劉 燕,李云瑞
(1.鄭州大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院;2.河南省金融工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,鄭州 450001)
未決賠款準(zhǔn)備金是保險(xiǎn)公司為將來未決賠款的賠付提前計(jì)提的準(zhǔn)備資金,計(jì)提充足的未決賠款準(zhǔn)備金是維護(hù)投保人權(quán)益和保障保險(xiǎn)公司正常的償付能力的重要工作。在我國,非壽險(xiǎn)保險(xiǎn)公司準(zhǔn)備金的提取大多使用傳統(tǒng)的估算方法,比如鏈梯法,案均賠款法,B-F方法等。這些統(tǒng)計(jì)類方法使用比較簡(jiǎn)單,但沒有重視隨機(jī)因素的影響,準(zhǔn)確度并不很高。
由于各種保險(xiǎn)特征因素的影響,如索賠頻率、索賠額度及理賠方式,都會(huì)使各進(jìn)展年索賠額之間具有一定的相關(guān)性,因此就會(huì)導(dǎo)致使用獨(dú)立假設(shè)下的貝葉斯模型來估計(jì)未決賠款準(zhǔn)備金時(shí),與實(shí)際準(zhǔn)備金的支出額有較大偏離。因此,需要考慮增量賠款的相關(guān)性對(duì)未決賠款準(zhǔn)備金評(píng)估模型的影響。Gilks等(1995)[1]在模型中通過一個(gè)潛在過程來構(gòu)造相關(guān)Gamma過程,并應(yīng)用此相關(guān)Gamma過程來體現(xiàn)事故年之間的相關(guān)性。由于Beta族分布類是比Gamma分布更廣的分布類型,Gamma分布僅僅是Beta族分布類的一個(gè)特例,所以本文將Gamma過程推廣到Beta族分布類來建立未決賠款準(zhǔn)備金評(píng)估模型。下面給出基于Beta分布類的相關(guān)過程的理論模型,并對(duì)其中的相關(guān)參數(shù)使用貝葉斯估計(jì)。本文假設(shè)事故年i和進(jìn)展年j的增量賠款額為Xij,即第i個(gè)事故年發(fā)生的索賠在第j個(gè)進(jìn)展年的所有賠款。但對(duì)于不同的流量三角形中不同的事故年i和i′(i≠i′),未決增量賠款過程和是相互獨(dú)立的。
一般假設(shè)Beta分布族的分布密度函數(shù)為:
這里a、b、c為常數(shù),h(x)、g(x)均為x的可導(dǎo)函數(shù),且滿足性質(zhì)h′(x)g′(x)=x。
假設(shè)增量賠款Xij服從Beta族分布,即對(duì)所有的i有,Xi1密度函數(shù)為:
Zij|Xi,j-1的密度函數(shù)為:
并且有:
由以上的構(gòu)造過程可以發(fā)現(xiàn),保單組合的第i個(gè)事故年的增量賠款額Xi,j-1和Xij通過潛在的過程Zij建立了相關(guān)性,并且可以證明其具有下面的性質(zhì):
定理1:保單組合的第i個(gè)事故年的增量賠款額Xij為Beta族分布,且過程是Markov過程,則有如下性質(zhì):
(1)由分部積分法得:
其中,ai為賠款的平均總額,bj為增量賠款占賠款平均總額的百分比:
由式(6)可知λj∈( )0, 1 ,j=1, 2, … ,n,從式(5)可以得到,Xi,j在Xi,j-1條件下的期望是第 i個(gè)事故年的增量賠款額Xi,j的期望值和前一進(jìn)展年的增量賠款額Xi,j-1的以λj為權(quán)重的加權(quán)平均。其中λj越大Xi,j和Xi,j-1的相關(guān)程度越強(qiáng)。若有γj=0 ,則Xi,j和Xi,j-1的相關(guān)程度為0,此時(shí)相關(guān)貝葉斯模型就退化為獨(dú)立的貝葉斯模型。
