靳敏倩， 朱培勇

(電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 成都 611731)

引 言

文獻[1]給出了一般拓撲空間中連續(xù)映射的定義以及等價刻畫，2002年，匈牙利數(shù)學(xué)家ACsaszar[2]提出廣義拓撲空間與廣義鄰域系統(tǒng)的概念，借助這些概念定義了(Ψ，Ψ′)-連續(xù)。廣義拓撲實際上是一個半拓撲，廣義拓撲概念的提出使得學(xué)術(shù)界開始關(guān)注半拓撲空間的研究。近年來，不少學(xué)者關(guān)于廣義拓撲空間的研究已經(jīng)取得了一系列非常豐富的研究成果，其中文獻[3]定義了弱(Ψ，Ψ′)-連續(xù)的概念，文獻[4]定義了幾乎(Ψ，Ψ′)-連續(xù)及其等價刻畫，進一步豐富了廣義拓撲空間連續(xù)性的研究。本文借鑒廣義拓撲空間連續(xù)性的定義方法，在R-半拓撲空間中給出逆開連續(xù)、點態(tài)連續(xù)的定義，以及在R-半拓撲空間中引入(Ψ，Ψ′)-連續(xù)、弱(Ψ，Ψ′)-連續(xù)與幾乎(Ψ，Ψ′)-連續(xù)的定義，同時還給出了強(Ψ，Ψ′)-連續(xù)的定義，并探究上述各種連續(xù)之間的關(guān)系。

1 預(yù)備知識

定義1[5]設(shè)X為一非空集合，λ是X的一些子集構(gòu)成的集族，稱λ是X上一個R-半拓撲，(X,λ)為一個R-半拓撲空間，如果滿足以下兩條：(O1)φ∈λ;(O2)若Gi∈λ(i∈I)，則∩i∈IGi∈λ(其中I為任一非空指標集)，其中λ中的每個元素稱作開集。

定義2設(shè)(X,λ)和(X′,λ′)是兩個R-半拓撲空間，映射f:X→X′，稱f是逆開連續(xù)的，如果?G′∈λ′有f-1(G)∈λ。

定義3設(shè)(X,λ)和(X′,λ′)是兩個R-半拓撲空間，映射f:X→X′，稱f是點態(tài)連續(xù)的，如果?V∈((f(x)),?U∈((x)，使得f(U)?V。

定義4設(shè)(X,λ)是R-半拓撲空間，映射ψ:X→exp(expX)稱為X的R-鄰域系統(tǒng)，如果?x∈X,?V∈Ψ(x)都有x∈V。其中稱Ψ(x)為點x的鄰域系，并且Ψ(x)中的每個集合都稱為點x的鄰域。

定義5設(shè)(X,λ)是R-半拓撲空間，Ψ是X上的一個R-鄰域系統(tǒng)，A?X，則稱iΨA={x∈A:存在V∈Ψ(x),滿足V?A}為A關(guān)于Ψ的內(nèi)部，稱γΨA={x∈X:對任一V∈Ψ(x),有V∩A≠φ}為A關(guān)于Ψ的閉包。

定義6設(shè)(X,λ)設(shè)和(X′,λ′)是兩個R-半拓撲空間，若Ψ,Ψ′分別是X,X′上的R-鄰域系統(tǒng)，映射f:X→X′，稱f是(Ψ，Ψ′)-連續(xù)，如果?x∈X,?V∈Ψ′(f(x))，存在U∈Ψ(x)使得f(U)?V。

定義7設(shè)(X,λ)和(X′,λ′)是兩個R-半拓撲空間，Ψ,Ψ′分別是X,X′上的R-鄰域系統(tǒng)，映射f:X→X′，稱f是弱(Ψ，Ψ′)-連續(xù)，如果?x∈X,?V∈Ψ′(f(x))，存在U∈Ψ(x)使得f(U)?γΨ′V。

定義8設(shè)(X,λ)和(X′,λ′)是兩個R-半拓撲空間，Ψ，Ψ′分別是X,X′上的R-鄰域系統(tǒng)，映射f:X→X′，稱f是幾乎(Ψ，Ψ′)-連續(xù)，如果?x∈X,?V∈Ψ′(f(x))，存在U∈Ψ(x)使得f(U)?iΨ′γΨ′V。

