李 創(chuàng)，郗小鵬，吳宏宇，侯云雷

0 引 言

齒側(cè)間隙（簡稱“側(cè)隙”），是齒輪副非工作齒面之間的間隙。在精密傳動(dòng)系統(tǒng)中，側(cè)隙是傳動(dòng)系統(tǒng)傳動(dòng)誤差產(chǎn)生的主要因素之一，輸入與輸出之間理想的線性關(guān)系被打破，呈現(xiàn)間歇的非線性特征。

文獻(xiàn)[1]研究表明側(cè)隙導(dǎo)致伺服系統(tǒng)速度環(huán)開環(huán)頻率特性降低；文獻(xiàn)[2]利用Adams建立單自由度齒輪傳動(dòng)的動(dòng)力學(xué)模型；文獻(xiàn)[3]采用描述函數(shù)法處理側(cè)隙的非線性，驗(yàn)證側(cè)隙導(dǎo)致軸系扭轉(zhuǎn)剛度的降低；文獻(xiàn)[4]考慮時(shí)變嚙合剛度，提出了二級齒輪傳動(dòng)的仿真實(shí)現(xiàn)技術(shù)與方法；文獻(xiàn)[5]對含時(shí)變剛度和側(cè)隙的多級齒輪傳動(dòng)的非線性動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行了分析，分析了動(dòng)態(tài)嚙合力隨轉(zhuǎn)速及嚙合剛度變化的影響。

在上述文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，本文考慮側(cè)隙及時(shí)變嚙合剛度，建立二級齒輪傳動(dòng)的數(shù)學(xué)模型，利用虛擬樣機(jī)技術(shù)，建立模擬復(fù)雜工況的動(dòng)力學(xué)模型，重點(diǎn)研究了外界高頻振動(dòng)激勵(lì)與非恒定負(fù)載力矩?cái)_動(dòng)下，相應(yīng)參數(shù)對齒輪嚙合力以及速度動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響，為傳動(dòng)系統(tǒng)平穩(wěn)性和精確性的設(shè)計(jì)和優(yōu)化提供參考。

1 動(dòng)力學(xué)模型

1.1 齒輪傳動(dòng)簡化模型

本文所指齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)常見于機(jī)載或者車載目標(biāo)跟隨伺服系統(tǒng)和光電穩(wěn)定系統(tǒng)等，一般具有以下特征：

a）系統(tǒng)具備高定位精度和動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性，伺服帶寬高；

b）適應(yīng)復(fù)雜多變的隨機(jī)疊加窄帶或正弦的振動(dòng)激勵(lì)；

c）機(jī)械系統(tǒng)為多自由度系統(tǒng)，系統(tǒng)的諧振頻率較高。

本文以某型號小型機(jī)載目標(biāo)跟隨伺服系統(tǒng)為研究依據(jù)，建立該系統(tǒng)的單軸齒輪傳動(dòng)模型，如圖1所示，傳動(dòng)系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)齒輪參數(shù)如表1所示。

圖1 單軸齒輪傳動(dòng)模型Fig.1 Single Axis Gear Transmission Model

表1 標(biāo)準(zhǔn)齒輪參數(shù)Tab.1 Standard Gear Parameters

1.2 齒輪間隙的非線性特征

高頻率的變向、加速使齒輪副在接觸、分離、接觸反復(fù)狀態(tài)下，齒輪副等效的嚙合彈性變形量呈現(xiàn)強(qiáng)非線性特征。

忽略齒輪精度和使用環(huán)境不同所造成的側(cè)隙微小變化，對同一對齒輪副的側(cè)隙均值處理。設(shè)齒輪副的側(cè)隙為2bi，嚙合線上的直線位移為 xi，則彈性變形量d ( xi)（i=1,2,3）的數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

