基于核密度估計的互聯(lián)網(wǎng)金融產(chǎn)品收益率對比分析*

馬 馨 悅

(南京財經(jīng)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，南京 210023)

從20世紀(jì)末開始，互聯(lián)網(wǎng)信息技術(shù)呈現(xiàn)快速發(fā)展的勢頭，也給人們的思維方式和生活方式帶來了巨大改變。在金融領(lǐng)域，互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)和金融業(yè)務(wù)的結(jié)合產(chǎn)生了一種新型的產(chǎn)品和業(yè)務(wù)模式——互聯(lián)網(wǎng)金融。目前互聯(lián)網(wǎng)金融大致可以分為如下4類：傳統(tǒng)金融業(yè)務(wù)的互聯(lián)網(wǎng)化、基于互聯(lián)網(wǎng)平臺開展的金融業(yè)務(wù)、全新的互聯(lián)網(wǎng)金融模式以及金融支持的互聯(lián)網(wǎng)化。

由于近幾年互聯(lián)網(wǎng)金融發(fā)展風(fēng)頭正勁，大眾理財思維已由傳統(tǒng)產(chǎn)品轉(zhuǎn)向購買互聯(lián)網(wǎng)平臺的理財產(chǎn)品，其中2013年6月基于支付寶平臺的天弘基金余額寶的橫空出世，被普遍認(rèn)為開創(chuàng)了國人互聯(lián)網(wǎng)理財元年，余額寶也是迄今中國最大的貨幣資金[1]。同年10月微信理財通旗下的華夏財富寶貨幣基金應(yīng)運而生，且發(fā)展迅速。余額寶和財富寶均為貨幣基金，具有低風(fēng)險，高流動性，1元起投且隨買隨取的特征，因此成為當(dāng)下互聯(lián)網(wǎng)金融投資產(chǎn)品的代表。

學(xué)者們對傳統(tǒng)金融產(chǎn)品的研究已經(jīng)有很多，尤其是對金融資產(chǎn)收益率分布的研究。大量的實證研究表明：絕大多數(shù)金融資產(chǎn)的收益明顯不符合正態(tài)分布假定，一般呈現(xiàn)“尖峰厚尾”特征[2]，因此國內(nèi)外許多學(xué)者都進(jìn)行了股票收益率分布的探索。在已有的國外股指收益率研究里，最早由Kendall[3]通過對英國股票價格的研究發(fā)現(xiàn)：股價的變動只是近似地服從正態(tài)分布，且大多數(shù)價格上的變化存在很明顯的尖峰厚尾現(xiàn)象。Mandelbrot[4]認(rèn)為這種不滿足正態(tài)分布的現(xiàn)象不是偶然出現(xiàn)的，尖峰與厚尾的特征幾乎為所有股票收益率數(shù)據(jù)所共有。我國也有相關(guān)學(xué)者證實了金融資產(chǎn)的相關(guān)指數(shù)或收益率。林美艷等[5]通過Q-Q圖和有方向檢驗檢驗了1996-01-02到2001-12-28的上證指數(shù)日、周、月對數(shù)收益率，發(fā)現(xiàn)上證指數(shù)收益率不服從正態(tài)分布，反而是具有尖峰厚尾特征的t分布能夠較好地擬合股指收益率數(shù)據(jù)。張德飛[6]建立股票指數(shù)的隨機(jī)微分方程模型來刻畫股票指數(shù)的許多統(tǒng)計特征，從而證實股票指數(shù)不服從正態(tài)分布。徐曉嶺等[7]對上證指數(shù)收益率提出了一種混合正態(tài)分布的估計方法，即假設(shè)證券收益率分布函數(shù)是兩個正態(tài)分布凸組合，使用經(jīng)驗分布極大極小準(zhǔn)則得到參數(shù)的估計值，但沒有說明混合正態(tài)分布究竟是否較好刻畫收益率分布。