使用相關(guān)貝葉斯模型計(jì)算未決賠款準(zhǔn)備金時(shí),首先需要根據(jù)貝葉斯方法[2]估計(jì)其中的參數(shù),ai、bj和λj。令:
首先,假設(shè)各參數(shù)的先驗(yàn)分布為:
其次,在上面的假設(shè)下,可以得到變量X,Z的聯(lián)合分布。
定理2:假設(shè)未決增量賠款Xi,j服從Beta族分布,其流量三角形中上三角的所有變量X,Z的聯(lián)合分布滿足:
最后,應(yīng)用貝葉斯原理,可以得到未決賠款分布中各參數(shù)的后驗(yàn)分布如下定理3所述:
定理3:未決賠款額增量賠款分布中參數(shù)滿足下列性質(zhì):
(1)參數(shù)ai的條件后驗(yàn)分布:對(duì)于所有的i=1, …,n有:
(2)參數(shù)bj的條件后驗(yàn)分布:
①當(dāng)j=1時(shí)有,
②當(dāng)j=2, …,n-1時(shí)有:
③當(dāng)j=n時(shí)有:
(3)參數(shù)γj的條件后驗(yàn)分布:對(duì)于所有的j=2,…,n-1有:
模型中參數(shù)后驗(yàn)均值的計(jì)算比較復(fù)雜,可以應(yīng)用數(shù)學(xué)軟件分析其數(shù)值解,再抽樣得到后驗(yàn)分布的樣本,在此基礎(chǔ)上分析參數(shù)的后驗(yàn)均值。
在流量三角形中估計(jì)未決賠款準(zhǔn)備金,需要預(yù)測(cè)未決增量賠款流量三角形中未來未決賠款的增量的大小,本文假設(shè)上三角已知的增量賠款Xij(i=1, …,n,j=1, …,n-i+1)和需要預(yù)測(cè)估計(jì)的下三角中的未決增量賠款有相同的分布形式,根據(jù)Zij在條件X下的分布:
可以進(jìn)一步得到增量賠款的概率密度函數(shù):
若對(duì)所有的i=1, …,n,有,則在條件下的預(yù)測(cè)分布有如下形式:
由于在相關(guān)貝葉斯模型中不適合使用方差,均方誤差等指標(biāo)來評(píng)價(jià)模型的優(yōu)劣。Ibrahim和Laud[4]于1994年提出L測(cè)度,測(cè)度值L()x是方差和偏差的組合,他的大小可以體現(xiàn)模型預(yù)測(cè)的誤差,具體形式如下:
模型中考慮的流量三角形均為增量賠款流量三角形,使用Taylor和Ashe所給的未決增量賠款數(shù)據(jù)集,本文假設(shè)未決增量賠款隨機(jī)變量Xij服從伽馬分布,為了對(duì)比模型預(yù)測(cè)未決賠款準(zhǔn)備金的情況,可以分別應(yīng)用獨(dú)立Gamma過程和相關(guān)Gamma過程來預(yù)測(cè)未決賠款準(zhǔn)備金,分別將兩個(gè)模型的估計(jì)結(jié)果進(jìn)行比較和分析(見表1)。這里應(yīng)用R軟件[5]實(shí)現(xiàn)預(yù)測(cè)模型,并通過Gibbs抽樣[6]的方法來估計(jì)其中的參數(shù)。
表1 增量賠款流量三角形
首先應(yīng)用獨(dú)立貝葉斯模型[7]來預(yù)測(cè)未決賠款準(zhǔn)備金,即Xij是相互獨(dú)立的。
a=(4.168, 5.925, 5.5013, 5.0212, 5.7365, 5.9001,6.4997, 7.2953, 6.2659, 5.4173),(以百萬為單位),
1b=(0.04, 0.15, 0.18, 0.17, 0.10, 0.08, 0.07, 0.05,0.08, 0.03)
