盧　明

(浙江省海鹽縣元濟高級中學　314300 )

2017年，浙江作為全國高考綜合改革試點省，首次實行數(shù)學文理合卷．面對全省25萬報考類別不同的考生，要命制出一份既要照顧數(shù)學相對較弱的文科生、藝術(shù)類考生，又要控制理科尖子生的高分，還要兼顧高校選拔性考試的區(qū)分度，十分不易．高考下來，試卷的實踐效果怎樣呢？是否實現(xiàn)了命題預(yù)期？與前幾年的試卷相比有何不同？對高中數(shù)學教學有何啟示？圍繞以上問題，筆者與大家分享自己的一些觀點，歡迎批評指正．

1　試卷概況

回顧整卷，今年的浙江數(shù)學試卷與前兩年相比有明顯不同，主要體現(xiàn)以下變化.

1.1　試卷結(jié)構(gòu)有所調(diào)整

今年的試卷結(jié)構(gòu)有所變化，總題量從20題增加至22題，主要增加選擇題，即從原來的8題變?yōu)?0題，分值從每題5分降至4分；填空題、解答題的題量和分值沒有變化；5道解答題均采用分步設(shè)問，除第22題分3步外，其余都是分2步．試卷結(jié)構(gòu)變化的目的是增加考生的得分機率，以適應(yīng)文理合卷的需要．

1.2　嘗試新的命題策略

實行文理合卷以后，過去文理分卷的命題策略不再適用，必須尋求新的策略．今年命題采用的策略是：“文科起點，理科終點，有效區(qū)分．”所謂“文科起點”就是“保底分”，如選擇題第1～3題和填空題第11、12題，起點較低，只要仔細做，一般都能做對；所謂“理科終點”就是“有效壓軸”，控制高分人數(shù)；所謂“有效區(qū)分”，就是通過增加中檔題和分步設(shè)問，讓不同水平的考生有不同的表現(xiàn)，滿足選拔需要．從閱卷信息反饋看，基本符合命題專家的預(yù)期．(見表1)

表12017年浙江高考數(shù)學平均分一覽表(含0分)

題型(次)省平均難度系數(shù)選擇題28.50.71填空題18.190.51第18題(三角函數(shù))10.90.78第19題(立體幾何)8.390.56第20題(導(dǎo)數(shù))5.440.36第21題(解析幾何)4.920.33第22題(數(shù)列)2.420.16卷面總分78.760.53

所謂“含0分”是浙江閱卷統(tǒng)計的一個口徑，即包含缺考情況的平均分．數(shù)據(jù)表明，填空題和立體幾何題的難度系數(shù)分別為0.51和0.56，說明有很好的區(qū)分度；選擇題、導(dǎo)數(shù)題和解析幾何題的難度系數(shù)分別為0.71、0.36和0.33，說明有較好的區(qū)分度；數(shù)列題的難度系數(shù)為0.16，說明壓軸效果顯著．

1.3　減少了繁瑣的分類討論

“分類討論”是高中數(shù)學的重要數(shù)學思想，它反映了一個人的思維品質(zhì)．如何考查分類討論思想？以往的考題設(shè)計往往將分類情況搞得過于復(fù)雜，把對思維品質(zhì)的考查變成了繁瑣的技能操作．事實上，一個考生是否具有分類討論的思維品質(zhì)，只需看他在面對不確定的因素時是否擁有分類討論的意識，能自覺地進行分類討論，至于分二類、三類或更多類，本質(zhì)上沒有多大差異．今年的試題較好地處理了這個問題，需要進行分類討論的試題為第16、17題，每題的最佳分類種數(shù)都只有2種．此外，往年的導(dǎo)數(shù)(函數(shù))解答題都需要進行分類討論，今年的導(dǎo)數(shù)題不需要分類討論．

1.4　堅守“風格”穩(wěn)中有變

自2004年浙江高考自主命題以來，逐步形成了自己的命題風格．如：小題小做，大題大做，分散壓軸等．所謂“小題小做”，即客觀題主要考查基本概念、基本運算、基本方法和簡單應(yīng)用，不需要復(fù)雜運算；所謂“大題大作”，即主觀題著重考查學生綜合運用知識解決實際問題的能力和思維的靈活性，有一定的計算量，對數(shù)學素養(yǎng)有較高要求；所謂“分散壓軸”，即選擇、填空的最后一題均為壓軸題，解答題的最后兩大題均有壓軸的成分，以分段“把關(guān)”．本卷基本延續(xù)了以往的“風格”，但是，選擇題第10題、填空題第17題的難度較往年要低，第10題只要向量數(shù)量積的概念清晰，通過對圖形的觀察、估算和推理，即可得出結(jié)論，壓不了軸．解答題第19題第二問、第20題的難度顯著高于往年．