1.3 含側(cè)隙和時(shí)變嚙合剛度多級齒輪動(dòng)力學(xué)模型

本文重點(diǎn)研究在復(fù)雜多變的外部激勵(lì)輸入條件下，多級齒輪傳動(dòng)側(cè)隙對系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性和伺服性能的影響。適當(dāng)簡化齒輪動(dòng)力學(xué)模型，采用文獻(xiàn)[6]中的彈簧、阻尼和間隙的扭轉(zhuǎn)-振動(dòng)模型，如圖2所示，同時(shí)考慮以下簡化條件：

a）忽略軸端支撐的彈性變形和軸承游隙的影響；

b）忽略齒輪傳動(dòng)摩擦力的影響；

c）忽略因齒輪精度所引入的靜態(tài)傳遞誤差；

d）相互嚙合的齒輪軸向固定，只存在扭轉(zhuǎn)變形；

e）忽略由齒輪精度、使用環(huán)境等因素所造成的側(cè)隙微小時(shí)變特征。

圖2 二級齒輪動(dòng)力學(xué)模型Fig.2 Secondary Dynamic Gear Model

扭轉(zhuǎn)-振動(dòng)非線性動(dòng)力學(xué)數(shù)值分析，規(guī)定逆時(shí)針方向?yàn)檎捎眉匈|(zhì)量法，建立其數(shù)學(xué)模型[6]。

式中MT，LT分別為電機(jī)的驅(qū)動(dòng)力矩和負(fù)載阻力矩；J1，J2，J3，J4為齒輪 1～4 的等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；rb1，rb21，rb22，rb3為齒輪1、齒輪2、齒輪3和齒輪4的基圓半徑；q1，q2，q3為齒輪的角位移；d(x1)，d(x2)為齒輪副的等效嚙合彈性變形量；kt1，kt2為齒輪副的嚙合剛度；ct1，ct2為齒輪副的嚙合阻尼。

為便于扭轉(zhuǎn)-振動(dòng)模型的求解分析，建立多級齒輪傳動(dòng)動(dòng)力學(xué)分析的矩陣形式表示為

式中 m為質(zhì)量矩陣；c為嚙合阻尼矩陣；k為嚙合剛度矩陣；b為與側(cè)隙相對應(yīng)的判定附加矩陣；f為負(fù)載矩陣。

由于側(cè)隙的存在，齒輪在接觸、分離和接觸狀態(tài)變換，∈ {- bi, 0,bi}，取值分別與3種狀態(tài)相對應(yīng)。

1.4 時(shí)變嚙合剛度

齒輪在嚙合過程中，單對齒嚙合區(qū)和雙對齒嚙合區(qū)的周期性變化，導(dǎo)致齒輪副的嚙合剛度呈現(xiàn)典型階躍突變特性，如圖 3所示。根據(jù)李潤方、王建軍等人的研究成果，在保證齒輪精度的前提下，嚙合剛度具有明顯的周期性變化。

圖3 時(shí)變嚙合剛度簡化曲線Fig.3 Curve of Time-varying Mesh Stiffness

按照圖3所示，將齒輪嚙合剛度簡化為一個(gè)嚙合周期的矩形方波函數(shù)：

式中 ε為齒輪傳動(dòng)的重合度；T為嚙合周期；in為第i個(gè)齒輪轉(zhuǎn)速；iz為第i個(gè)齒輪齒數(shù)。公式以嚙合頻率進(jìn)行傅里葉級數(shù)展開，保留一階分量，則：

式中iw為第i對齒輪副的嚙合頻率；k0，a0，b0分別為展開式的常數(shù)項(xiàng)、一階余弦項(xiàng)和一階正弦項(xiàng)。

輪齒的嚙合阻尼可按下式計(jì)算，按照 Kasuba[7]和Wang[8]的分析計(jì)算，一般為0.03～0.17，本文ix=0.07。

1.5 側(cè)隙與傳動(dòng)特性的影響分析

對于標(biāo)準(zhǔn)的漸開線圓柱齒輪傳動(dòng)，側(cè)隙的存在使齒厚減小，嚙合的平均剛度降低，平均剛度與傳動(dòng)角速度變化曲線如圖4所示，其中，側(cè)隙為2d，平均嚙合剛度為vK。

圖4 平均剛度與傳動(dòng)角速度變化曲線Fig.4 Variation Curve of Sitiffness and Angular Velocity

在隨機(jī)振動(dòng)疊加沖擊的工況環(huán)境下，系統(tǒng)的載荷輸出呈現(xiàn)高頻的交變特征，側(cè)隙附加的沖擊振蕩會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)動(dòng)力輸入波動(dòng)顯著增加，超越系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)適應(yīng)能力，導(dǎo)致系統(tǒng)失穩(wěn)。

