基于新息優(yōu)先累積法的GM(0,N)模型及其應(yīng)用

袁 泉，曾祥艷

（桂林電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，廣西 桂林 541004）

0 引言

GM(0,N)模型考慮了多個相關(guān)因素對預(yù)測序列的影響，并且需要的樣本數(shù)據(jù)量小，彌補(bǔ)了線性回歸模型樣本容量需求較大的不足，因此在預(yù)測和決策領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用[1,2]。GM(0,N)模型常用的參數(shù)估計(jì)法為最小二乘法[3]：通過誤差平方和的最小化，尋找數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)匹配，但是這種對誤差的假設(shè)會造成預(yù)測模型的結(jié)構(gòu)參數(shù)與估值之間的偏離或不一致。

1778年，意大利數(shù)學(xué)家P.Marchsi提出累積法：利用樣本數(shù)據(jù)的加權(quán)累加直接估計(jì)模型參數(shù)，不需對誤差進(jìn)行假設(shè)，其幾何意義是尋找樣本點(diǎn)的一條重心線，能保證預(yù)測誤差和趨于零[4]。累積法在經(jīng)濟(jì)計(jì)量和工程技術(shù)模型的結(jié)構(gòu)參數(shù)估算中已經(jīng)得到廣泛應(yīng)用[5-7]。李鋒等已將累積法引入GM(0,N)模型中，提高了模型的預(yù)測精度[8]。但是普通累積法存在越老的數(shù)據(jù)占的權(quán)重越大，越新數(shù)據(jù)占的權(quán)重越小的問題，這與實(shí)際情況相悖，在現(xiàn)實(shí)中，新的信息對未來發(fā)展趨勢的影響更大，所以，本文將基于新息優(yōu)先的原則，改變累積法的累加順序，使越新的數(shù)據(jù)占的權(quán)重越大，并將其引入GM(0,N)模型的參數(shù)估計(jì)中，提高模型的預(yù)測精度。

1 新息優(yōu)先累積法

在實(shí)際情況中，預(yù)測需要更多地考慮最新的發(fā)展動態(tài)，新的信息對未來的影響大于舊的信息[9,10]。新息優(yōu)先累積法就是基于越新的數(shù)據(jù)的權(quán)重越大，越老的數(shù)據(jù)的權(quán)重越小的原則。

設(shè)原始序列為：X={x1，x2，…，xn}，定義各階新息優(yōu)先累積和如下：

依此類推，對任意自然數(shù)r，有：

特別地，對序列長度為n的X={1，1，…，1}，稱D(r)1為r階基本新息優(yōu)先累積和，其計(jì)算通式為：

2 基于新息優(yōu)先累積法的GM(0,N)模型

GM(0,N)模型是變量導(dǎo)數(shù)階數(shù)為0的靜態(tài)灰色模型，基于原始數(shù)據(jù)的一次累加生成序列進(jìn)行建模，一次累加生成可將非負(fù)序列生成為遞增序列，從而增加序列的規(guī)律性。GM(0,N)模型含有多個變量，能反映多個相關(guān)因素對系統(tǒng)行為的影響。

對上述N個序列分別做一次累加生成（1-AGO）：

并設(shè)Xi(1)為Xi(0)的一次累加生成序列，即：

GM(0,N)模型的定義型方程為：

其中，a，b2，b3…，bN為模型參數(shù)。

下面，將新息優(yōu)先累積法引入GM(0,N)模型的參數(shù)估計(jì)，假設(shè)新息優(yōu)先累積算子的最高階數(shù)為r，由GM(0,N)模型的參數(shù)有N個，因此r≥N，對GM(0,N)模型方程（4）兩邊施加1至r階新息優(yōu)先累積算子，得下列方程組：

