潘 琪，王福林，吳志輝，方 堃

(東北農(nóng)業(yè)大學(xué) 工程學(xué)院,哈爾濱 150030)

0 引言

農(nóng)機(jī)總動(dòng)力是評(píng)價(jià)農(nóng)業(yè)機(jī)械化水平的重要指標(biāo)，也是政府部門指定農(nóng)業(yè)機(jī)械化發(fā)展規(guī)劃的重要依據(jù)，對(duì)農(nóng)機(jī)總動(dòng)力的預(yù)測(cè)具有重要意義。目前，關(guān)于農(nóng)機(jī)總動(dòng)力的預(yù)測(cè)有多種方法，以人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的效果較好，但大多數(shù)研究都是和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有關(guān)的[1-3]。徑向基函數(shù)(Radial Basis Function，RBF)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[4-5]是一種三層前饋型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，能夠以任意精度逼近任意的非線性函數(shù)。其網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，隱含層與輸出層之間為線性關(guān)系，優(yōu)化方式簡(jiǎn)單，采用局部逼近的方法，收斂速度快，有效地解決了BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)復(fù)雜、計(jì)算量大、收斂速度較慢及容易陷入局部最小值點(diǎn)的問(wèn)題。在RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中一種做法是采用k-means聚類法來(lái)確定基函數(shù)中心[4]，但這種方式對(duì)初始點(diǎn)的選取敏感，網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)不夠穩(wěn)定，且隱含層神經(jīng)元個(gè)數(shù)需要提前給出。為此，本文提出了一種采用系統(tǒng)聚類來(lái)確定基函數(shù)中心的方法，可以有效改善網(wǎng)絡(luò)對(duì)初始點(diǎn)敏感的問(wèn)題。

1 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)基本原理

RBF神經(jīng)的結(jié)構(gòu)一般如圖1所示。第1層為輸入層，將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與外界連接起來(lái)；中間層為隱含層，將輸入層傳過(guò)來(lái)的信號(hào)進(jìn)行非線性轉(zhuǎn)換；第3層為輸出層，是對(duì)輸入信號(hào)的響應(yīng)。

圖1 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖

該網(wǎng)絡(luò)有n個(gè)輸入神經(jīng)元，h個(gè)隱含神經(jīng)元，m個(gè)輸出神經(jīng)元。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的第i個(gè)輸入向量為Xi=[x1,x2,…,xn]；基函數(shù)中心為[C1,C2,…,Cj,…,Ch]T，并且有Cj=[c1,c2,…,cn]，即每一個(gè)基函數(shù)中心的維度要與輸入向量的維度相同；b=[b1,b2,…,bm]T為閾值。輸入層和隱含層之間進(jìn)行一次非線性映射，映射結(jié)果為φ(‖Xi-Cj‖)，則第i個(gè)輸入的輸出為

(1)

令w0=-1，φ0=b，則有

(2)

假設(shè)有P個(gè)輸入向量，則對(duì)應(yīng)的有

(3)

令φij=φ(‖Xi-Cj‖)，i=1,2,…,p；j=i=1,2,…,h，那么可將上述方程組改寫(xiě)為

(4)

進(jìn)一步可以表示為

ΦW=D

(5)

其中，Φ為映射矩陣；W為系數(shù)矩陣；D為輸出矩陣。

RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的思想是：在低維空間非線性相關(guān)關(guān)系通過(guò)基函數(shù)投影到高維空間后可能成為線性相關(guān)，這樣就可以用線性方法解決非線性線性問(wèn)題。在這個(gè)過(guò)程中，離基函數(shù)中心越近，對(duì)響應(yīng)的影響就越大。在RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，基函數(shù)的寬度決定影響因素的作用范圍，基函數(shù)的數(shù)量等于隱層節(jié)點(diǎn)的數(shù)量，隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)量越多，網(wǎng)絡(luò)逼近能力越強(qiáng)，結(jié)構(gòu)越復(fù)雜，計(jì)算量越大，泛化能力越差。因此，確定基函數(shù)中心的數(shù)量、位置及寬度是RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)主要解決的問(wèn)題。