近些年，利用非參數(shù)估計方法——核密度估計對股票收益率進(jìn)行擬合取得了顯著不錯的成果。非參數(shù)估計一般不對數(shù)據(jù)的分布作任何假定，估計的結(jié)果更加穩(wěn)健[8]。在已有傳統(tǒng)金融產(chǎn)品研究的基礎(chǔ)上，本文使用非參數(shù)估計方法中的核密度估計對互聯(lián)網(wǎng)金融產(chǎn)品——余額寶和財富寶二者收益率進(jìn)行估計及對比。

1 核密度估計

在統(tǒng)計學(xué)中，往往需要根據(jù)樣本數(shù)據(jù)去推斷總體的分布，即密度函數(shù)。如果采用參數(shù)估計的方法，則要先假定總體分布的具體形式，如總體服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，然后利用樣本數(shù)據(jù)去估計參數(shù)(μ，σ2)，從而得到總體的密度函數(shù)。但若真實總體與假定分布相差甚遠(yuǎn)，則根據(jù)參數(shù)估計法得出的統(tǒng)計推斷可能具有較大偏差。而非參數(shù)估計的方法可以在不假設(shè)總體分布的情況下進(jìn)行密度函數(shù)的估計，從而降低誤差。

本文選取非參數(shù)估計中的核密度估計對余額寶和財富寶收益率進(jìn)行密度函數(shù)估計，其步驟一般如下：先選取核函數(shù)，然后計算最優(yōu)帶寬，最后進(jìn)行核密度估計。

1.1 核函數(shù)

核密度估計[9]是由Rosenblatt(1956)和Parzen(1962)對直方圖作密度估計的思想推廣而來的。利用直方圖作密度估計時，即使隨機(jī)變量是連續(xù)的，直方圖也始終是不連續(xù)的階梯函數(shù)，而核密度估計可以解決這一缺點，從而得到密度函數(shù)的光滑估計，其核心是采用一個光滑可微的核函數(shù)。核密度估計量為

(1)

其中，函數(shù)K(·) 稱之為核函數(shù)，h稱為帶寬。式(1)滿足以下性質(zhì)：

(i)K(·)連續(xù)且關(guān)于原點對稱。

(iii)①z0>0 ，|z|≥z0時，K(z)=0；

②當(dāng)|z|→∞ 時，|z|K(z)→0。

條件(iii)要求核函數(shù)的曲線下面積為1(將核函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)化)，并滿足一些有界條件。條件(iii)下①比②更強(qiáng)，在實踐中常常采用條件①，即如果超出某個鄰域范圍[-z0，z0]，權(quán)重變?yōu)?，常將[-z0，z0]標(biāo)準(zhǔn)化為[-1，1] 。條件(iv)也是一個有界條件。

現(xiàn)給出常見核函數(shù)見表1：

表1 常見核函數(shù)

其中，均勻核也用于直方圖，只是在用均勻核進(jìn)行核密度估計時并不固定分組，而在每個點上進(jìn)行估計，最流行的核函數(shù)為二次核與高斯核。條件(iii)下除高斯核滿足②外，表1中的其他核均滿足①。這些核函數(shù)的共同特點是，離原點越近，核函數(shù)的取值越大，并在原點處取得最大值，這意味著，越近的點給與的權(quán)重越大。

1.2 最優(yōu)帶寬

(2)

其中，

則式(2)可以改寫成

均方誤差依賴于每一個觀測值，若希望對x所有取值的均方誤差進(jìn)行整體度量，則可以最小化積分均方誤差(IMSE)：

為求解minIMSE (h)，Silverman(1986)[10]證明最優(yōu)帶寬為

(3)

從式(3)可以看出，最優(yōu)帶寬h*依賴于δ從而依賴于核函數(shù)，還依賴于待估密度函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)f″(x) 。對于不同的核函數(shù)分別使用不同的δ。

