集合Λ上的簡單半格Γ確定的二元關系半群PΓ(Λ×Λ)的冪等元和極大子群

林屏峰

(西南民族大學預科教育學院，四川 成都 610041)

上世紀九十年代末，Ralpha N.Mckenzie和Boris M.Schein在文獻[1]中指出，任意半群都可以同構于某個二元關系半群的子半群，這說明對二元關系半群的研究具有非常重要的意義.對二元關系半群的研究始于二十世紀中葉，R.J.Plemmons[2-3]等人對集合上的二元關系半群的進行了研究，獲得了一些基本性質和一些子半群結構；S.Schwarz[4]對集合上的二元關系半群的冪等元進行了研究.至本世紀初，J.Konieczny[5]對集合上的二元關系半群的正則元也進行了研究.二十世紀七、八十年代，Karen Chase在文獻[6-8]中構造了夾心二元關系半群，并研究了這類半群的基本性質和極大子群.本世紀初，作者在文獻[9-10]通過推廣Karen Chase的夾心二元關系半群，獲得從一個集合到另一個集合的二元關系半群，并且對其中一類進行了深入研究.雖已取得許多成果，但是對二元關系半群的研究卻還未完成.近年來，作者在文獻[10-14]中利用半格的性質構造了集合上的半格確定的二元關系半群，并且對這類半群的Green-關系、一些特殊元(冪等元、不可分解元)進行了深入的研究.作者將在文獻[10-14]的基礎之上，對集合上的一類特殊半格確定的二元關系半群進行了系統(tǒng)的研究，獲得了冪等元的結構和極大子群.

下面給出需要使用的重要符號和概念，主要來源于文獻[12].

設Λ是一個非空集合，令P(Λ)＝{U:U?Λ}，P*(Λ)＝{U:Φ?U?Λ}.集合P(Λ)關于集合的并運算構成一個半格.若Γ是P(Λ)的一個子半格，則稱Γ是集合Λ上的一個半格.設Γ是集合Λ上的一個半格，令，則sup(Γ) 是 Γ 的最大元.

設min(Γ)是集合Λ上的半格Γ的所有極小元構成的集合.則顯然有下列性質:

引理1 設Γ是集合Λ上的半格，U∈Γ，U∈min(Γ).若

設Λ是一個非空集合，令P(Λ×Λ)＝{σ＝U×V｜U，V?Λ}，即P(Λ×Λ)是Λ上的所有二元關系構成的集合.設ρ∈P(Λ×Λ)，Γ是集合Λ上的一個半格.定義如下集合，W(ρ，Γ)＝{ρK:K∈ Γ}，則顯然W(ρ，Γ)也是集合Λ上的一個半格.

設f:Λ→Γ是一集值變換.定義{λ}， 則αf∈P(Λ×Λ).令PΓ(Λ×Λ)＝{αf:f是Λ到Γ的集值變換}.在文獻[11]中證明了PΓ(Λ×Λ)在二元關系的乘積運算下構成半群，稱為集合Λ上的半格Γ確定的二元關系半群.

定義1 若集合Λ上的半格Γ滿足下列兩個條件:(1)對任意U，V∈ Γ，且U≠V，有U∪V＝sup(Γ)；(2)對任意U，V∈Γ，有U∩V≠Φ.則稱Γ是集合Λ上的簡單半格.

顯然集合Λ上的簡單半格Γ具有如下性質:Φ?Γ；對任意U，V∈Γ－{sup(Γ)}，且U≠V，有U－V≠Φ ；min(Γ)＝Γ－{sup(Γ)}，并且min(Γ)是Γ的生成集.

文中涉及的半格理論可參看文獻[15].

1 集合Λ上的簡單半格Γ確定的二元關系半群PΓ(Λ ×Λ)的冪等元

集合Λ上的簡單半格Γ確定的二元關系半群PΓ(Λ×Λ)的冪等元具有下列特征.

定理1 設Γ是集合Λ上的簡單半格，ε∈PΓ(Λ×Λ).則ε是冪等元當且僅當

先證明如下性質:

引理2設α，β∈PΓ(Λ×Λ).若存在σ∈PΓ(Λ×Λ) ，使得β°σ＝α， 則W(α，P*(Λ))?W(β，Γ)，反之亦然.

證明根據文獻[12]中引理2易得.

由引理2容易獲得如下性質:

推論1設Φ?Γ，ε是半群PΓ(Λ×Λ)的冪等元，則W(ε，P*(Λ))＝W(ε，Γ).

引理3設Γ是集合Λ上的簡單半格，ε∈PΓ(Λ×Λ).若 ?！洌絎(ε，Γ) ，且ε是冪等元，則半格?！涫且粭l長度不超過2的鏈.

證明 設U1，U2∈ ?！洹?min(Γ) ，則U1，U2?sup(Γ).根據簡單半格Γ的定義知，存在λ∈U1∩的下界構成的集合.定義中的最大下界.于是.根據引理1 知，只能是下面三種情形之一:

即?！涫且粭l長度不超過2的鏈.

根據推論1和引理3，顯然有如下性質.

