潘 洋，冉 全*，鄒夢麒

1.武漢工程大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院，湖北 武漢 30205；

2.中國礦業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，江蘇 徐州 221116

自從工業(yè)機(jī)器人應(yīng)用于制造業(yè)，隨著其機(jī)構(gòu)精度、離線編程技術(shù)、數(shù)字控制技術(shù)的不斷發(fā)展，其穩(wěn)定、高精度、耐重復(fù)、惡劣環(huán)境中作業(yè)的特點(diǎn)便體現(xiàn)在制造業(yè)生產(chǎn)環(huán)節(jié)中的方方面面。而作為汽車外殼噴漆、陶瓷外表涂裝的噴涂設(shè)備，噴涂機(jī)器人在涂料噴涂領(lǐng)域則具有至關(guān)重要的作用。目前的噴涂機(jī)器人主要用于平面噴涂和曲面噴涂兩個(gè)方面。但是隨著人們生活水平的提高，人們的審美要求也在不斷的提高。另外，在陶瓷燒制過程中不均勻的釉料會(huì)產(chǎn)生裂紋，造成工件報(bào)廢，所以噴涂過程中涂料的厚度要盡可能均勻。

針對(duì)這一問題，國內(nèi)外有關(guān)學(xué)者對(duì)噴涂機(jī)器人噴槍軌跡優(yōu)化［1-7］問題展開了深入的研究。張永貴［8］等采用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法進(jìn)行漆膜表面函數(shù)擬合，提出一種橢圓雙β漆膜厚度分布模型。MAYUR V［9］等基于二次拋物線模型提出了一種用于在自由曲面上自動(dòng)生成軌跡的新型離線機(jī)器人編程方法。曾勇［10-12］等根據(jù)圓錐面的幾何特點(diǎn)，給出了圓錐面上的噴槍軌跡生成方法，優(yōu)化了圓錐曲面噴涂時(shí)的涂料平整度。高峰［13］等采用包容盒算法，實(shí)現(xiàn)了噴涂軌跡的自動(dòng)生成。但上述已有研究中，對(duì)噴涂機(jī)器人噴射軌跡的研究并不徹底，大部分只是針對(duì)一條軌跡上的涂料堆積情況進(jìn)行分析。同時(shí)，針對(duì)復(fù)雜曲面上噴射軌跡研究的方法比較復(fù)雜。

為此，本文在平面噴涂模型研究的基礎(chǔ)上，提出了一種最小二乘自然二次曲面擬合法［14］對(duì)復(fù)雜曲面進(jìn)行擬合，并采用多段分割曲線逼近目標(biāo)函數(shù)的方法分析了相鄰兩條軌跡間的涂料堆積情況，簡化了噴涂機(jī)器人復(fù)雜曲面噴射軌跡的優(yōu)化問題，研究所得結(jié)果具有廣泛的實(shí)用價(jià)值。

1 平面靜態(tài)噴涂模型

為了更好的研究噴涂機(jī)器人的軌跡規(guī)劃問題，將噴槍在平面靜態(tài)噴涂過程中的作業(yè)原理簡化為圖1所示的模型。

圖1 噴槍平面靜態(tài)噴涂Fig.1 Plane static spraying of spray gun

如果將初始條件設(shè)為噴槍噴涂高度一定且噴槍軸線垂直于平面，它符合文獻(xiàn)［15］提出的橢圓雙β分布模型。模型如下：

其中：Z（x，y）為噴涂區(qū)域中任一點(diǎn)的涂層厚度累計(jì)速率函數(shù)；x，y為坐標(biāo)變量；Zmax為噴槍中心投影點(diǎn)涂層厚度；a，b為橢圓形噴涂區(qū)域的長短軸；β1為x方向截面中β分布指數(shù)；β2為y方向截面中β分布指數(shù)。

為了計(jì)算方便，模型中相關(guān)參數(shù)值選用了2017年亞太地區(qū)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽（Asia and Pacific Mathematical Contest in Modeling，APMCM）中給出的a、b、Zmax、β1和β2的計(jì)算方法：