若樣本來自于正態(tài)總體，則可以計算出h*=1.364 3δN-0.2s，其中s為樣本標(biāo)準(zhǔn)差。為了防止樣本標(biāo)準(zhǔn)差受極端值的影響，常使用Silverman嵌入估計，可得h*=1.364 3δN-0.2min(s，iqr/1.349) 其中，iqr為樣本的四分位距。

在實際操作中，即使整體不服從正態(tài)分布，也可以使用嵌入估計來進(jìn)行帶寬的選擇，但為了保險起見，可以比較兩倍嵌入估計與一半嵌入估計的效果[11]。

2 余額寶和財富寶收益率差異比較

2.1 數(shù)據(jù)說明

本文選取余額寶和財富寶的7日年化收益率作為對比數(shù)據(jù)，7日年化收益率是指貨幣基金最近7日的平均收益水平，進(jìn)行年化以后得出的數(shù)據(jù)[12]?？紤]到兩個基金在發(fā)布后需要一段時間的市場適應(yīng)，選取2014-03-01至2017-10-20的收益率數(shù)據(jù)進(jìn)行對比。將余額寶和財富寶收益率分別表示為樣本x，y，單樣本容量為1 330，總樣本容量為2 660。數(shù)據(jù)來源天天基金網(wǎng)，分析軟件選取R。

2.2 數(shù)據(jù)基本統(tǒng)計特征及正態(tài)性檢驗

首先，作出余額寶和財富寶的收益率的趨勢變動圖，見圖1。可以發(fā)現(xiàn)二者收益率均具有很大的變動。

其次，對樣本x，樣本y的一些基本數(shù)字特征進(jìn)行描述，對樣本進(jìn)行ADF平穩(wěn)性檢驗。將基本特征及ADF檢驗對應(yīng)的p值一起記錄在表2。

從表2中可以發(fā)現(xiàn)，樣本x的均值和標(biāo)準(zhǔn)差均小于樣本y，說明余額寶的收益率略低于財富寶，但波動性較小。兩樣本的偏度均大于0，表明兩組收益率分布均右偏，峰度分均小于3，說明二者分布均呈現(xiàn)平頂峰。

樣本x進(jìn)行ADF檢驗對應(yīng)的p值為0.863 3，大于0.05，樣本y進(jìn)行ADF檢驗對應(yīng)的p值為0.019 3，小于0.05，說明在0.05的顯著性水平下，余額寶收益率不平穩(wěn)，財富寶收益率平穩(wěn)。

圖1 余額寶及財富寶收益率的時序圖

觀察數(shù)據(jù)是否為正態(tài)分布，最直觀的方法就是畫Q-Q圖(分位數(shù)-分位數(shù)圖)，即將正態(tài)分布的分位數(shù)與樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)化成散點圖，若樣本服從正態(tài)分布，則圖中散點應(yīng)該集中在45°線附近[13]。將余額寶、財富寶收益率的數(shù)據(jù)進(jìn)行正態(tài)性檢驗，得到Q-Q圖見圖2?？梢钥闯?，兩個樣本的尾部均明顯偏離直線，意味著兩個樣本均不服從正態(tài)分布。也說明，用核密度估計對余額寶和財富寶的收益率進(jìn)行研究具有意義。

(a)余額寶 (b)財富寶

圖2余額寶和財富寶的收益率正態(tài)性檢驗Q-Q圖

Fig.2Q-QdiagramofnormalyieldofYu’EBao&Cai’FuBao

2.3 核密度估計及分析

在進(jìn)行核密度估計之前，先做出余額寶及財富寶的收益率頻數(shù)分布直方圖，見圖3。可以看出二者收益率都是在[0.04，0.045]區(qū)間內(nèi)的頻率最大，說明兩者收益率大都集中在該區(qū)間內(nèi)。但余額寶落在該區(qū)間內(nèi)的頻數(shù)大于400，而財富寶對應(yīng)頻數(shù)略高于300，說明余額寶有更大的概率收益率穩(wěn)定在該區(qū)間內(nèi)。對于余額寶來說，其落在[0.02，0.025]區(qū)間內(nèi)的概率位居第二，而財富寶頻率第二大區(qū)間則為[0.025，0.03]，明顯高于余額寶。