由以上估計(jì)的模型參數(shù)的后驗(yàn)均值,可以估計(jì)增量賠款流量三角形下三角的數(shù)據(jù)和各事故年的未決賠款準(zhǔn)備金,通過R語言編程實(shí)現(xiàn)模型,可以得到結(jié)果如下頁表2所示。
表2給出了所有事故年在各個(gè)進(jìn)展年的增量賠款額和各事故年的未決賠款準(zhǔn)備金,再對(duì)各事故年的準(zhǔn)備金求和,即保險(xiǎn)公司所需計(jì)提的未決賠款準(zhǔn)備金約為2132萬元。
表2 獨(dú)立貝葉斯模型增量賠款和準(zhǔn)備金估計(jì)值
然后應(yīng)用相關(guān)貝葉斯模型來預(yù)測(cè)未決賠款準(zhǔn)備金,即Xij是相關(guān)的。
對(duì)所有的i有:
這里需要估計(jì)的參數(shù)有αi,βj,γj,給定參數(shù)的先驗(yàn)分布為:
αi~Gamma( )0.001, 0.001,β~I(xiàn)-Dir(1, …,1),γj~Gamma( )0.01, 0.01
α=(5.1714, 7.4139, 6.3995, 5.4037, 7.4706,7.8652,8.4857, 9.0457, 7.9534, 6.6329)(百萬)
1β=(0.06, 0.28, 0.15, 0.16, 0.07, 0.06, 0.05, 0.04,0.06, 0.02)
λ=(0.70, 0.65, 0.66, 0.13, 0.03, 0.02, 0.02,0.01, 0.01)
由以上估計(jì)的各參數(shù)的后驗(yàn)均值,可以估計(jì)增量賠款流量三角形下三角的數(shù)據(jù)和各事故年的未決賠款準(zhǔn)備金,通過R語言編程實(shí)現(xiàn),得到未決賠款準(zhǔn)備金如表3所示。
表3給出了所有事故年在各個(gè)進(jìn)展年的增量賠款額和各事故年的未決賠款準(zhǔn)備金,再對(duì)各事故年的準(zhǔn)備金求和可得總的未決賠款準(zhǔn)備金為2061萬元。
分別對(duì)ξ=0, 1 2, 1三個(gè)不同的取值分別計(jì)算兩種模型估計(jì)未決賠款準(zhǔn)備金的L測(cè)度值:由表4可知,相關(guān)貝葉斯模型的L測(cè)度在各種ξ取值下估計(jì)的誤差值都比獨(dú)立貝葉斯模型的L測(cè)度值要小。顯然,針對(duì)這個(gè)實(shí)例估計(jì)的未決賠款準(zhǔn)備金,使用相關(guān)貝葉斯模型估計(jì)的值更準(zhǔn)確合理。
本文將Enrique de Alba和Luis E.Nieto-Barajas(2008)提出的相關(guān)貝葉斯模型中增量賠款的分布推廣到Beta分布族,建立基于Beta族分布的未決賠款準(zhǔn)備金評(píng)估模型。在此理論基礎(chǔ)上,使用流量三角形來預(yù)測(cè)保險(xiǎn)公司所需計(jì)提的未決賠款準(zhǔn)備金。并使用R軟件編程實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)備金的隨機(jī)評(píng)估模型,通過Gibbs抽樣估計(jì)模型中的參數(shù)ai、bj和λj,計(jì)算未決賠款準(zhǔn)備金的估計(jì)值和估計(jì)偏差的L測(cè)度值,分析估計(jì)值的性質(zhì)和優(yōu)劣。但文中沒有考慮各事故年增量賠款之間的相關(guān)性,而且抽樣統(tǒng)計(jì)分析也還存在一定的誤差,這些問題都還有待于進(jìn)一步的研究。
表3 相關(guān)貝葉斯模型增量賠款和準(zhǔn)備金估計(jì)值
表4 兩種模型的L測(cè)度值比較