2 系統(tǒng)仿真

2.1 系統(tǒng)仿真分析模型

根據(jù)上述理論分析，明確含側(cè)隙齒輪傳動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型中剛度、阻尼以及負(fù)載的矩陣函數(shù)，利用 Adams動(dòng)力學(xué)仿真軟件中的齒輪傳動(dòng)仿真模塊，首先建立其與之符合的實(shí)體模型，設(shè)置齒輪副的嚙合剛度，阻尼和側(cè)隙值，基于Impact函數(shù)的接觸力計(jì)算，分析模擬載體的高頻正弦激勵(lì)和齒輪系統(tǒng)本身正弦激勵(lì)條件下齒輪嚙合力和齒輪輸入的力矩波動(dòng)響應(yīng)，為具有高動(dòng)態(tài)響應(yīng)的隨動(dòng)系統(tǒng)的傳動(dòng)設(shè)計(jì)提供理論支撐。仿真模型如圖5所示，簡化的二級齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)，包含振動(dòng)載體、齒輪接觸副和邊界約束條件等。其中，接觸類型為實(shí)體接觸，剛度系數(shù)取決于碰撞物體的材料和結(jié)構(gòu)形式，可近似按照文獻(xiàn)[9]確定，碰撞系數(shù)取值1.5，最大阻尼系數(shù)設(shè)為剛度系數(shù)值的0.5%，穿透深度取值0.1 mm，仿真參數(shù)設(shè)置中忽略齒輪傳動(dòng)摩擦影響。

圖5 仿真模型Fig.5 Simulation Model

2.2 定載荷下齒輪嚙合特性仿真分析

首先分析定載荷、恒速運(yùn)動(dòng)工況，驗(yàn)證齒輪嚙合模型的準(zhǔn)確性和實(shí)用性。

齒輪1輸入轉(zhuǎn)速500 r/min。為避免速度突變，對仿真結(jié)果的影響，采用平滑加速函數(shù)step(t i me, 0,0,0.2,3000d)實(shí)現(xiàn)速度的控制。傳動(dòng)輸出端齒輪 4施加恒定負(fù)載 1.5 N·m，采用平滑加速函數(shù)step( ti me , 0 , 0 , 0.2 , 15000 )施加力矩。

根據(jù)1.4節(jié)時(shí)變嚙合剛度的分析表明，齒輪1和齒輪2的嚙合呈現(xiàn)時(shí)變特征，嚙合頻率為1047.197 rad/s。仿真分析得到的齒輪嚙合力時(shí)域和頻域分別如圖 6和圖7所示。

總而言之,脛骨平臺合并半月板損傷患者接受早期的脛骨平臺骨折手術(shù)修復(fù)治療,對損傷半月板進(jìn)行修復(fù),能夠在一期就實(shí)現(xiàn)愈合,避免了骨折預(yù)后創(chuàng)傷性關(guān)節(jié)炎的發(fā)生,臨床中效果比較突出,值得推廣使用。

圖6 定載嚙合力的時(shí)域Fig.6 Time-Domain Chart of Fixed Meshing Force

圖7 定載嚙合力的頻域Fig.7 Frequency-Domain Chart of Fixed Meshing Force

從時(shí)域圖可以看出齒輪嚙合典型的時(shí)變特征，頻域圖得到嚙合主頻率為1046.57 rad/s，與理論分析相互吻合，驗(yàn)證了齒輪嚙合模型理論分析的正確性。

2.3 側(cè)隙對嚙合力的仿真分析

a）側(cè)隙影響的仿真分析。

重點(diǎn)研究側(cè)隙對齒輪嚙合力和嚙合速度的影響。為簡化仿真計(jì)算量，選取末級單自由度齒輪傳動(dòng)（齒輪3和齒輪4），同時(shí)增加齒輪4的偏心質(zhì)量，模擬負(fù)載。齒輪3輸入速度正弦激勵(lì)，齒輪4為從動(dòng)輪。齒輪系統(tǒng)的振動(dòng)給定激勵(lì)，可以模擬隨機(jī)振動(dòng)、正弦沖擊等復(fù)雜工況條件。側(cè)隙通過改變齒輪副的中心距進(jìn)行側(cè)隙數(shù)值模擬，設(shè)定為0 mm、0.1 mm、0.16 mm 3個(gè)量值。兼顧計(jì)算的準(zhǔn)確性和效率，采用 GSTIFF的剛性積分器，可以避免Jacobian矩陣病態(tài)的SI2格式。單級齒輪系統(tǒng)仿真模型如圖8所示。