總之，今年的浙江數(shù)學試卷較好地貫徹了“文科起點、理科終點、有效區(qū)分”的命題策略，試題起點低、坡度緩、中檔題數(shù)量較多，區(qū)分度較好，突出創(chuàng)新性和選拔性．

2　主要亮點

今年的浙江數(shù)學卷整體結(jié)構(gòu)穩(wěn)定、難度合理，對科學選人、深化課改，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神和實踐能力，提升核心素養(yǎng)，有積極的導(dǎo)向作用．概括起來主要有以下幾點：

2.1　敘述簡捷，干練流暢

數(shù)學命題，“命題者都應(yīng)堅持數(shù)學‘兩點間線段最短’的思想——明了、簡捷，不宜在題目的表述上作文字游戲——繞來繞去．”本卷的每一道題堅持做到表述簡捷、明了，不讓考生在讀題上花費過多的時間，不給考生在理解題意上造成太多的困難，不因試題表述不當而產(chǎn)生歧義，讓考生看得明白，做得踏實．

2.2　滲透文化，弘揚精神

教育部考試中心專家指出：“2017年新修訂的數(shù)學考試大綱提出了加強數(shù)學文化考查的要求．”浙江數(shù)學命題專家認真落實上述要求，如第11題，以我國古代數(shù)學家劉徽、祖沖之如何創(chuàng)立、發(fā)展“割圓術(shù)”的歷史文化為背景，開了近幾年來浙江卷的先河，充分展現(xiàn)數(shù)學的思想性、創(chuàng)造性、民族性和世界性，弘揚了民族精神．

2.3　注重基礎(chǔ)，突出素養(yǎng)

本卷加強對基礎(chǔ)知識和通性通法的考查，試題的呈現(xiàn)和解答注重常規(guī)思路和基本方法．基礎(chǔ)題主要考查高中數(shù)學最基本的概念，中檔題一般在知識的交匯點處考查主干知識，較高難度題則需要數(shù)學思維能力強、學科素養(yǎng)高的考生才可能做好．

數(shù)學核心素養(yǎng)是具有數(shù)學基本特征、適應(yīng)個人終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格與關(guān)鍵能力．高中階段的數(shù)學核心素養(yǎng)包括：數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析．本卷突出對數(shù)學核心素養(yǎng)的考查，如：第8題，知識點為隨機變量的分布列、數(shù)學期望和方差，專家通過改進試題的表述方式來考查學生的“數(shù)學抽象”素養(yǎng)．再如：

(第19題)如圖1，已知四棱錐P-ABCD，△PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E為PD的中點．

圖1

(1)證明：CE∥平面PAB；

(2)求直線CE與平面PBC所成角的正弦值．

本題在考查線面關(guān)系等基礎(chǔ)知識的同時，重點考查學生的直觀想象、數(shù)學運算、邏輯推理三大數(shù)學素養(yǎng)．

在解第(2)問時，直觀想象能力比較差的考生誤以為平面PAD⊥平面ABCD，導(dǎo)致直角坐標系建錯．事實上，平面PAD與平面ABCD成120°的二面角，建系前，首先要對該二面角的大小作出判斷，關(guān)鍵是要求出PB的長度，難點是發(fā)現(xiàn)∠PBC=90°．此處可以鑒別學生的數(shù)學素養(yǎng)水平．

本題的第一問為6分，第二問為9分，全省平均分為8.39(含0分)，難度系數(shù)為0.56，說明本題的區(qū)分度很好．

解(2)：向量法

取AD的中點O，連結(jié)PO，BO，設(shè)PC=AD=2.

在直角三角形PAD中，

因為PA=PD，所以PO⊥AD.

又四邊形BCDO為正方形，所以BO⊥AD，

所以AD⊥面PBO，

因為AD∥BC，

所以BC⊥面PBO，

所以BC⊥PB.

又PO=BO=1，

所以∠BOP=120°．

以O(shè)為原點，OB、OD所在直線分別為x軸、y軸，建立直角坐標系(如圖1)，得

設(shè)平面PBC的法向量為n=(x,y,z)，則

設(shè)直線CE與平面PBC所成角為θ，

點評本題也可以用幾何法解，但添輔助線的過程非常復(fù)雜，空間想象能力弱的學生難以想到，相對而言，向量法要簡單一些．本題對考生的直觀想象、數(shù)學運算和邏輯推理素養(yǎng)有較高的要求．