式（2）中：P1為噴槍的霧化壓力，P2為隔膜泵壓力，h為噴涂高度。

上述模型是噴槍單點(diǎn)噴涂的模型。實(shí)際上，噴槍需要沿著規(guī)劃路徑移動(dòng)，以便待噴涂的工件表面均勻地覆蓋涂料，如圖2所示。

圖2 噴涂軌跡Fig.2 Spraying track

上述模型是噴槍單點(diǎn)平面噴涂的模型。實(shí)際上，當(dāng)噴槍需要沿著圖2所示規(guī)劃路徑移動(dòng)時(shí)，可知噴涂區(qū)域的涂料厚度在單點(diǎn)噴涂時(shí)中間部分較厚，兩側(cè)較薄。兩條軌跡的厚度分布關(guān)系如圖3所示。

在實(shí)際噴涂過程中，噴槍以速度v經(jīng)過時(shí)間t后涂層移動(dòng)到圖4虛線所在位置，x表示噴涂范圍內(nèi)某點(diǎn)S到噴涂路徑的距離。

則靜態(tài)噴涂時(shí)S點(diǎn)的厚度為：

理論上，動(dòng)態(tài)噴涂模型是靜態(tài)噴涂模型對(duì)時(shí)間的積分，則運(yùn)動(dòng)時(shí)S點(diǎn)處的厚度累積為：

式（4）中：T為該點(diǎn)接受噴涂的總時(shí)間。

聯(lián)立式（3）和式（4）可以得到：

對(duì)于一個(gè)實(shí)際噴槍，P1和P2可取0.2 MPa，h取 225 mm，求解矩陣可得a、b、Zmax、β1和β2分別為109.8 mm、47.1 mm、212.8 μm、2.365 5和4.899 9。那么有：

圖3 涂層重疊區(qū)域Fig.3 Coating overlap area

圖4 動(dòng)態(tài)噴涂示意圖Fig.4 dynamic spraying diagram

圖5所示為平面相鄰軌跡噴涂的過程，點(diǎn)O為噴槍中心的投影點(diǎn)。為確定噴槍軌跡的合適相鄰間距，使用靜態(tài)噴涂模型進(jìn)行求解，結(jié)果同樣適用與噴槍的勻速運(yùn)動(dòng)。勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，軌跡涂層厚度在y方向可視為一致，因此式（6）中可以忽略y和T。

令y=0，T=1則，式（6）可以簡化為：

要實(shí)現(xiàn)均勻噴涂，應(yīng)該盡量保證點(diǎn)S處的厚度與點(diǎn)O處的厚度基本一致。

圖5 平面噴涂示意圖Fig.5 Plane spraying diagram

在MATLAB中繪制出Z（x，y）的函數(shù)如圖6所示。可以看出涂料在平面上的堆積情況。

圖6 靜態(tài)噴涂厚度分布Fig.6 Distribution of static spraying thickness

其在y=0上的映射如圖7所示。

圖7 靜態(tài)噴涂厚度在y=0平面上的投影Fig.7 Static spraying thickness on the y=0 plane

設(shè)圖3中疊加處某一點(diǎn)的水平坐標(biāo)為x0，則疊加厚度由公式（7）推導(dǎo)如下：

在MATLAB中得到涂層疊加厚度Z與間距d和x0的關(guān)系如圖8所示。

圖8 x0與d對(duì)疊加厚度的影響關(guān)系Fig.8 Effect of x0and d on superposition thickness

疊加厚度Z=Zmax時(shí)才能最大均勻化厚度，那么有：

可求得x0=69.3 mm，根據(jù)式（8）相鄰軌跡厚度需相等，則下式成立：

可解得相鄰軌跡重疊距離d=81.1 mm。

當(dāng)噴槍保持以上相鄰軌跡重疊距離工作時(shí)可保證平面噴涂均勻。

2 曲面動(dòng)態(tài)噴涂模型

曲面z=-y2+y-xy（-10≤x≤10，-10≤y≤10）如圖9所示。

圖9 函數(shù)z=-y2+y-xyFig.9 Function z=-y2+y-xy

由圖9可知，噴槍噴出的涂料由平面變到曲面上，而噴到平面上的橢圓也應(yīng)該轉(zhuǎn)化為曲面上的橢圓，建立轉(zhuǎn)換關(guān)系如圖10所示。