推論2設Γ是集合Λ上的簡單半格，ε∈PΓ(Λ×Λ).若ε是冪等元，則W(α，P*(Λ))只能是如下三種情形之一:

定理1的證明設Γ是集合Λ上的簡單半格，若ε∈PΓ(Λ×Λ)是冪等元，則根據推論2知，W(α，P*(Λ))只能是如下三種情形之一:

文獻[13]研究了集合Λ上的簡單半格Γ確定的二元關系半群PΓ(Λ×Λ)上的冪等元具有的基本性質，進而利用傳遞二元關系構造了一類冪等元，但并未刻畫冪等元的的基本結構.而定理1將集合上的一般半格這一條件特殊化，變成簡單半格，就完全刻畫了集合Λ上的簡單半格Γ確定的二元關系半群PΓ(Λ×Λ)的冪等元的基本結構.并且集合Λ上的簡單半格Γ確定的二元關系半群PΓ(Λ×Λ)的所有冪等元構成一個子半群，見如下定理.

定理2設Γ是集合Λ上的簡單半格，EΓ(Λ)是半群PΓ(Λ×Λ)的所有冪等元構成的集合，則EΓ(Λ)是PΓ(Λ×Λ)的子半群.

證明設U1，U2∈ min(Γ).令

情形1 設U1＝U2，則有

情形2 設U1≠U2.由于U1∩U2≠Φ，則有U2∩Λ1≠Φ ，sup(Γ)∩Λ1≠Φ .假設U2∩(Λ－Λ1)＝Φ ，則U2?Λ1，從而sup(Γ)＝U1∪U2?Λ1，即sup(Γ)－Λ1＝Φ，這與sup(Γ)－Λ1≠Φ矛盾.因此U2∩(Λ－Λ1)≠Φ.又假設sup(Γ)∩(Λ－Λ1)＝Φ ，則有sup(Γ)?Λ1，進而sup(Γ)－Λ1≠Φ ，這與sup(Γ)－Λ1≠Φ矛盾.因此sup(Γ)∩(Λ－Λ1)≠Φ.于是有

2 集合Λ上的簡單半格Γ確定的二元關系半群PΓ(Λ ×Λ)的極大子群

根據集合Λ上的簡單半格Γ確定的二元關系半群PΓ(Λ×Λ)的冪等元的結構，可以獲得半群PΓ(Λ×Λ)的極大子群.下面討論過程中，EΓ(Λ)始終是半群PΓ(Λ×Λ)的所有冪等元構成的集合.

定理3設Γ是集合Λ上的簡單半格.則半群PΓ(Λ×Λ)的極大子群是由1個冪等元構成的單位元群.

證明設ε∈EΓ(Λ)，Gε是半群PΓ(Λ×Λ)的以ε作為單位元的極大子群.若α∈Gε，則ε°α＝α，并且存在α′∈Gε，使得α°α′＝α′°α＝ε.根據引理2 知，W(α，P*(Λ)) ?W(ε，Γ) ，W(ε，P*(Λ)) ?W(α，Γ).由于Φ?Γ，則顯然有Γ?P*(Λ).因此W(α，Γ) ?W(α，P*(Λ)).又根據推論 1 知，W(ε，Γ) ?W(ε，P*(Λ)).因此

即W(α，Γ)＝W(α，P*(Λ))＝W(ε，P*(Λ))＝W(ε，Γ).又根據引理3知，W(ε，Γ) 只能是下面三種情形之一:

[1] MCKENZIE R N，SCHEIN B M.Every semigroups is isomorphic to a transitive semigroup of binary relations[J].Transactions of the American Mathematical Society，1997，349:271-285.

[2] PLEMMONS R J，WEST M T.On the semigroup of binary relations[J].Pacific Journal of Mathematics，1970，35:743-753.

[3] PLEMMONS R J，SCHEIN B M.Groups of binary relations[J].Semigroup Forum，1970，1:267-271.

[4] SCHWARZ S.On idempotent binary relations on a finite set[J].Czechoslovak Mathematical Journal，1970，20:696-702.

[5] KONIECZNY J.The semigroup generated by regular Boolean matrices[J].Southeast Asian Bulletin of Mathematics，2002，25:627-641.

[6] CHASE K.New semigroups of binary relations[J].Semigroup Forum，1979，18:79-82.

[7] CHASE K.Sandwish semigroups of binary relations[J].Discrete Mathematical，1979，28:231-236.

[8] CHASE K.Maximal groups in sandwish semigroups of binary relations[J].Pacific Journal of Mathematics，1982，100:43-59.

[9] 林屏峰.集合I到集合Λ上的二元關系半群Pθ(I×Λ)的正則性[J].西南民族大學學報 (自然科學版)，2009，35(5):951-946.

[10] 林屏峰.集合I到集合Λ上的二元關系半群Pθ(I×Λ)的生成集和Green-關系[J].西南民族大學學報 (自然科學版)，2010，36(1):44-49.

[11] 林屏峰.集合Λ上的半格Γ確定的二元關系半群PΓ(Λ×Λ)的基本性質[J].西南民族大學學報 (自然科學版)，2012，38(4):529-532.

[12] 林屏峰.集合Λ上的半格Γ確定的二元關系半群PΓ(Λ×Λ)的Green-關系[J].西南民族大學學報 (自然科學版)，2013，39(1):26-29.

[13] 林屏峰，曾偉，曾純一.集合Λ上的半格Γ確定的二元關系半群PΓ(Λ×Λ) 的冪等元[J].山東大學學報(理學版)，2013，48(8):36-40.

[14] 林屏峰.集合Λ上的半格Γ確定的二元關系半群PΓ(Λ×Λ)的不可分解元[J].山東大學學報 (理學版)，2016，51(2):12-15.

[15] BIRKHOFF G.Lattice Theory[M].New York:American Mathematical Society，1967.