定義9設(shè)(X,λ)和(X′,λ′)是兩個R-半拓撲空間，Ψ，Ψ′分別是X,X′上的R-鄰域系統(tǒng)，映射f:X→X′，稱f是強(Ψ，Ψ′)-連續(xù)，如果?x∈X,?V∈Ψ′(f(x))，存在U∈Ψ(x)使得f(U)?iΨ′V。

2 逆開連續(xù)與點態(tài)連續(xù)的關(guān)系

由文獻[1]知，在一般拓撲空間中，逆開映射與點態(tài)映射是等價的，在R-半拓撲空間中，逆開映射與點態(tài)映射的關(guān)系如下：

定理1(X,λ)和(X′,λ′)是兩個R-半拓撲空間，若映射f:X→X′是逆開連續(xù)，則f:X→X′一定是點態(tài)連續(xù)；反之不成立。

證明?x∈X,?V∈((f(x)),?G開于X′，使得f(x)∈G?V，故x∈f-1(G)?f-1(V)，又f-1(G)開于X，則?U=f-1(G)∈((x)使得f(U)=G?V。故f點態(tài)連續(xù)。

反之，存在R-半拓撲空間(X,λ)和(X′,λ′)，其中X={a,b,c},λ={φ，{a},{a,b},{c},},X′={a′,b′,c′},λ′={φ，{a′},{b′,c′},{c′}}。映射f:X→X′，其中f(a)=a′,f(b)=b′,f(c)=c′。又因為

((f(a))={{a′},{a′,b′},{a′,b′,c′},{a′,c′}}

((f(b))=(〗{b′,c′},{a′,b′,c′}}

((f(c))={{c′},{a′,c′},{b′,c′},{a′,b′,c′}}

((a)={{a},{a,b},{a,c},{a,b,c}}

((b)={{a,b},,{a,b,c},{b,c}}

((c)={{c},{a,c},{b,c},{a,b,c}}

容易驗證：對?V∈((f(x)),?U∈((x)，使得f(U)?V，則f為X上的點態(tài)連續(xù)，但是對X′中開集{b′,c′},f-1({b′,c′})={b,c}不是X中的開集，所以在R-半拓撲空間上，f為點態(tài)映射不能推出f為逆開映射。

定理2設(shè)(X,λ)和(X′,λ′)是兩個R-半拓撲空間，若映射f:X→X′是逆開連續(xù)，則有以下五個命題等價：

(1)映射f:X→X′是逆開連續(xù)。

(2)若F閉于X′，則f-1(F)閉于X。

(5)任意的網(wǎng){xδ}δ∈S?X，若xδ→x，則在X′中f(xδ)→f(x)。

證明(1)?(5) 任取網(wǎng){xδ}δ∈S?X并且xδ→x。?V∈((f(x)),?G開于X′，使得f(x)∈G?V，由(1)知f-1(G)開于X且f(f-1(G))?V，又因xδ→x，故?δ0∈S使得?δ?δ0有xδ∈f-1(G)。因此f(xδ)∈G?V，從而f(xδ)→f(x)。

(4)?(3) ?B?X′，令A(yù)=f-1(B)?X，則f(A)?B。由

(2)?(1) 設(shè)G為X′的開集，則F=X′-G是X′的閉集，又f-1(F)=f-1(X′-G)=X-f-1(G)，故f-1(G)開于X。

什么情況下映射f:X→X′是點態(tài)連續(xù)可以推出f:X→X′是逆開連續(xù)。

定理3設(shè)(X,λ)和(X′,λ′)是兩個R-半拓撲空間，若對?λ*∈λ有∪λ*∈λ，則f:X→X′是點態(tài)連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)它是逆開連續(xù)。

證明由定理1知f:X→X′是逆開連續(xù)則一定是點態(tài)連續(xù)，充分性顯然成立。

3 (Ψ，Ψ′)-連續(xù)與其他連續(xù)的關(guān)系

廣義拓撲中，文獻[2-4]分別給出了(Ψ，Ψ′)-連續(xù)、弱(Ψ，Ψ′)-連續(xù)與幾乎(Ψ，Ψ′)-連續(xù)的定義，在R-半拓撲空間中引入上述連續(xù)定義，并給出強(Ψ，Ψ′)-連續(xù)的定義，進一步討論幾種連續(xù)之間的關(guān)系。