圖8 側(cè)隙仿真模型Fig.8 Backlash Simulation Model

速度正弦激勵(lì)信號的幅值為 0.5 m/s，角頻率為1000 rad/s。齒輪輸入端（齒輪3）的輸入為速度正弦激勵(lì)信號幅值為1000 (°)/s，角頻率為10 rad/s。信號曲線如圖9所示。

圖9 激勵(lì)信號曲線Fig.9 Excitation Signal Curve

分別研究不同側(cè)隙量情況下的齒輪嚙合力的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，分析時(shí)域和頻域特征。仿真結(jié)果表明，齒輪嚙合力會(huì)伴隨振動(dòng)激勵(lì)出現(xiàn)周期性的峰值力和角速度的跳變，而且隨著側(cè)隙的增大，嚙合力呈現(xiàn)大幅度的增長，速度波動(dòng)也愈明顯，甚至造成傳動(dòng)系統(tǒng)的失穩(wěn)。不同側(cè)隙情況下嚙合力時(shí)域?qū)Ρ惹€、嚙合力頻域?qū)Ρ惹€和角速度對比曲線分別如圖10～12所示。

圖10 不同側(cè)隙嚙合力時(shí)域?qū)Ρ惹€Fig.10 Time-Domain Curve of Different Meshing Force

圖11 不同側(cè)隙嚙合力頻域?qū)Ρ惹€Fig.11 Frequency-Domain Curve of Different Meshing Force

圖12 不同側(cè)隙角速度對比曲線Fig.12 Angular Velocity of Different Backlash

b）負(fù)載偏心影響的仿真分析。

圖13 不同偏心嚙合力對比曲線Fig.13 Meshing Force Curve of Different Eccentricity

圖14 不同偏心角速度對比曲線Fig.14 Angular Curve of Different Eccentricity

因此過大的齒側(cè)間隙，會(huì)使傳動(dòng)系統(tǒng)振動(dòng)加劇，在高頻振動(dòng)激勵(lì)下，齒輪由于嚙合的沖擊震蕩導(dǎo)致的附加動(dòng)載荷和速度的波動(dòng)顯著增加，當(dāng)間隙增加到一定程度，容易引起系統(tǒng)共振，造成驅(qū)動(dòng)過載，導(dǎo)致系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)失衡、隨機(jī)性的卡滯、堵轉(zhuǎn)和噪聲，影響系統(tǒng)的平穩(wěn)性、可靠性和壽命。同時(shí)在傳動(dòng)系統(tǒng)設(shè)計(jì)中，盡量減小偏心質(zhì)量和偏心量，可以降低力矩突變。

3 結(jié) 論

本文根據(jù)齒輪的扭轉(zhuǎn)-振動(dòng)理論，建立含側(cè)隙和時(shí)變嚙合剛度的二級齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，建立了高頻正弦振動(dòng)激勵(lì)和往復(fù)速度給定的Adams動(dòng)力學(xué)仿真模型。根據(jù)仿真分析，得出如下結(jié)論：

a）高頻振動(dòng)激勵(lì)下，側(cè)隙導(dǎo)致齒輪嚙合的沖擊振蕩，引起額外附加動(dòng)載荷，量級會(huì)隨著偏心質(zhì)量和偏心量的增加呈現(xiàn)大幅度的增長，提高傳動(dòng)系統(tǒng)末級減速比，消除末級齒隙，從而實(shí)現(xiàn)對傳動(dòng)系統(tǒng)回差的細(xì)分，減小動(dòng)載荷對輸入穩(wěn)定性的影響；

b）速度輸出伴隨振動(dòng)激勵(lì)頻率出現(xiàn)周期性的速度階躍，側(cè)隙愈大，速度波動(dòng)幅值愈大，在高精度定位和精確速度控制環(huán)路中，盡量實(shí)現(xiàn)0側(cè)隙傳動(dòng)，避免沖擊激勵(lì)下的速度階躍；

c）大慣量的偏心負(fù)載是引起齒輪傳動(dòng)的振動(dòng)、沖擊和噪聲的主要原因之一，減小偏心質(zhì)量和偏心量可以顯著抑制齒輪傳動(dòng)中嚙合力和速度的周期性階躍。

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