冪指函數(shù)極限和導(dǎo)數(shù)的計算方法

張輝 方曉峰 王靜

摘 要：介紹了計算一元和多元冪指函數(shù)極限和導(dǎo)數(shù)的方法，旨在對冪指函數(shù)有更深的理解和掌握。

關(guān)鍵詞：冪指函數(shù)；極限；導(dǎo)數(shù)；對數(shù)求導(dǎo)法

冪指函數(shù)是高等數(shù)學(xué)微積分學(xué)中一類特殊的函數(shù)，如何來計算冪指函數(shù)的極限和導(dǎo)數(shù)是一難點。本文介紹計算一元冪指函數(shù)的極限、導(dǎo)數(shù)和多元冪指函數(shù)的重極限、偏導(dǎo)數(shù)的方法，給出相應(yīng)的求解思路和重要結(jié)論，供初學(xué)者參考學(xué)習(xí)。

一、一元冪指函數(shù)[y=uxvxux>0，ux≠1]

1.極限計算

命題1：設(shè)[limux]=[A>0]，[limvx]=[B]，則[limuxvx]=[limevxlnux]=[elimvxlnux]=[elimvx·lnux]=[eBlnA]=[AB]=[limuxlimvx]。

命題2：設(shè)[limux]=1，[limvx]=[∞]，且[limvxux-1]=[A]，則[limuxvx]=[eA]。

命題3：設(shè)[αx]和[βx]是同一自變量趨近過程的無窮小，且[limfx=1]，[αx]～[α'x]，[βx]～[β'x]，若[limfx-1βx]=[A]，[limα'x+11β'x]=[B]，則[limαx+fx1βx]=[BeA]。

特別地，

當(dāng)[limfx-1βx]=0時，[limαx+fx1βx]=[limα'x+11β'x]。

2.導(dǎo)數(shù)計算

方法一：對數(shù)求導(dǎo)法。等式兩邊取對數(shù)，得[lny=vxlnux]；等式兩邊對x求導(dǎo)，得[y'y=v'xlnux+vxu'xux]；

即[y'=v'xlnux+vxu'xuxuxvx]。

注1：使用對數(shù)求導(dǎo)法時注意函數(shù)的取值是否為正。

方法二：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法。將y的表達式變形為[y=evxlnux]。由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得，[y'=vxlnux'evxlnux=v'xlnux+vxu'xuxuxvx]。

二、二元冪指函數(shù)[z=ux，yvx，yux，y>0，ux，y≠1]

1.重極限計算

命題4：設(shè)[limu][x，y]=[A>0]，[limv][x，y]=[B]，

[則limux，yvx，y=AB=limux，ylimvx，y]。

命題5：設(shè)[limu][x，y]=[1]，[limv][x，y]=[∞]，且[limv][x，y][ux，y-1]=[A]，則[lim][ux，y][vx，y]=[eA]

2.偏導(dǎo)數(shù)計算

方法一：對數(shù)求導(dǎo)法。等式兩邊取對數(shù)，得[lnz=vx，ylnux，y]；

等式兩邊對x求偏導(dǎo)得，[1zδzδx=δvδxlnux，y+vx，yux，yδuδx]；

即[δzδx=δvδxlnux，y+vx，yux，yδuδxux，yvx，y]。同理可求得[δzδy]。

方法二：二元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法。將z的表達式變形為[z=evx，ylnux，y]。由二元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得，[δzδx=evx，ylnux，yδvx，ylnux，yδx=δvδxlnux，y+vx，yux，yδuδxux，yvx，y]。同理可求得[δzδy]。

注2：對于三元冪指函數(shù)[u=ux，y，zvx，y，zux，y，z>0，ux，y，z≠1]類似可求得相關(guān)結(jié)論。

參考文獻

[1]同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（上冊）[M].北京：高等教育出版社，2014：103-104.

[2]張輝，敬斌，李應(yīng)岐.一個冪指函數(shù)極限的計算方法探討[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2017：16.

[3]張輝，李應(yīng)岐，陳春梅，敬斌.高等數(shù)學(xué)常見疑難問題解析[J].鄭州師范教育，2014，3（4）：69-71.

基金項目：陜西省教育廳專項科研計劃項目（編號：16JK1696）資助。