2.4　質(zhì)樸無華，彰顯功力

本卷試題對考生來講，絕大多數(shù)背景熟悉，設(shè)問方式常規(guī)，解題方法基本，給人以“題在書外、根在書中”的感覺．如：

(1)求f(x)的導(dǎo)數(shù)；

題目指向明確，一目了然．第一問考查導(dǎo)數(shù)計算、數(shù)學運算素養(yǎng)．許多考生求導(dǎo)時出錯，表現(xiàn)出對根式和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)不夠熟練，數(shù)學運算素養(yǎng)較低．第二問是求f(x)在給定區(qū)間上的取值范圍，涉及到函數(shù)的單調(diào)性與最值，對運算能力要求高，綜合性較強．本題全省平均為5.44分，難度系數(shù)為0.36，中等及以下學生上手困難，區(qū)分度較好．

再如：

圖2

(1)求直線AP斜率的取值范圍；

(2)求|PA|·|PQ|的最大值．

本題考查直線方程、直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，同時考查解析幾何的基本思想方法和數(shù)學運算素養(yǎng)．本題的解題思路、方法常規(guī)，避開了平時學生大量操練的“韋達定理+Δ”解題模式．第一問的解為第二問的求解提供了鋪墊和思維引導(dǎo)．然而，解第二問的關(guān)鍵是如何求出Q點的坐標、如何將|PA|·|PQ|轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的最值問題，這需要有深厚的數(shù)學功底和優(yōu)良的思維品質(zhì)，包括解析幾何的思維方式、熟練的數(shù)學運算能力和戰(zhàn)勝困難的勇氣，正如考生所言：“題中到處有關(guān)卡，知道方向也算不到底．”

本題除了命題組提供的解法外還可以用向量法“秒殺”，即巧妙運用向量的投影來求向量的數(shù)量積，具體解法如下：

因為BQ⊥AP，

2.5　創(chuàng)新設(shè)計，入口寬泛

本卷許多試題給考生預(yù)留了多角度思維的空間，入口寬，解題途徑比較多．選擇的切入點不同，解題過程的簡捷程度也不同，通過“耗時”差異可以區(qū)分考生的思維水平，充分體現(xiàn)以知識為載體、方法為依托、能力為導(dǎo)向的命題導(dǎo)向．如：

(第15題)已知向量a，b滿足|a|=1，|b|=2，則|a+b|+|a-b|的最小值是，最大值是 .

解法一(轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃) 令x=|a+b|，y=|a-b|，則x,y∈[1,3]，等價于求x+y的最值．

因為x2+y2=2a2+2b2=10．于是，

由圖3知(x+y)min=3+1=4，

圖3

解法二(轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)) 設(shè)=θ∈[0,π]，則

換元 令4cosθ=t∈[-4,4]，

點評顯然，解法二的計算量明顯高于解法一．本題還可以有其它解法，這里不再一一贅述．

再如：

(第22題)已知數(shù)列{xn}滿足：x1=1，xn=xn+1+ln(1+xn+1)(n∈N*)．

證明：當n∈N*時，(1)0

(下面僅對第一問作解析)

解法一用數(shù)學歸納法證明xn>0.

當n=1時，x1=1>0，命題成立；

假設(shè)n=k(k≥1)時，xk>0成立，

則n=k+1時，若xk+1≤0，

則00；

綜上，對任意n∈N*，xn>0．

所以，xn=xn+1+ln(1+xn+1)>xn+1．

即當n∈N*時，0

解法二易知對任意的x>-1，

有l(wèi)n(1+x)≤x，當且僅當x=0時取等.

所以xn=xn+1+ln(1+xn+1)≤xn+1+xn+1

=2xn+1，(※)

所以xn+1與xn同號，由遞推知xn+1與x1同號，

因為x1=1>0，故xn+1>0，

又由(※)得，xn-xn+1=ln(1+xn+1)>0，

所以0

點評解法一比較容易想到，難點在于反證法的應(yīng)用，因為平時學生很少使用；解法二的思維品質(zhì)比較高，難點在于是否熟悉ln(1+x)≤x這個結(jié)論，并能熟練地運用遞推思維和作差比較法．本題還可以用其它解法．

3　對教學的啟示

今年的浙江數(shù)學卷注重考查核心概念、基本技能和基本數(shù)學思想方法，重通性通法，淡化技巧，不出偏題怪題，充分體現(xiàn)對“課標”的執(zhí)行力，同時加強了對數(shù)學核心素養(yǎng)的考查，對未來的高中數(shù)學教學有積極的指導(dǎo)意義．

3.1　讀懂用好“課標”，使教學更專業(yè)

