基于差商法的旋轉(zhuǎn)彈丸磁測滾轉(zhuǎn)角解算方法研究

謝 洋，于紀(jì)言

(南京理工大學(xué) 智能彈藥技術(shù)國防重點學(xué)科實驗室， 南京 210094)

地磁場是地球的天然磁場，可利用捷聯(lián)在彈體內(nèi)的地磁傳感器對其進行姿態(tài)解算。高旋彈丸的滾轉(zhuǎn)角測量環(huán)境為：高發(fā)射過載、高轉(zhuǎn)速、小體積。目前，常用的陀螺傳感器無法應(yīng)用于該惡劣的測量環(huán)境中。相反，地磁傳感器具有高靈敏度、小體積、抗高發(fā)射過載和解算誤差不隨時間累積等優(yōu)點。因此，地磁傳感器能夠完美應(yīng)用于高旋彈丸的滾轉(zhuǎn)角解算[1-3]。

彈體滾轉(zhuǎn)角是炮彈導(dǎo)航信息中的重要信息之一，高旋彈丸滾轉(zhuǎn)角解算精度依賴于磁測量數(shù)據(jù)精度和滾轉(zhuǎn)角解算方法。在磁測數(shù)據(jù)處理方面，Changey S.等[4]采用擴展卡爾曼濾波方法對磁測量數(shù)據(jù)處理，該方法預(yù)測精度高達毫弧度。Huang Yu等[5]提出了雙通道追蹤微分濾波器方法(TD)，該方法能夠有效抑制隨機噪聲干擾。Jiangliang Zhu等[6]使用積分比率法解算彈體姿態(tài)角，與極值比值法相比，姿態(tài)角的解算誤差降低90%左右。彈體姿態(tài)角解算方法包括零交叉法、三軸正交法和極值比值法。Thomas Harkins等[7-8]采用雙軸非正交地磁傳感器解算得到彈體滾轉(zhuǎn)角。Xiang Chao等[9]將三種彈體姿態(tài)角解算方法進行了對比分析，仿真結(jié)果表明三種方法具有相同的解算精度，但是有不同的更新頻率。

雖然濾波算法對磁測量數(shù)據(jù)處理后，能保證一定的解算精度，但是濾波算法復(fù)雜、計算時間長、需要處理的地磁數(shù)據(jù)量大。然而炮彈空間有限，彈載計算能力不足，使用濾波算法無法滿足彈上實時處理磁測量數(shù)據(jù)的要求。Xiang Chao等人解算彈體姿態(tài)角的方法，雖然能應(yīng)用于工程實踐，但是只有在特殊點位置才能解算出彈體滾轉(zhuǎn)角，無法在任意時刻解算彈體滾轉(zhuǎn)角。

基于以上問題，本文提出了差商法解算彈體滾轉(zhuǎn)角，該方法不僅原理簡單、計算量小、不需要提前校正地磁傳感器、在一個滾轉(zhuǎn)周期的任意位置都能進行解算，而且該方法對傳感器刻度因子誤差和固定偏差具有很強的魯棒性，僅需要單軸的硬件濾波信號就能解算彈體滾轉(zhuǎn)角。

1 傳統(tǒng)二維平面滾轉(zhuǎn)角解算方法

1.1 彈體坐標(biāo)變換

采用地磁測量彈丸滾轉(zhuǎn)角時，捷聯(lián)于彈體內(nèi)部的地磁傳感器敏感方向與彈體坐標(biāo)軸方向一致，并利用測量所得的地磁信息進行彈體姿態(tài)解算。坐標(biāo)軸定義如圖1所示。

圖1中坐標(biāo)系osxyz為彈體坐標(biāo)系，坐標(biāo)系ox1y1z1為發(fā)射坐標(biāo)系，坐標(biāo)系osx2y2z2為彈軸坐標(biāo)系，θ、φ、γ分別為彈體俯仰角、偏航角和滾轉(zhuǎn)角。

發(fā)射坐標(biāo)系和彈軸坐標(biāo)系間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為

(1)

(2)

彈軸坐標(biāo)系和彈體坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系為

(3)

1.2 傳統(tǒng)滾轉(zhuǎn)角解算模型

在彈體的滾轉(zhuǎn)平面內(nèi)，地磁矢量在彈徑平面的分矢量為Bc，其分矢量在彈軸坐標(biāo)系中的量測值為By2和Bz2，在彈體坐標(biāo)系中的量測值為by和bz，如圖2所示。則彈體滾轉(zhuǎn)角的計算公式為：

(4)