圖10中，點(diǎn)f為噴涂圓錐中軸線與待噴涂曲面的交點(diǎn)，點(diǎn)b為噴槍中心點(diǎn)p在曲面上的垂直投影點(diǎn)，β為pb與pf的夾角，h為點(diǎn)p到圖中水平面ae的垂直距離，h1為線段pb的長度，h與h1的長度近似相等。點(diǎn)e為噴涂圓錐中軸線和平面ae的交點(diǎn)。過點(diǎn)e且垂直于噴涂圓錐中軸線的截面圓為c1，半徑為r。ce為平面ae與噴涂圓錐面截得的橢圓，ce的短軸和圓c1的直徑近似相等，橢圓ce的長軸為線段mn。假設(shè)噴涂作業(yè)中平面和曲面的噴涂量一致，則圓c1的面積Sc1與橢圓ce的面積Sce比值為：

圖10 （a）橢圓投影面轉(zhuǎn)換關(guān)系，（b）圖（a）中過線段mn的垂直截面Fig.10 （a）Conversion relationship between Ellipse and projection surface，（b）The vertical coross-section view through line of mn in diagram（a）

涂料在c1上的厚度q1與ce上的厚度qe的關(guān)系為：

圓形面c1與圓形面c2平行且在同一個(gè)圓錐形涂料張角下，根據(jù)幾何關(guān)系可知這兩圓形面的面積關(guān)系如下：

則涂料在c2上的厚度q2與c1上的厚度q1的關(guān)系為：

橢圓面cf為f點(diǎn)與曲面z=-y2+y-xy的切面，故與c2的圓錐形涂料張角一致，cf和c2的夾角為α，則cf上的涂層厚度qf與q2關(guān)系為：

假 設(shè) 噴 槍 在 曲 面z=-y2+y-xy（-10≤x≤10，-10≤y≤10）上的噴涂路徑如圖11所示。

圖11 曲面噴涂路徑Fig.11 Surface spraying path

則噴槍對(duì)曲面的噴涂，可以轉(zhuǎn)化成噴槍對(duì)著曲線路徑的噴涂。將x看作是定值，則曲面z=-y2+y-xy（-10≤x≤ 10，-10≤y≤10）可以看作為拋物線，進(jìn)而可求得曲面上任意一點(diǎn)y0切線的斜率k=z′=-2y0+1-x。進(jìn)行曲面噴涂時(shí)的平面投影如圖12所示。

圖12 平面投影示意圖Fig.12 Flat projection diagram

圖12中的曲線進(jìn)行圓弧擬合的圓的方程為：

其圓心坐標(biāo)為（A，B），圓弧半徑為：

令z=x2+y2，則可將方程轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)形式，進(jìn)而可得曲線上點(diǎn)G對(duì)圓弧的誤差為：

圖13為圓弧擬合示意圖。h為噴槍到逼近圓弧的距離，hg為噴槍到原始曲線的距離，αg為點(diǎn)（xg，yg）在原始曲線法線與逼近圓弧法線的夾角。

由于噴涂高度的變化導(dǎo)致涂層厚度發(fā)生改變，需要分析噴槍距離h和法向偏角αg對(duì)噴涂厚度的共同影響。

圖13 擬合示意圖Fig.13 Fitting diagram

在噴涂誤差范圍內(nèi)，如果要保證圓弧能夠逼近目標(biāo)曲面，需滿足圓弧到原始曲線上各點(diǎn)的平方和最小，即

式（19）中：qd為軌跡優(yōu)化后原始曲面上涂層厚度的平均值；qmin為軌跡優(yōu)化后原始曲面上涂層厚度的最小值；qmax為軌跡優(yōu)化后原始曲面上涂層厚度的最大值。令

