劉 紅

(重慶市第一中學?！≈貞c　400030)

高中物理研究的物體一般可以看作質(zhì)點，所謂質(zhì)點就是有質(zhì)量但不存在體積或形狀的點，是物理學的一個理想化模型．物體的實際運動往往要復雜得多，我們要研究這個物體的整體運動，就只需找到這個物體的質(zhì)量中心即質(zhì)心(質(zhì)心，指物質(zhì)系統(tǒng)上被認為質(zhì)量集中于此的一個假想點)的運動即可．物體任何一部分的運動一般都可分解為質(zhì)心的運動和物體的該部分相對于質(zhì)心的運動，如圖1所示的跳水運動員的運動就是如此．

圖1　跳水運動員的運動

多個物體組成的質(zhì)點組中任何一個物體的運動一般都可分解為質(zhì)點組質(zhì)心的運動和該物體相對于質(zhì)點組質(zhì)心的運動．所以求物體或質(zhì)點組的質(zhì)心就顯得特別重要．在對學有余力的高中生進行物理競賽培訓時，就會涉及到求物體的質(zhì)心．

本文就均質(zhì)半圓環(huán)、半圓盤、半球體質(zhì)心的求法做一些探討，以期在這方面有一點作用．因為面對的是中學生，所以微元的選取只限于一維情況．

1　質(zhì)心的定義

如圖2所示的物體組，參考位置為O．

圖2　質(zhì)心的定義

2　巴普斯定理

(1)在一平面上取任一閉合區(qū)域，其面積為S，使它沿垂直于該區(qū)域的平面運動形成一個體積為V的立體，那么這個立體圖形的體積就等于質(zhì)心所經(jīng)路程r乘以區(qū)域面積．表達式為V=Sr．

(2)設(shè)某一長為L的曲線段，讓它沿著垂直于它所在平面的方向掃過一個面積S，那么這個面積的大小就等于線段的質(zhì)心移動的距離r乘以線段的長度．表達式為S=Lr．

【例1】已知半圓環(huán)質(zhì)量為M，半徑為R．求它的質(zhì)心位置？

方法一：巴普斯定理

圖3　半圓盤繞直徑360°形成空心球

方法二：旋轉(zhuǎn)法

據(jù)半圓環(huán)的對稱性知它的質(zhì)心在對稱軸上，設(shè)質(zhì)心距圓心距離為r．讓半圓環(huán)繞它的直徑在半圓環(huán)平面內(nèi)轉(zhuǎn)過一個極小角度Δθ(Δθ→0)，如圖4所示．

圖4　半圓環(huán)轉(zhuǎn)過一個極小角度

xc=r·Δθ=

代入

就得

方法三：微元法

據(jù)半圓環(huán)的對稱性知它的質(zhì)心在對稱軸上，即在圖5的y軸上．設(shè)質(zhì)心距圓心距離為r(即yc=r)．

圖5　質(zhì)心在y軸上

半圓環(huán)上任意一點的坐標

x=Rcosθy=Rsinθ

半圓環(huán)上微小長度為R·Δθ，設(shè)半圓環(huán)單位長度的質(zhì)量為λ，則

據(jù)質(zhì)心的定義有

所以

代入

可得

【例2】已知半圓盤質(zhì)量為M，半徑為R．求：它的質(zhì)心位置？

方法一：巴普斯定理

得到

方法二：等效半圓環(huán)

圖7

代入

可得

方法三：微元法

半圓盤可以看成有無數(shù)多個矩形組成，如圖8所示．半圓盤邊沿上任意一點的坐標x=Rcosθ,y=Rsinθ．

圖8　半圓盤可看成無數(shù)個矩形組成

又因為

Δy=Δ(Rsinθ)=Rcosθ·Δθ

所以

代入

就得

【例3】已知半球質(zhì)量為M，半徑為R．求：它的質(zhì)心位置.

方法一：巴普斯定理

圖9　半球等效

據(jù)質(zhì)心的定義即可求出半球的質(zhì)心

所以關(guān)鍵就在求圓錐的質(zhì)心．

設(shè)圓錐的質(zhì)心距其底面的距離hc，如圖10所示．圓錐的底面向下移動微小距離Δh(Δh→0)，據(jù)質(zhì)心的定義和圓椎體質(zhì)心的相似性知

圖10　圓錐質(zhì)心距底面hc

可求出新圓錐體的質(zhì)心

化簡得

又因為Δh→0，略去二階小量，所以

代入得半球的質(zhì)心為

方法二：微元之圓柱法

半球可以看作是由無窮多個圓柱組成，如圖11所示．

圖11　半球看成無窮多個圓柱

據(jù)對稱性可知質(zhì)心在對稱軸上，據(jù)質(zhì)心的定義有

所以

方法三：微元之球殼法

半球體可以看作有無窮多個半球殼組成，如圖12所示．

圖12　半球體看作無窮多個半球殼

只要知道半球殼的質(zhì)心位置，就可求得半球的質(zhì)心位置．設(shè)半球殼的面密度為σ，半球殼可以看作有無窮多個矩形組成，如圖13所示．

圖13　半球殼看作無窮多個矩形

據(jù)質(zhì)心的定義知半球殼的質(zhì)心位置

設(shè)半球的體密度為ρ，則據(jù)質(zhì)心的定義知半球的質(zhì)心位置

通過對半圓環(huán)、半圓盤、半球體質(zhì)心多種求法的討論，打開了學生的思路，展示了微積分處理問題的思想方法，體現(xiàn)了數(shù)學、物理知識的融合，為學生以后解決更復雜的物理問題奠定了基礎(chǔ)．