式中by和bz為地磁傳感器敏感軸的測量量，By2和Bz2由公式和計算得到。

2 差商法解算彈體滾轉(zhuǎn)角

2.1 地磁傳感器y軸輸出模型

在圖2中，γB為地磁場分矢量Bc與y2軸方向的夾角，在旋轉(zhuǎn)彈丸飛行過程中，γB隨著彈體俯仰角和偏航角的變化而變化。與旋轉(zhuǎn)彈丸的滾轉(zhuǎn)速率相比，俯仰角速率和偏航角速率相對較小。因此，假設(shè)在彈丸的一個滾轉(zhuǎn)周期內(nèi)，彈丸的俯仰角和偏航角保持不變，同時γB也保持不變。根據(jù)GPS測量數(shù)據(jù)或者先驗彈道數(shù)據(jù)，獲取彈體俯仰角和偏航角，根據(jù)公式得到γB的表達式

γB=arctan(P)

(5)

其中，

(6)

彈丸滾轉(zhuǎn)一周，地磁傳感器y軸方向的地磁分量大小的表達式為

by=Bccos(γ-γB)

(7)

在彈載磁測量環(huán)境下，磁場測量誤差包括磁場敏感方向刻度因子誤差、傳感器的固定偏差和測量噪聲帶來的隨機偏差[10]。當(dāng)只考慮前兩種測量誤差時，將公式改寫為

by=kyBccos(γ-γB)+bs

(8)

式(8)中，ky表示地磁傳感器y軸方向的刻度因子誤差，bs表示地磁傳感器的固定偏差。

2.2 滾轉(zhuǎn)角解算模型

在彈丸滾轉(zhuǎn)過程中，地磁傳感器y軸測量輸出量如圖 3所示，在第i個滾轉(zhuǎn)周期的t1時刻，假設(shè)彈體滾轉(zhuǎn)角為γ。在t1時刻之前取兩點，分別記為t2時刻和t3時刻。其中，t2時刻與t1時刻滾轉(zhuǎn)角相差Δγ1，t3時刻與t1時刻滾轉(zhuǎn)角相差Δγ2。在t1、t2、t3時刻，地磁傳感器y軸測量輸出量分別記為by1、by2、by3，其表達式為

(9)

為了消除磁場敏感方向刻度因子誤差和傳感器固定偏差對滾轉(zhuǎn)角解算帶來的影響，將t1時刻的測量值分別減去t2和t3時刻的測量值，然后將兩個差值作商。得到下列公式

(10)

γ=arctan(Q)+γB

(11)

其中：

(12)

由式(11)和式(12)可知，t1時刻的滾轉(zhuǎn)角γ只與M、γB、Δγ1、Δγ2相關(guān)，與磁場敏感方向刻度因子和傳感器固定偏差無關(guān)。一個M值對應(yīng)兩個數(shù)學(xué)解，然而滾轉(zhuǎn)角卻為唯一解。因此，使用以下方法判定滾轉(zhuǎn)角的解：

當(dāng)by1>0且Q>0時，γ-γB=arctan(Q)；

當(dāng)by1>0且Q<0時，γ-γB=arctan(Q)；

當(dāng)by1<0且Q>0時，γ-γB=arctan(Q)-π；

當(dāng)by1<0且Q<0時，γ-γB=arctan(Q)+π；

在滾轉(zhuǎn)角的求解過程中，量測值by受到一定的干擾，在by過零點附近，測量值與實際值會出現(xiàn)異號的情況，如果使用上述方法判定彈體滾轉(zhuǎn)角的值，解算結(jié)果與真實值可能存在π的誤差。為了避免這種情況的產(chǎn)生，首先將第i個滾轉(zhuǎn)角的值與第i-1個滾轉(zhuǎn)角的值相減，得到滾轉(zhuǎn)角的差值α=|γi-γi-1|。如果其差值α∈(2π/3,4π/3)，則判定第i個滾轉(zhuǎn)角值為異常點。然后通過下面方法補償?shù)玫綇楏w滾轉(zhuǎn)角：

如果by1>0且Q>0時，則γ-γB=arctan(Q)-π；

如果by1>0且Q<0時，則γ-γB=arctan(Q)+π；

如果by1<0且Q>0時，則γ-γB=arctan(Q)+π；

如果by1<0且Q<0時，則γ-γB=arctan(Q)-π；

2.3 滾轉(zhuǎn)角間隔Δγ分析

(13)

(14)

3 仿真分析

3.1 最佳滾轉(zhuǎn)角間隔Δγ分析

在使用公式解算彈體滾轉(zhuǎn)角γ之前，需要提前選取滾轉(zhuǎn)角間隔Δγ。為了得到最佳的解算結(jié)果，要選取最佳滾轉(zhuǎn)角間隔Δγ。當(dāng)俯仰角和偏航角一定，在一個滾轉(zhuǎn)周期(γ∈[0,2π))內(nèi)，使計算式Δb=by1-by2取得最大值的滾轉(zhuǎn)角間隔Δγ稱為最佳的滾轉(zhuǎn)角間隔。

