相應(yīng)的的特征函數(shù)序列

u1,u2,…,um-1,um,…

(9)

4 特征值序列{λm}及對應(yīng)的特征函數(shù)系{um}的基本性質(zhì)

性質(zhì)2[1-11]對應(yīng)于不同特征值的特征函數(shù)在L2(Ω)中是正交的。

性質(zhì)4[1-11]對應(yīng)于同一特征值只有有限個線性無關(guān)的特征函數(shù)，或者，對應(yīng)于每一個特征值的特征函數(shù)空間是有限維的。

5 特征函數(shù)系{um}是空間中的一組正交完備系

易知

證明

由=0，可得(v,uk)=0，(k=1,2,…)。假若v≠0，可設(shè)

6 特征函數(shù)系{um}是空間L2(Ω)中的一組標(biāo)準(zhǔn)正交完備系

得到{Sn}在L2(Ω)中收斂于u。

7 特征函數(shù)系{um}是空間中的一組完備系

參考文獻(xiàn)：

[1] Courant R,Hilbert D,著.數(shù)學(xué)物理方法(Ⅰ)[M].錢敏,郭敦仁,譯.北京:科學(xué)出版社,1958.

[2] Smoller J.Shock Waves and Reaction-Diffusions[M].Berlin:Springer-Verlag,1983.

[3] Gilbarg D,Trudinger N S,著.二階橢圓型偏微分方程[M].葉其孝,譯.上海:科學(xué)技術(shù)出版社,1981.

[4] 葉其孝,李正元.反應(yīng)擴(kuò)散方程引論[M].北京:科學(xué)出版社,1990.

[5] 陳恕行,洪家興.偏微分方程近代方法[M].上海:復(fù)旦大學(xué)出版社,1988.

[6] 陸文端.微分方程中的變分方法[M].北京:科學(xué)出版社,2003.

[7] 陳祖墀.偏微分方程[M].合肥:中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社,2002.

[8] 張恭慶.變分學(xué)講義[M].北京:高等教育出版社,2011.

[9] 王耀東.偏微分方程的L2理論[M].北京:北京大學(xué)出版社,1989.

[10] 張恭慶,林源渠.泛函分析講義(上冊)[M].北京:北京大學(xué)出版社,1987.

[11] 丘成桐,孫理察.微分幾何講義[M].北京:高等教育出版社,2004.

[12] 郭柏靈.粘性消去法和差分格式的粘性[M].北京:科學(xué)出版社,1993.

[13] 陳國旺.索伯列夫空間導(dǎo)論[M].北京:科學(xué)出版社,2013.

[14] 陳國旺,陳翔英.非線性高階發(fā)展方程[M].北京:科學(xué)出版社,2017.

[15] 魏光祖,袁忠信,王恩三,等.索伯列夫空間與偏微分方程[M].開封:河南大學(xué)出版社,1994.

[16] 曹策問.微分算子的跡[J].數(shù)學(xué)進(jìn)展,1989,18(2):170-178.

[17] 唐燕武.Laplace算子的特征函數(shù)的正則性[J].安慶師范學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2000,6(4):24-26.

[18] 吳發(fā)恩,曹林芬.任意階Laplace算子的特征值估計(jì)[J].中國科學(xué)A輯:數(shù)學(xué),2007,37(5):587-594.

[19] 定光桂.等距線性延拓問題[J].中國科學(xué):數(shù)學(xué),2015,45(1):1-8.

[20] 李上達(dá),周振榮.特征函數(shù)的梯度估計(jì)[J].華中師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2015,49(2):182-185.

[21] 黃俊杰,阿拉坦倉,陳阿茹娜.一類無窮維Hamilton算子特征函數(shù)系的完備性[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2008,31(3):457-466.

[22] 馮璐,額布日力吐,阿拉坦倉.波動方程混合邊值問題的無窮維Hamilton算子辛特征函數(shù)系的完備性[J].內(nèi)蒙古大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2017,48(3):254-258.