其中：

則方程組可以寫為矩陣形式：

對a?的估計(jì)分為以下三種情況：

（1）若r=N，A是非奇異矩陣。此時A-1存在，參數(shù)估計(jì)式為：a?=A-1Y；

（2）若r=N，A是奇異矩陣，且存在r＞N使得A是非奇異矩陣。此時取滿足條件最小的r，參數(shù)估計(jì)為：

a?=(ATA)-1ATY；

（3）若對任意r≥N，A均為奇異矩陣。此時更換原始數(shù)據(jù)的選取方式即可轉(zhuǎn)換為情況（1）或情況（2）。

在實(shí)際應(yīng)用中，一般A-1存在，所以，取r=N，參數(shù)a，b2，b3…，bN的估計(jì)為：

參數(shù)估計(jì)后，由基于新息優(yōu)先累積法的GM(0,N)模型的定義型方程（4）即可得到系統(tǒng)行為特征數(shù)據(jù)序列的預(yù)測值

3 實(shí)例分析

3.1 實(shí)例一：水電發(fā)電量

取2009—2012年我國的年水電發(fā)電量作為模型的行為特征數(shù)據(jù)序列，相應(yīng)年份的水電裝機(jī)容量與國內(nèi)生產(chǎn)總值作為模型的相關(guān)因素序列。相關(guān)數(shù)據(jù)見表1所示。其中國內(nèi)生產(chǎn)總值水電發(fā)電量與國內(nèi)生產(chǎn)總值的數(shù)據(jù)來源為《中國統(tǒng)計(jì)年鑒》，水電裝機(jī)容量的數(shù)據(jù)來源為《全國電力工業(yè)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)》。

表1 2009—2012年我國的水電發(fā)電量及相關(guān)因素

原始數(shù)據(jù)包含一個系統(tǒng)行為特征數(shù)據(jù)序列與兩個系統(tǒng)相關(guān)因素序列：

建立GM(0,3)模型：

基于新息優(yōu)先累積法估計(jì)模型參數(shù)有：

可得:

則模型的預(yù)測公式為：

由式（8）計(jì)算可得模型預(yù)測值，對2013—2015年我國水電發(fā)電量進(jìn)行預(yù)測，并與基于最小二乘法和基于文獻(xiàn)[9]給出的累積法建立的GM(0,3)模型的預(yù)測結(jié)果進(jìn)行對比，見表2所示。

表2 三種參數(shù)估計(jì)法的GM(0,3)模型的預(yù)測結(jié)果比較

顯然基于新息優(yōu)先累積法的GM(0,3)模型的預(yù)測值更接近于實(shí)際值，預(yù)測精度更高。

3.2 實(shí)例二：社會消費(fèi)品零售總額

取2008—2012年我國的社會消費(fèi)品零售總額作為行為特征數(shù)據(jù)序列，選取國內(nèi)生產(chǎn)總值、年末總?cè)丝谂c貨幣供應(yīng)量這3個因素，作為模型的相關(guān)因素序列。相關(guān)數(shù)據(jù)見表3所示。數(shù)據(jù)來源為《中國統(tǒng)計(jì)年鑒》。

表3 2008—2012年我國的社會消費(fèi)品零售總額及相關(guān)因素

建立基于新息優(yōu)先累積法的GM(0,4)模型，模型的預(yù)測公式為：

由式（9）計(jì)算得模型預(yù)測值，對2013—2015年我國的社會消費(fèi)品零售總額進(jìn)行預(yù)測，并與基于最小二乘法和文獻(xiàn)[9]給出的累積法GM(0,4)模型的預(yù)測結(jié)果比較，見表4所示。

表4 三種參數(shù)估計(jì)法的GM(0,4)模型的預(yù)測結(jié)果比較

由表4可看出基于新息優(yōu)先累積法的GM(0,4)模型的預(yù)測結(jié)果優(yōu)于另兩個模型，而且短期預(yù)測的精度更高。

4 結(jié)束語

本文改進(jìn)了普通累積法，提出以越新的數(shù)據(jù)的權(quán)重越大為原則的新息優(yōu)先累積法，并建立了基于新息優(yōu)先累積法的GM(0,N)模型。兩個實(shí)例驗(yàn)證的結(jié)果表明新息優(yōu)先累積法GM(0,N)模型的預(yù)測精度相對于最小二乘法及普通累積法有了很大的提升。