基函數(shù)中心的選取常用的有兩種方法[6]：一種是通過(guò)非監(jiān)督學(xué)習(xí)法確定基函數(shù)中心的位置和寬度，再通過(guò)監(jiān)督學(xué)習(xí)法確定網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值；另一種是將網(wǎng)絡(luò)的基函數(shù)中心和權(quán)值等所有參數(shù)都通過(guò)有監(jiān)督學(xué)習(xí)法來(lái)確定。在第一種方法中，除了隨機(jī)選取基函數(shù)中心直接計(jì)算外，較常用且效果比較好的做法是先將訓(xùn)練樣本通過(guò)k-means聚類算法進(jìn)行分類，選取聚類中心作為基函數(shù)的中心。這種方法能夠有效地提高網(wǎng)絡(luò)性能，但對(duì)初始值敏感，當(dāng)選取不同的初始值時(shí)聚類結(jié)果可能不同，網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)不夠穩(wěn)定。為了解決這一問(wèn)題，本文提出將系統(tǒng)聚類[7]應(yīng)用到基函數(shù)中心的選取中，可以解決k-means聚類算法對(duì)初始值敏感的問(wèn)題，提高網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性。

2 基于系統(tǒng)聚類的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)算法

從RBF的原理可以看出：離基函數(shù)中心越近對(duì)響應(yīng)的影響越大，離基函數(shù)中心越遠(yuǎn)對(duì)響應(yīng)的影響越小。聚類的目的就是想根據(jù)輸入的不同特性將其分成不同的類別，每個(gè)類別選取一個(gè)基函數(shù)，這樣可以有效地簡(jiǎn)化網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，提高網(wǎng)絡(luò)的泛化能力。聚類的原則是類內(nèi)的距離盡可能小，類間的距離盡可能大，而系統(tǒng)聚類非常符合這一原則。

系統(tǒng)聚類是先將n個(gè)樣本分別看成一類共分成n類，計(jì)算各樣本之間的距離，把距離最近的兩個(gè)合并成一類變成n-1類；然后，再次計(jì)算各類之間的距離，再將距離最近的兩類合并成一類變成n-2類，重復(fù)上述過(guò)程，直到將所有的聚類單元分為一類。

對(duì)于一些樣本特性未知的問(wèn)題，需確定基函數(shù)中心的數(shù)量。定義一個(gè)常量ε(0<ε<1)，稱之為類間距占比，假設(shè)聚類過(guò)程中第k次合并的最小的類間距為d(k)，第k+1次合并的最小的類間距為d(k+1)，如果有d(k)<εd(k+1)，就說(shuō)兩個(gè)類之間的相似度低，則停止聚類，n個(gè)樣本分為n-k類。樣本間距和類間距的計(jì)算有很多種方法[8]，應(yīng)根據(jù)樣本的不同特點(diǎn)和需要達(dá)到的效果選擇具體的方法。

構(gòu)建一個(gè)RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，輸入樣本為X1,X2,…,Xn，對(duì)應(yīng)的樣本輸出分別為Y1,Y2,…,Yn，網(wǎng)絡(luò)隱層節(jié)點(diǎn)的激活函數(shù)φ(x)選取高斯函數(shù)。首先根據(jù)系統(tǒng)聚類的方法確定RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的基函數(shù)中心Ci和寬度σi，然后用梯度下降法確定隱含層與輸出層之間的權(quán)值w，具體操作過(guò)程如下：

1)將每個(gè)樣本看作一類，計(jì)算各樣本之間的距離。

2)從得到的距離矩陣中選出最小的類間距dij并記為d(k)，將Xi和Xj合并為一類。

3)計(jì)算新類之間的類間距，得到新的距離矩陣。

4)從新的距離矩陣選出最小的類間距dpq并記為d(k+1)；如果d(k)<εd(k+1),0<ε<1，則停止分類，到第5)步；否則將Xp和Xq合并為一類，并令d(k)=d(k+1)，轉(zhuǎn)到第3)步。

6)根據(jù)各聚類中心之間的距離計(jì)算各基函數(shù)的寬度σi=κdi。其中，κ為重疊系數(shù)，控制基函數(shù)的平滑程度，寬度越大，函數(shù)越平滑；di為其它聚類中心與第i個(gè)聚類中心的最小距離，即di=min(‖Ci-Cj‖),i≠j。

7)訓(xùn)練網(wǎng)絡(luò)。根據(jù)梯度下降法[9]計(jì)算得到輸出權(quán)值w=[w1,w2,…,wh]T，具體方法如下：

設(shè)有N個(gè)訓(xùn)練樣本，第i個(gè)訓(xùn)練樣本Xi的期望輸出為di，網(wǎng)絡(luò)輸出為f(Xi)，網(wǎng)絡(luò)的輸出誤差為ei，即

(6)

定義網(wǎng)絡(luò)的總誤差為目標(biāo)函數(shù)，即

(7)

誤差對(duì)權(quán)值的偏導(dǎo)為

(8)

(9)

其中，η為學(xué)習(xí)率。重復(fù)訓(xùn)練，直到誤差小于設(shè)定的范圍或達(dá)到訓(xùn)練次數(shù)，得到網(wǎng)絡(luò)權(quán)值。