(a)余額寶 (b)財富寶

圖3余額寶和財富寶的收益率頻數(shù)直方圖

Fig.3ThefrequencydistributionmapoftheincomerateofYu’EBao&Cai’Fu

將兩組數(shù)據(jù)得到的最優(yōu)窗寬及兩倍、一半的窗寬帶入進(jìn)行核密度估計，結(jié)果見圖4?？梢钥闯?，兩種收益率均為選取嵌入估計得到的最優(yōu)帶寬一半時進(jìn)行核密度估計更光滑。余額寶和財富寶收益率均呈現(xiàn)雙峰分布，說明二者收益率集中在兩個值附近，一個是較低的收益率，一個是較高的收益率，從而說明余額寶和財富寶的收益率并不是一直穩(wěn)定的。通過觀察二者的收益率原始數(shù)據(jù)對應(yīng)的時間節(jié)點發(fā)現(xiàn)，二者收益率均從較大的逐步降到較小。

(a)余額寶 (b)財富寶

圖4帶寬選擇的核密度估計圖

Fig.4Kerneldensityestimationofbandwidthselection

圖5 核密度估計結(jié)果對比

現(xiàn)將兩組收益率的核密度估計進(jìn)行對比，結(jié)果見圖5。由圖5可以看出，余額寶的收益率對應(yīng)概率密度曲線要尖，說明其分布在某點處的可能性更大，余額寶更易長期穩(wěn)定在某一收益率附近。同時，財富寶收益率跨度更大，說明雖然其密度估計的結(jié)果較好，但會出現(xiàn)較高或者較低等極端值的情況。

結(jié)合圖3，余額寶的峰值一個在0.023左右，另一個在0.043左右。財富寶的峰值一個在0.029，一個在0.045左右，且財富寶收益率的核密度估計曲線基本一直在余額寶收益率估計曲線的右側(cè)，說明財富寶的收益率普遍比余額寶的收益率高。

3 結(jié)論及意義

無論是均值還是核密度估計圖均能看出，微信理財通平臺財富寶收益率比支付寶平臺的余額寶收益率要高。因此對于用戶的個人理財，單從收益一方面來看，選擇財富寶要獲得更高的收益。

但金融市場中，一個理性的經(jīng)濟(jì)人往往考慮的不止收益率一方面，還注重于風(fēng)險的控制。風(fēng)險控制模型中較為常用的是 VaR模型，此模型可以對風(fēng)險價值進(jìn)行計算。傳統(tǒng)上會假定收益率或者對數(shù)收益率服從正態(tài)分布[14]。然而大量文獻(xiàn)研究表明收益率并不服從正態(tài)分布，而是呈現(xiàn)尖峰后尾的分布。因此在進(jìn)行VaR風(fēng)險度量時，正確估計出收益率的分布可以令風(fēng)險模型更加準(zhǔn)確，得到的結(jié)果也更具說服力。

條件異方差作為一種動態(tài)非線性的股權(quán)定價模型[15]，研究者通常假定對該模型的資產(chǎn)收益服從正態(tài)分布，再利用最小二乘估計、極大似然估計、廣義矩估計等方法來估計ARCH模型、GARCH模型中的參數(shù)。而這種正態(tài)的假定若與實際分布不相同，參數(shù)估計過程中會出現(xiàn)很大的偏差。本文采用非參數(shù)方法中的核密度估計對余額寶及理財寶收益率進(jìn)行密度估計，不僅對傳統(tǒng)金融市場中的模型具有參考意義，也能為新型互聯(lián)網(wǎng)金融市場研究提供參考。

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