定理4在R-半拓撲空間中，幾乎(Ψ，Ψ′)-連續(xù)嚴格強于弱(Ψ，Ψ′)-連續(xù)。

證明先證幾乎(Ψ，Ψ′)-連續(xù)是弱(Ψ，Ψ′)-連續(xù)。由定義8知f(U)?iΨ′γΨ′V?γΨ′V，所以f:X→X′是弱(Ψ，Ψ′)-連續(xù)的。

再證存在映射f:X→X′是弱(Ψ，Ψ′)-連續(xù)的，但不是幾乎(Ψ，Ψ′)-連續(xù)的。事實上，考慮X=X′={a,b,c,d}，定義X、X′上的R-鄰域系統(tǒng)Ψ、Ψ′：

Ψ(a)={{a,c}},Ψ(b)={{b,c}},Ψ(c)=

{{c,d}},Ψ(d)=j5i0abt0b

Ψ′(a)={{a,b,c}},Ψ′(b)={{b,c}},Ψ′(c)=

{{c,d}},Ψ′(d)={{a,d}}

定義映射f:X→X′，其中f(a)=a，f(b)=b，f(c)=c,f(d)=d。由定義5可得，γΨ′{a,b,c}=γΨ′{c,d}=X,γΨ′{b,c}={a,b,c},γΨ′{a,d}={a,c,d}。由定義7可知，映射f:X→X′是弱(Ψ，Ψ′)-連續(xù)的，但當(dāng)x=b時，由于V={b,c}∈Ψ′(b),iΨ′γΨ′V={a,b}，而Ψ(b)={b,c}，故不存在U∈Ψ(b)使得f(U)?iΨ′γΨ′V，所以f不是幾乎(Ψ，Ψ′)-連續(xù)的。

互聯(lián)網(wǎng)企業(yè)只有建立科學(xué)有效的薪酬體系，才能充分發(fā)揮薪酬的激勵作用，從而提高員工的工作積極性，增強員工履行職責(zé)的責(zé)任心。公司對員工付出勞動的回報主要體現(xiàn)在其薪酬體系上，通過發(fā)放工資、獎金、津貼等來滿足員工的物質(zhì)需求，從而增強員工對其工作的認可程度，降低員工的跳槽率。

定理5在R-半拓撲空間中，(Ψ，Ψ′)-連續(xù)嚴格強于弱(Ψ，Ψ′)-連續(xù)。

證明先證(Ψ，Ψ′)-連續(xù)是弱(Ψ，Ψ′)-連續(xù)。由定義6知f(U)?V?γΨ′V，所以f:X→X′是弱(Ψ，Ψ′)-連續(xù)的。

再證存在映射f:X→X′是弱(Ψ，Ψ′)-連續(xù)的，但不是(Ψ，Ψ′)-連續(xù)的。事實上，考慮X=X′={a,b,c,d}，定義X、X′上的R-鄰域系統(tǒng)Ψ、Ψ′：

Ψ(a)={{a,c}},Ψ(b)={{b,d}},Ψ(c)=

{{c,d}},Ψ(d)={b,d}

Ψ′(a)={{a,b,c}},Ψ′(b)={{b,c}},Ψ′(c)=

{{c,d}},Ψ′(d)={{a,c,d}}

定義映射f:X→X′其中f(a)=a,f(b)=b,f(c)=c,f(d)=d，由定義5γΨ′{a,b,c}=γΨ′{b,c}=γΨ′{c,d}=γΨ′{a,c,d}=X，由定義7知f:X→X′是弱(Ψ，Ψ′)-連續(xù)的。但當(dāng)x=d時，由于V={a,c,d}∈Ψ′(d)，而Ψ(d)={b,d}，故不存在U∈Ψ(d)使得f(U)?V，所以f不是(Ψ，Ψ′)-連續(xù)的。