3 農(nóng)機(jī)總動(dòng)力預(yù)測(cè)實(shí)驗(yàn)

根據(jù)黑龍江省統(tǒng)計(jì)年鑒，對(duì)黑龍江省農(nóng)機(jī)總動(dòng)力進(jìn)行預(yù)測(cè)，黑龍江省1980-2014年農(nóng)機(jī)總動(dòng)力數(shù)據(jù)如表1所示。對(duì)數(shù)據(jù)按式(10)進(jìn)行數(shù)據(jù)歸一化，把數(shù)據(jù)歸一化到區(qū)間上，即

(10)

其中，xmin為數(shù)據(jù)中的最小值；xmax為數(shù)據(jù)中的最大值。

以連續(xù)6年數(shù)據(jù)作為一個(gè)輸入，下一年數(shù)據(jù)作為輸出，構(gòu)建時(shí)間序列數(shù)，總共構(gòu)成29組數(shù)據(jù)，作為樣本。選取輸出為1986-2010年的25組數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練樣本，以輸出為2011-2014年的4組數(shù)據(jù)作為測(cè)試樣本。運(yùn)用改進(jìn)的學(xué)習(xí)算法構(gòu)建神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)并進(jìn)行訓(xùn)練，利用訓(xùn)練的結(jié)果對(duì)2011-2014年的農(nóng)機(jī)總動(dòng)力進(jìn)行預(yù)測(cè)，并與測(cè)試樣本進(jìn)行對(duì)照，比較網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測(cè)效果。實(shí)驗(yàn)環(huán)境如下：Windows7操作系統(tǒng)，CUP主頻2.20GHz，安裝內(nèi)存6.00GB，仿真軟件MatLab 7.11.0。網(wǎng)絡(luò)參數(shù)設(shè)置如下：輸入神經(jīng)元個(gè)數(shù)為6，輸出神經(jīng)元個(gè)數(shù)為1，初始權(quán)值W0=[1,1,…,1]T，初始閾值b0=1，網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)精度0.000 1，重疊系數(shù)κ=1，梯度下降法學(xué)習(xí)率η=0.2，距離占比ε=0.7。系統(tǒng)聚類中應(yīng)用歐氏距離(euclidean)計(jì)算樣本間距離，應(yīng)用最小距離法(single)計(jì)算類間距，網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練10次，取平均值；最后，根據(jù)已有數(shù)據(jù)對(duì)2015-2018年的農(nóng)機(jī)總動(dòng)力進(jìn)行預(yù)測(cè)，仿真結(jié)果如表2所示。

在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，改進(jìn)算法每次的訓(xùn)練結(jié)果都是相同的，網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)十分穩(wěn)定，而原始的算法每次訓(xùn)練結(jié)果都有一定差異，說(shuō)明改進(jìn)算法在提高網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性上有明顯的效果，解決了k-means均值聚類算法對(duì)初始點(diǎn)選取敏感的問(wèn)題。在網(wǎng)絡(luò)擬合精度方面，改進(jìn)方法訓(xùn)練樣本的平均相對(duì)誤差為0.702 5%，而原始方法訓(xùn)練樣本的平均相對(duì)誤差為2.198 3%，改進(jìn)方法的預(yù)測(cè)精度有明顯提高。在網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)方面，改進(jìn)算法能夠自組織的完成節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)的確定，效果比較理想。運(yùn)用改進(jìn)算法獲得的預(yù)測(cè)值與觀測(cè)值對(duì)比結(jié)果如圖2所示。

表1 黑龍江省1980-2014年農(nóng)機(jī)總動(dòng)力

表2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

4 結(jié)論

1) 針對(duì)RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)根據(jù)k-means聚類算法確定基函數(shù)中心時(shí)存在對(duì)初始點(diǎn)選取敏感的問(wèn)題，提出了一種用系統(tǒng)聚類確定基函數(shù)中心的方法，這種方法不用選取初始聚類中心，有效地解決了網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性問(wèn)題。

2) 針對(duì)在選擇進(jìn)函數(shù)中心時(shí)，針對(duì)基函數(shù)中心的個(gè)數(shù)難以確定的問(wèn)題，提出了一種利用類間距的變化程度作為聚類終止條件的方法，使得網(wǎng)絡(luò)在運(yùn)用聚類方法確定基函數(shù)中心時(shí)不用預(yù)先給定基函數(shù)的中心和數(shù)量，網(wǎng)絡(luò)按照一定的指標(biāo)自動(dòng)確定基函數(shù)中心的個(gè)數(shù)。

3) 通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了提出的改進(jìn)算法在提高網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性、改善網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)等方面的有效性，同時(shí)能夠有效減少網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練誤差。

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