教學是教師的專業(yè)實踐，這種專業(yè)性體現(xiàn)在通過專業(yè)方案的設(shè)計、實施與評估，以規(guī)范或指導(dǎo)學生的學習過程，即促進學生的學習．方案(即教案)的專業(yè)性是教學專業(yè)性的前提，而基于《課程標準》(即“課標”)設(shè)計教案是實現(xiàn)方案專業(yè)的必要條件．《課程標準》是宏觀體現(xiàn)國家意志的、基于學科邏輯的育人目標．然而，在平時的教學中，許多教師對“課標”不夠重視，或?qū)Α罢n標”有曲解，導(dǎo)致教學游離于“課標”，使原本專業(yè)的教學變得隨意了，喪失了專業(yè)的權(quán)威，給旁人質(zhì)疑“教師”是專業(yè)人員留下了把柄．今年的浙江卷第22題第二問，曾經(jīng)有老師用“泰勒—麥克勞林”展開給出了漂亮的證明，于是，有老師提議今后教學應(yīng)該補充“泰勒展開”的內(nèi)容．事實上，命題組給出的解法根本不需要“泰勒展開”知識．假如只是為了獲得某種解題方法或技巧就隨意地補充課程內(nèi)容，是“課標”意識淡薄的表現(xiàn)，會給學生造成過重的學業(yè)負擔．必須明確，“課標”是教師教學依據(jù)的“法律”，依“法”施教是甄別教師教學是否“專業(yè)”的重要標志．華東師范大學崔允漷教授指出：“‘教育目的’的具體化是《課程標準》，而《課程標準》的具體化就是‘學習目標’”換言之，《課程標準》是教師教學設(shè)計最重要的依據(jù)，惟有基于“課標”教學，才能將育人目標落地．

3.2　重視夯實基礎(chǔ)，落實分層要求

所謂“基礎(chǔ)”，是指基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想方法和基本活動經(jīng)驗，它是形成素養(yǎng)的基礎(chǔ)，脫離了“基礎(chǔ)”，何談素養(yǎng)？不要誤解，強調(diào)核心素養(yǎng)了，再提“基礎(chǔ)”過時了．針對高考數(shù)學文理合卷，“文科起點，理科終點”將成為命題發(fā)展的必然趨勢．今年浙江的數(shù)學卷整卷難度系數(shù)(含0分)為0.53，表明有很好的區(qū)分度，試卷難度定位合理．對多數(shù)學生來講，卷面上基礎(chǔ)題和中檔題是反映其數(shù)學水平的主要方面，所以，重視基礎(chǔ)是數(shù)學教學必須遵循的原則．然而，文理合卷后壓軸題的難度并沒有降低，故分層教學顯得更為重要．讓有不同數(shù)學需求的學生學習不同的數(shù)學，實現(xiàn)差異學習；讓有不同數(shù)學興趣的學生學習有用的數(shù)學，實現(xiàn)意義學習，使得不同層次的學生都學有所獲，各得其所，是分層教學追求的目標，也是高校選拔人才對高中數(shù)學教學的期望．

3.3　培育核心素養(yǎng)，提升發(fā)展后勁

人成功的基礎(chǔ)是：“知識+機遇+思維方法”．學習數(shù)學，除了獲取必要的數(shù)學知識和掌握必要的數(shù)學技能之外，更重要的是獲得基本的數(shù)學素養(yǎng)，會用數(shù)學的眼光觀察世界，會用數(shù)學的思維思考世界，會用數(shù)學的語言表達世界．2001年前，我國基礎(chǔ)教育強調(diào)落實“雙基”，之后的15年，提出了落實“三維目標”，如今深化高中課程改革，強調(diào)培養(yǎng)和提高學生的核心素養(yǎng)．從“雙基”到“三維目標”，其先進性表現(xiàn)在從關(guān)注“知識與技能”轉(zhuǎn)向關(guān)注學生作為“人”的素質(zhì)，將育人目標作為一種整體來認知，但它還有不足，即只關(guān)注目標的呈現(xiàn)方式，卻沒有明確目標的實質(zhì)內(nèi)涵．核心素養(yǎng)概念的提出，是對“三維目標”的進一步發(fā)展，對學生受教育后習得素養(yǎng)的內(nèi)涵有了明確的表述，便于檢測與評價．數(shù)學核心素養(yǎng)是數(shù)學課程目標的集中體現(xiàn)，它是在數(shù)學學習的過程中逐步形成的．教師要與時俱進，更新觀念，了解學生核心素養(yǎng)的習得規(guī)律、行為表現(xiàn)和檢測方法，嚴格基于“課標”教學，讓學生通過“正確”的過程學習“正確”的知識，習得數(shù)學核心素養(yǎng)，改變記憶模仿、“刷題”等非數(shù)學的方法學數(shù)學的狀態(tài)，使學生的數(shù)學關(guān)鍵能力和學習力獲得提升，實現(xiàn)學習意義的增值．