數(shù)形結(jié)合思想引入高中數(shù)學(xué)解題的實(shí)踐分析

馬新藝

(山東省泰安市第一中學(xué)　271000)

高中數(shù)學(xué)是初中數(shù)學(xué)的延伸，不僅難度更高，邏輯性也越來越強(qiáng)，這便對我們的基礎(chǔ)知識以及發(fā)散性思維提出了考驗(yàn).解題過程中，因?yàn)轭}目難度加大，為了提高解題效率與準(zhǔn)確性，可以使用數(shù)形結(jié)合思想，一方面降低題目難度，另一方面則能夠使題目更加直觀地加以體現(xiàn)，從而快速、高效地完成解題.當(dāng)前學(xué)習(xí)過程中，對于數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用存在一些疑惑，需要通過深入分析尋求解決方法.

一、數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用要點(diǎn)

1.數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)

數(shù)學(xué)知識比較乏味，如果學(xué)習(xí)期間缺乏興趣，很容易影響學(xué)習(xí)效果.尤其是針對函數(shù)這一類難度較大的知識點(diǎn)，學(xué)習(xí)起來更是提不起興趣.如果在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，可以將抽象的數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)化為具體的圖象，方便了理解，使數(shù)學(xué)的邏輯性減弱，從而提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率.

2.數(shù)學(xué)作業(yè)解題

我們完成數(shù)學(xué)作業(yè)時，經(jīng)常會面臨一些難度較大的習(xí)題，再加上沒有老師從旁引導(dǎo)，可能無法順利完成求解.如果應(yīng)用有效的解題方法，便可以降低難度，通過圖象的解析透徹理解題目含義，從而保證作業(yè)質(zhì)量，如例2，作業(yè)中有這樣一道習(xí)題，如果只是單純的讀題，求解可能存在難度，這時可以借助數(shù)形結(jié)合思想.

例2已知點(diǎn)M(3,5)，在y軸和直線y=x上分別找一點(diǎn)P和N，使得△MNP的周長最?。?/p>

解析作點(diǎn)M(3,5)關(guān)于y軸和直線y=x的對稱點(diǎn)M1,M2，則|MP|=|M1P|,|MN|=|M2N|，所以△MNP的周長等于|M1P|+|PN|+|M2N|,當(dāng)且僅當(dāng)M1,M2,P三點(diǎn)共線時取最小值，所以點(diǎn)P,N應(yīng)為直線M1M2和y軸與直線y=x的交點(diǎn)．

作點(diǎn)M(3,5)關(guān)于y軸和直線y=x的對稱點(diǎn)M1,M2，則點(diǎn)M1,M2的坐標(biāo)分別為(-3,5),(5,3).

整理得x+4y-17=0，即為直線M1M2的方程.

二、數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

1.在向量中應(yīng)用

向量是高中數(shù)學(xué)中的知識點(diǎn)之一，通過學(xué)習(xí)可以了解到，教材中主要是以數(shù)、形這兩個方面進(jìn)行向量的研究與建構(gòu)，比如向量以幾何、平行四邊行法則等方式表示，使向量更加體現(xiàn)“形”的特點(diǎn).因此，學(xué)習(xí)向量這一部分知識時，最為關(guān)鍵的便是具備數(shù)形結(jié)合思想.因?yàn)橄蛄孔鴺?biāo)主要使用代數(shù)進(jìn)行表示，所以針對向量問題的處理很多時候都會關(guān)注“數(shù)”，反而忽略了形.為了全面提升我們的解題水平,需要在求解向量習(xí)題時使用數(shù)形結(jié)合思想，如例3所示.

2.在集合中應(yīng)用

數(shù)形結(jié)合思想在集合這一知識點(diǎn)中的體現(xiàn)，其作用是幫助我們更加形象的理解.通常集合運(yùn)算其間，都會使Venn圖、數(shù)軸或者直角坐標(biāo)系的方式，將題目直觀地體現(xiàn).實(shí)際學(xué)習(xí)或者解題時，一般以Venn圖來表示離散的集合元素，以數(shù)軸表示連續(xù)的集合元素，如果集合為點(diǎn)集，這時則可以使用直角坐標(biāo)系對元素進(jìn)行表示，進(jìn)而完成求解，如例4所示.

例4設(shè)f(x)是定義在R上以2為周期的函數(shù),對于k∈Z用Zk表示區(qū)間(2k-1,2k+1),已知x∈Z0時,有f(x)=x2.

(1)求f(x)在Zk上的解析式;

(2)對于自然數(shù)k,求集合Mk={a|使方程f(x)=ax在Zk上有兩個不相等的實(shí)根}.

解析(1)如上圖從圖形可以看出f(x)=(x-2k)2.

(2)如下圖由f(x)=ax,x∈Zk,得(x-2k)2=ax，

從中解得:0

3.在不等式中應(yīng)用

例5已知實(shí)數(shù)a、b，滿足a+b=1.求證：(a-3)2+(b+4)2≥2.

解析本題看似是不等式證明題，但是我們通過分析，不等式左端是距離的平方的形式，由已知條件，我們可以把問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)在直線上的位置關(guān)系，進(jìn)而由點(diǎn)到直線的距離公式求解.

綜上所述，在高中數(shù)學(xué)解題中使用數(shù)形結(jié)合思想，能夠幫助我們理解習(xí)題，降低難度，使數(shù)學(xué)習(xí)題更加具體化，從而快速完成求解，這對于我們今后數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)有非常重要的幫助.