討論(Ψ，Ψ′)-連續(xù)與幾乎(Ψ，Ψ′)-連續(xù)的關(guān)系。

定理6在R-半拓撲空間中，(Ψ，Ψ′)-連續(xù)與幾乎(Ψ，Ψ′)-連續(xù)不能相互推出。

證明先證存在映射f:X→X′是幾乎(Ψ，Ψ′)-連續(xù)，但不是(Ψ，Ψ′)-連續(xù)。事實上，考慮X=X′={a,b,c,d}，定義X、X′上的R-鄰域系統(tǒng)Ψ、Ψ′：

Ψ(a)={{a,c}},Ψ(b)={{b,c}},Ψ(c)=

{{a,b,c}},Ψ(d)={j5i0abt0b}

Ψ′(a)={{a,b,c}},Ψ′(b)={{b,c}},Ψ′(c)=

{{a,c,d}},Ψ′(d)={{c,d}}

定義映射f:X→X′，其中f(a)=a,f(b)=b,f(c)=c,f(d)=d。由于iΨ′γΨ′{a,b,c}=iΨ′γΨ′{b,c}=iΨ′γΨ′{a,c,d}=iΨ′γΨ′{c,d}=X.由定義8知f是幾乎(Ψ，Ψ′)-連續(xù)的。但當(dāng)x=c時，由于V={a,c,d}∈Ψ′(c)，而Ψ(c)={a,b,c}，故不存在U∈Ψ(c)使得f(U)?V，所以f不是(Ψ，Ψ′)-連續(xù)的。

再證存在映射f:X→X′是(Ψ，Ψ′)-連續(xù)的，但不是幾乎(Ψ，Ψ′)-連續(xù)的。事實上，考慮X=X′={a,b,c,d}，定義X、X′上的R-鄰域系統(tǒng)Ψ、Ψ′：

Ψ(a)={{a,c}},Ψ(b)={{b,d}},Ψ(c)=

{{a,c,d}},Ψ(d)=j5i0abt0bΨ′(a)=

{{a,b,c}},Ψ′(b)={{b,d}},Ψ′(c)=

{{a,c,d}},Ψ′(d)={j5i0abt0b}

定義映射f:X→X′，其中f(a)=a,f(b)=b,f(c)=c,f(d)=d.容易驗證，對于?x∈X,?V∈Ψ′(f(x))存在U∈Ψ(x)使得f(U)?V。當(dāng)x=a時，f(a)=a.取{a,b,c}∈Ψ′(a),iΨ′γΨ′{a,b,c}={a}，故對?V∈Ψ′(f(x))，不存在U∈Ψ(x)滿足f(U)?iΨ′γΨ′V，所以f不是幾乎(Ψ，Ψ′)-連續(xù)的。

定理7在R-半拓撲空間中，強(Ψ，Ψ′)-連續(xù)嚴格強于(Ψ，Ψ′)-連續(xù)。

證明先證強(Ψ，Ψ′)-連續(xù)是(Ψ，Ψ′)-連續(xù)。由定義9知f(U)?iΨ′V?V，所以f:X→X′是(Ψ，Ψ′)-連續(xù)的。

再證存在映射f:X→X′是(Ψ，Ψ′)-連續(xù)的，但不是強(Ψ，Ψ′)-連續(xù)的。事實上，考慮X=X′={a,b,c,d}，定義X、X′上的R-鄰域系統(tǒng)Ψ、Ψ′：

Ψ(a)={{a,c}},Ψ(b)={{b,d}},Ψ(c)=

{{a,c,d}},Ψ(d)={j5i0abt0b}Ψ′(a)=

{{a,b,c}},Ψ′(b)={{b,d}},Ψ′(c)=

{{a,c,d}},Ψ′(d)={j5i0abt0b}

定義映射f:X→X′其中f(a)=a,f(b)=b,f(c)=c,f(d)=d由定義6可知映射f:X→X′是(Ψ，Ψ′)-連續(xù)的。但當(dāng)x=a時，V={a,b,c}∈Ψ′(a)由于iΨ′{a,b,c}={a}，故不存在U∈Ψ(a)使得f(U)?iΨ′V，所以f不是強(Ψ，Ψ′)-連續(xù)的。