采用修正Gauss-Newton法［16］可求得參數(shù)A、B、C的取值，從而將原始曲線的一端擬合成為圓弧。進(jìn)而可將原始曲線轉(zhuǎn)化為無數(shù)段小圓弧組成。其所對(duì)應(yīng)的關(guān)系如圖14所示。

圖14 圓弧擬合關(guān)系示意圖Fig.14 Arc fitting relationship diagram

圖14中b為球面上噴涂投影點(diǎn)。設(shè)線段pa=h，pf=l，po=l1則線段pb=lcosβ，球的半徑為ρ，由余弦定理求得：

所以其靜態(tài)時(shí)間累積噴涂模型為：

選取曲面的一條路徑j(luò)，將其分成n段曲線，并將其中的一端曲線選擇出來進(jìn)行研究。如圖15所示為一路徑劃分示意圖，假設(shè)在每一段的路徑上，噴槍的移動(dòng)速度是相等的。設(shè)在第k段的長度為dk，速度為vk，在其上的噴涂時(shí)間為tk。然后將第k段進(jìn)行二次分割，分割成m段曲線，在每小段上的噴涂時(shí)間也都相等，設(shè)為tk′。

那么對(duì)式（22）中的qf求時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)可得：

圖15 路徑劃分示意圖Fig.15 Path division diagram

假設(shè)每段曲線中的每一個(gè)小段上的αi與βi的變化都極小，則第k段路徑上的涂層厚度為：

相鄰路徑j(luò)+1上的涂層厚度為：

則曲面上任意一點(diǎn)（xi，yi）處的涂層厚度可以表示為：

則噴槍軌跡優(yōu)化問題可表示為：

從而可以通過以公差最小與噴涂面厚度差小于10%為優(yōu)化條件，獲得路徑j(luò)、j+1之間的最佳重疊距離dj。

3 結(jié)果與討論

如圖16所示，設(shè)初始噴涂軌跡為曲面z=-y2+y-xy與平面x=1相交的曲線，即曲線z=-y2。并令噴涂起始點(diǎn)為曲線z=-y2上的一點(diǎn)p0（1，0，0）。使用第一章中平面噴涂模型的參數(shù)，并代入相關(guān)數(shù)值，通過MATLAB計(jì)算出初始軌跡和相鄰軌跡在x方向上的涂層重疊距離d。實(shí)驗(yàn)中選取了5個(gè)離散點(diǎn)，計(jì)算結(jié)果如表 1所示。圖16中，p0、m0、r0分別表示離散點(diǎn)1在初始軌跡、重疊間距中間點(diǎn)、相鄰軌跡上的位置。表1中q（p，m，r）表示三個(gè)點(diǎn)p（x，y，z）、m（x，y，z）、r（x，y，z）處的涂層厚度。

圖16 實(shí)驗(yàn)示意圖Fig.16 Experimental diagram

表1 計(jì)算結(jié)果Tab.1 Calculation results

由表1數(shù)據(jù)可知，各離散點(diǎn)對(duì)應(yīng)的涂層厚度分布符合厚度差小于10%的優(yōu)化條件。

4 結(jié) 語

1）基于平面靜態(tài)噴涂的橢圓雙β分布模型，研究了平面噴涂時(shí)兩軌跡之間的涂料堆積情況，得出相鄰軌跡之間的涂料最佳重疊距離d，并在MATLAB中進(jìn)行了驗(yàn)證。

2）根據(jù)對(duì)平面噴涂與曲面噴涂之間的映射關(guān)系的研究，使用了一種復(fù)雜曲面的最小二乘自然二次曲面擬合法，簡化了復(fù)雜曲面噴涂軌跡規(guī)劃的研究。

3）通過多段分割曲線逼近目標(biāo)函數(shù)的方法，提出了一種相鄰路徑之間涂料的最佳重疊距離的計(jì)算思路，并在MATLAB中進(jìn)行了驗(yàn)證。該方法為噴涂機(jī)器人在復(fù)雜曲面上的軌跡規(guī)劃問題提供了新的參考。

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