仿真試驗中，以南京某地(E118.78°,N32.05°)為中心，以北偏東45°為發(fā)射方向，發(fā)射系磁場三分量H=[28 323; 24 043; 24 523]，取俯仰角為45°、偏航角為-5°。在一個滾轉(zhuǎn)周期(γ∈[0,2π))內(nèi)，仿真計算最佳滾轉(zhuǎn)角間隔Δγ，仿真結(jié)果如圖 4所示。從圖4可以看出：1) 在一個滾轉(zhuǎn)周期內(nèi)，Δb在γB和γB+π處取得最大值，在γB±π/2處取得最小值。2) Δb取得最大值時，滾轉(zhuǎn)角間隔Δγ的值為π；Δb取得最小值時，滾轉(zhuǎn)角間隔Δγ的值為π/2或3π/2。3) 當(dāng)滾轉(zhuǎn)角γ∈(γB-π/2,γB+π/2)和(γB+π/2,γB+3π/2)時，使得Δb取最大值的滾轉(zhuǎn)角間隔Δγ從3π/2降至π/2。

綜上所述，在γ=γB±π/2處，為了使Δb能夠取得最大值，分別取最佳滾轉(zhuǎn)角間隔Δγ1=π/2、Δγ2=3π/2作為公式中的兩個滾轉(zhuǎn)角間隔。

3.2 磁場敏感方向刻度因子產(chǎn)生的解算誤差分析

在磁場敏感方向刻度因子產(chǎn)生的解算誤差仿真實驗中，發(fā)射系磁場三分量、俯仰角和偏航角均與3.1節(jié)相同。傳感器y軸方向的刻度因子分別取0.95、0.85、0.75、0.65，傳感器z軸方向的刻度因子取1。分別使用差商法解算滾轉(zhuǎn)角和傳統(tǒng)二維滾轉(zhuǎn)角解算方法解算彈體滾轉(zhuǎn)角γ，將解算結(jié)果與彈體滾轉(zhuǎn)角的真實結(jié)果γt相減，得到任意時刻因刻度因子產(chǎn)生的滾轉(zhuǎn)角解算誤差εk，其表達式為

εk=γ-γt

(15)

圖5和圖6分別為采用差商法和傳統(tǒng)方法，使用含傳感器刻度因子誤差的地磁測量數(shù)據(jù)，解算彈體滾轉(zhuǎn)角的解算誤差。表 1列出了因傳感器刻度因子引起的最大滾轉(zhuǎn)角解算誤差。結(jié)合圖5、圖6和表1可以看出：1) 隨著傳感器刻度因子變小，傳統(tǒng)方法解算彈體滾轉(zhuǎn)角的解算精度變差，差商法解算精度不變。2) 傳統(tǒng)方法解算彈體滾轉(zhuǎn)角精度在1°以上，差商法解算彈體滾轉(zhuǎn)角的解算誤差為5.684 3e-14°，此解算誤差可為計算機的計算截斷誤差。

ky傳統(tǒng)方法差商法0.6512.247°5.684 3e-14°0.758.213°5.684 3e-14°0.854.651°5.684 3e-14°0.951.469°5.684 3e-14°

由仿真結(jié)果表明，與傳統(tǒng)二維平面解算滾轉(zhuǎn)角方法相比，由刻度因子產(chǎn)生的磁測量誤差對差商法解算彈體滾轉(zhuǎn)角的影響很小，差商法具有很強的魯棒性。

3.3 傳感器的固定偏差產(chǎn)生的解算誤差分析

傳感器固定偏差給測量值帶來一定的誤差，在滾轉(zhuǎn)角解算仿真實驗中，發(fā)射系磁場三分量、俯仰角和偏航角均與3.1節(jié)相同。傳感器y軸方向的固定偏差分別取1 500 nT、500 nT、-500 nT、-1 500 nT，傳感器z軸方向的固定偏差為0 nT。分別使用差商法解算滾轉(zhuǎn)角和傳統(tǒng)二維平面方法解算滾轉(zhuǎn)角γ，將解算結(jié)果與真實彈體滾轉(zhuǎn)角γt相減，得到任意時刻因傳感器固定偏差產(chǎn)生的滾轉(zhuǎn)角解算誤差εb，其表達式為

εb=γ-γt

(16)