定理8在R-半拓撲空間中，強(Ψ，Ψ′)-連續(xù)嚴格強于幾乎(Ψ，Ψ′)-連續(xù)。

證明對?x∈X,?V∈Ψ′(f(x))，由定義9可知f(U)?iΨ′V?iΨ′γΨ′V，所以f:X→X′是幾乎(Ψ，Ψ′)-連續(xù)的。反之不成立。

假設(shè)f:X→X′是幾乎(Ψ，Ψ′)-連續(xù)，則它是強(Ψ，Ψ′)-連續(xù)成立，由定理6知f:X→X′是(Ψ，Ψ′)-連續(xù)，又由上文知f:X→X′是幾乎(Ψ，Ψ′)-連續(xù)不能推出f:X→X′是(Ψ，Ψ′)-連續(xù)，矛盾，假設(shè)不成立。所以若f:X→X′是幾乎(Ψ，Ψ′)-連續(xù)，則它不是強(Ψ，Ψ′)-連續(xù)。

4 結(jié)束語

本文借鑒一般拓撲空間與廣義拓撲空間連續(xù)性的定義，首先在R-半拓撲空間中給出了點態(tài)連續(xù)和開逆連續(xù)的定義，并進一步討論兩者的關(guān)系及等價刻畫，得出逆開連續(xù)一定是點態(tài)連續(xù)，點態(tài)連續(xù)不一定是逆開連續(xù)的結(jié)論。引入(Ψ，Ψ′)-連續(xù)、弱(Ψ，Ψ′)-連續(xù)與幾乎(Ψ，Ψ′)-連續(xù)的定義，同時還給出了強(Ψ，Ψ′)-連續(xù)的定義，并進一步討論這幾種連續(xù)之間的關(guān)系，指出：在R-鄰域系統(tǒng)上的強連續(xù)嚴格強于連續(xù)，連續(xù)嚴格強于弱連續(xù)；強連續(xù)嚴格強于幾乎連續(xù)，幾乎連續(xù)嚴格強于弱連續(xù)；幾乎連續(xù)與連續(xù)無關(guān)。

參考文獻：

[1] 朱培勇,雷銀彬.拓撲學(xué)導(dǎo)論[M].北京:科學(xué)出版社,2009.

[2] CSASZAR A.Generalized topology,generalized continuity[J].Acta Math,2002,96(4):351-357.

[3] MIN W K.Weak continuity on generalized topological space[J].Acta Math,2009,124:73-81.

[4] 李陽,朱培勇.關(guān)于廣義拓撲空間中的幾乎連續(xù)性的一些結(jié)果[J].西南師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2016,41(2):36-40.

[5] 鐘健,陳道富,朱培勇.關(guān)于R-半拓撲空間的一些結(jié)果[J].理論數(shù)學(xué),2016,6:217-222.

[6] MIN W K.Almost continuity on generalized topological space[J].Acta Math,2009,125:121-125.

[7] CSASZAR A.On generalized neighbourhood systems[J].Acta. Math,2008,121(4):395-400.

[8] CSASZAR A.Generalized neighbourhood[J].Acta Math,2008,124(4):395-400.

[9] MIN W K.Some results on generalized topological spaces and generalized system[J].Acta Math,2005,108:171-181.

[10] SARMA R D.On extremely disconnected generalized topologies[J].Acta Math,2012,134(4):583-588.

[11] CSASZAR A.Generalized open sets in generalized topologies[J].Acta Math,2005,105:53-66.

[12] CSASZAR A.γ-connected sets[J].Acta Math,2003,101:273-279.

[13] CSASZAR A.Separation axioms for generalized topologies[J].Acta Math,2004,104:63-69.

[14] CSASZAR A.Products of generalized topologies[J].Acta Math,2009,123:127-132.

[15] Min WK.Generalized continuous functions defined by generalized open sets on generalized topological spaces[J].Acta Math,2010,128:299-306.

[16] 李瑞佳,朱培勇.拓撲動力系統(tǒng)中強傳遞集的一些性質(zhì)[J].四川理工學(xué)院學(xué)報:自然科學(xué)版,2016,29(6):90-93.