圖7和圖8分別為采用差商法和傳統(tǒng)方法，使用含傳感器固定偏差的地磁測量數(shù)據(jù)，解算彈體滾轉(zhuǎn)角的解算誤差。表2列出了因傳感器固定偏差引起的最大滾轉(zhuǎn)角解算誤差。結(jié)合圖7、圖8和表2可以看出：1) 傳感器的固定偏差越大，傳統(tǒng)方法的解算精度越差，其解算精度與固定偏差的正負(fù)無關(guān)，只與固定偏差的大小相關(guān)。2) 差商法解算彈體滾轉(zhuǎn)角的精度與固定偏差的大小和正負(fù)均無關(guān)。3) 傳統(tǒng)方法解算彈體滾轉(zhuǎn)角精度在4°以上，差商法解算彈體滾轉(zhuǎn)角的解算誤差為5.684 3e-14°。

由仿真結(jié)果表明，與傳統(tǒng)二維平面解算滾轉(zhuǎn)角方法相比，由傳感器固定偏差產(chǎn)生的磁測量誤差對差商法解算彈體滾轉(zhuǎn)角的影響很小，差商法具有很強的魯棒性。

Kb/nT傳統(tǒng)方法差商法1 5006.180°5.684 3e-14°5004.019°5.684 3e-14°-5004.019°5.684 3e-14°-1 5006.180°5.684 3e-14°

3.4 滾轉(zhuǎn)角間隔Δγ 的誤差對解算結(jié)果的影響

4 結(jié)論

本文介紹了傳統(tǒng)二維平面滾轉(zhuǎn)角解算原理和差商法解算彈體滾轉(zhuǎn)角原理。首先，對最佳滾轉(zhuǎn)角間隔的選取進行了仿真分析，然后分別對傳感器刻度因子誤差和傳感器固定偏差對彈體滾轉(zhuǎn)角的解算誤差進行了分析，通過對比兩種方法對滾轉(zhuǎn)角解算造成的影響，得到以下結(jié)論：

1) 利用差商法解算彈體滾轉(zhuǎn)角，其滾轉(zhuǎn)角解算誤差約為1×10-13°，小于1°；當(dāng)滾轉(zhuǎn)角間隔為π/2或3π/2時，能使解算誤差達到最小。

2) 利用差商法對刻度因子誤差和固定偏差引起的解算誤差具有很強的魯棒性。隨著滾轉(zhuǎn)角間隔Δγ誤差εΔγ的增大，最大彈體滾轉(zhuǎn)角解算誤差εγ也隨之增大。

3) 本文旨在提高旋轉(zhuǎn)彈丸磁測滾轉(zhuǎn)角解算精度，當(dāng)?shù)卮艂鞲衅鞔嬖谝欢ǖ目潭纫蜃诱`差和固定偏差時，差商法解算彈體滾轉(zhuǎn)角具有很強的魯棒性。除了傳感器的刻度因子誤差和固定偏差需要考慮外，傳感器的測量噪聲對此方法的解算精度造成的影響有待進一步研究。

[1] LI Ding,BU Xiongzhu.Attitude measurement on high-spinning projectile using magnetic sensors and accelerometers[J].Trans Nanjing Univ Aeronaut Astronaut,2008,25(2).

[2] LI Xiang,LI Zhi.A new calibration method for tri-axial field sensors in strap-down navigation systems[J].Meas Sci Technol,2012,23:2852-5.

[3] LONG D F,LIN J,ZHANG X M,LI J.Orientation estimation algorithm applied to high-spin projectiles[J].Meas Sci Technol,2014,25:233-43.

[4] CHANGEY S,FLECK V,BEAUVOIS D.Projectile attitude and position determination using magnetic meter sensor only[C]//Proceeding of SPIE-The International Society for Optical Engineering,2005,5803:49-58.

[5] HUANG Yu,WANG Honglun.Application of tracking-differentiator in angular measurements on spinning projectiles using magnetic sensors[C].International Conference on Intelligent Human-Machine Systems and Cybernetics.IEEE,2015,25:433-436.

[6] ZHU Jianliang,WU Panlong,BO Yuming.A Novel Attitude Estimation Algorithm Based on the Non-Orthogonal Magnetic Sensors[J].Sensors,2016,16(5):730.

[7] HARKINS THOMAS,DAVIS BRADFORD,HEPNER DAVID.Novel on-board sensor systems for making angular measurements on spinning projectiles[C].Proc Spie,2001,4365:106-112.

[8] HEPNER DAVID,HARKINS THOMAS.Determining inertial orientation of a spinning body with body-fixed sensors[C].Spie Proceedings,2000:68-79.

[9] XIANG Chao,BU Xiongzhu,YANG Bo.Three Different Attitude Measurements of Spinning Projectile Based on Magnetic Sensors[J].Measurement,2014,47:331-340.