潘澤源
(江蘇省宜興中學(xué),江蘇 宜興 214206)
泛灰數(shù)學(xué)在機(jī)器人機(jī)構(gòu)誤差分析中的應(yīng)用,為實(shí)際的誤差分析提供了新方法與新理論,可以有效的滿足當(dāng)前時(shí)代的需求,具有較強(qiáng)的應(yīng)用價(jià)值。例如,在機(jī)器人的手臂設(shè)計(jì)過程中,設(shè)計(jì)人員除了對相關(guān)的桿件、關(guān)節(jié)等原理與構(gòu)造進(jìn)行設(shè)計(jì)外,還需要結(jié)合設(shè)計(jì)的實(shí)際需求,對各桿件與關(guān)節(jié)的精度進(jìn)行測量,以滿足實(shí)際的設(shè)計(jì)需求。
區(qū)間分析又被人們稱為區(qū)間數(shù)學(xué),其最早的應(yīng)用目的是對相關(guān)的誤差進(jìn)行分析研究,以保證明確其誤差的大小,在實(shí)際的運(yùn)算過程中,相同的自變量受運(yùn)算次序不同的影響,可能會(huì)導(dǎo)致產(chǎn)生不同的擴(kuò)展區(qū)間。例如,張紀(jì)元在對機(jī)械誤差進(jìn)行分析時(shí),靈活利用三角函數(shù)的單調(diào)性,通過擴(kuò)展進(jìn)行區(qū)間法分析,但在實(shí)際的分析過程中,利用區(qū)間分析法可能出現(xiàn)誤差區(qū)間出現(xiàn)超差情況,誤差區(qū)間范圍過大,直接影響分析結(jié)果?;诖?,通過不斷的完善與創(chuàng)新,灰色系統(tǒng)理論概念被提出,標(biāo)志著一門嶄新的數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域的發(fā)展,同時(shí),相對應(yīng)的“灰集合”概念逐漸衍生,區(qū)間灰數(shù)的運(yùn)算法則逐漸明確。在實(shí)際的運(yùn)算過程中,灰運(yùn)算與區(qū)間數(shù)學(xué)具有相同的特性,部分代數(shù)性質(zhì)難以表現(xiàn),因此,泛灰數(shù)學(xué)概念逐漸提出,為機(jī)器人機(jī)構(gòu)的誤差分析奠定良好的基礎(chǔ)。
當(dāng)前,人們將泛灰數(shù)學(xué)定義為:設(shè)論域U=R,R為實(shí)數(shù)集,則將R上的泛灰集成為泛灰數(shù)集,并將其有效的記為 g(R),同時(shí),稱 g(R)中的相關(guān)元素為灰數(shù)集,記作:g=(x,?μ1,μ2?),x∈R,μ,μ∈R①,在①中,x 值代表觀測值,?μ,μ? 代表灰信息部, 并將 g(0)=(0,?0,0?)稱為 g(R)中的零元,將 g(1)=(1,?1,1?)稱為g(R)中的單位元。同時(shí),如果觀測部為零,則將灰信息部中的不為零的泛灰數(shù)集記為 g(0)′,并稱為亞零元,并且,將零元與亞零元統(tǒng)稱為泛零元,記為 g(0)′′。以泛灰數(shù)學(xué)的概念為基礎(chǔ),逐漸對泛灰的除法與加法運(yùn)算進(jìn)行定義,同時(shí),利用加法運(yùn)算定義與負(fù)元定義對減法進(jìn)行定義,利用相關(guān)的逆元定義進(jìn)行除法運(yùn)算定義,同時(shí),明確各運(yùn)算定義的規(guī)律性,例如,泛灰加法運(yùn)算定律可以滿足交換律與結(jié)合律,具有封閉性特點(diǎn),且存在唯一的零元;泛灰乘法運(yùn)算定律與加法定律相同,同時(shí)還可以滿足分配率。
以泛灰數(shù)的定義為基礎(chǔ),在實(shí)際的運(yùn)算應(yīng)用過程中,可以將實(shí)際的泛灰數(shù)中(x,?μ1,μ2?)中的 μ看作為數(shù)值x的最高或者最低的信任程度,以實(shí)際的數(shù)字為例,例如,μ1=0.5,μ2=0.7,則可以明確 x的可信值在0.5x與0.7x之間,并用區(qū)間數(shù)進(jìn)行合理的表示,表示為[0.5x,0.7x]。同時(shí),應(yīng)對 μ的范圍進(jìn)行有效的限制,μ∈[-1,1]。 同時(shí),當(dāng) A[a,b]∈I(R)時(shí),其數(shù)值均可以利用合理的泛灰數(shù)進(jìn)行表示:(x,?μ,μ?)表示,例如,以實(shí)際的數(shù)值為例,主要分為四種:
第 一種,當(dāng) a>0 時(shí),存在[a,b]=(b,?a/b,1?),如實(shí)際數(shù)值的區(qū)間灰數(shù):[1,2]=(2,?0.5,1?)。
第二種,當(dāng) ab<0時(shí),并且 max{a,b}=b時(shí),存在[a,b]=(b,?a/b,1?)情況,如實(shí)際的數(shù)值區(qū)間灰數(shù):[-1,2],由此可知,此時(shí)的 a=-1,b=2,而 max{-1,2}=2,ab=-2,則 可 以 得 出[-1,2]=(2,?0.5,1?)。
第三種,當(dāng) ab<0時(shí),并且 max{a,b}=a時(shí),存在[a,b]=(a,?b/a,1?)情況,如實(shí)際的數(shù)值區(qū)間灰數(shù):[-2,1],由此可知,此時(shí)的 a=-2,b=1,而 max{-2,1}=2,ab=-2<0,則可以 得 出[-2,1]=(-2,?-0.5,1?)。
第四種,當(dāng) b<0 時(shí),存在[a,b]=(a,?b/a,1?),入實(shí)際的數(shù)值區(qū)間灰數(shù):[-2,-1],由此可知,此時(shí)的a=-2,b=-1<0,則可以得 出[-2,-1]=(-2,?-0.5,1?)。
通過上述的泛灰數(shù)與區(qū)間灰數(shù)的轉(zhuǎn)化可知,以相關(guān)的函數(shù)為基礎(chǔ),在實(shí)際的運(yùn)算過程中,只要將區(qū)間灰數(shù)進(jìn)行合理的輸入,利用該函數(shù)就可以求出相對應(yīng)的泛灰數(shù),以滿足實(shí)際的運(yùn)算需求。
泛灰數(shù)的實(shí)際應(yīng)用,屬于實(shí)數(shù)的推廣,在推廣應(yīng)用過程中,泛灰函數(shù)保留了相關(guān)的函數(shù)性質(zhì),與區(qū)間數(shù)學(xué)相對比,具有明顯的優(yōu)勢,例如,具備區(qū)間分析功能優(yōu)勢,利用該功能優(yōu)勢,解決運(yùn)算過程中遇到的問題。
MATLAB屬于數(shù)學(xué)軟件,以矩陣運(yùn)算的快速解釋程序?yàn)楹诵模趯?shí)際的應(yīng)用過程中,利用交互的方式,對用戶的各種指令進(jìn)行合理的分析,并輸出明確的結(jié)果。泛灰運(yùn)算軟件的應(yīng)用,為實(shí)際的分析提供了良好的集成開放環(huán)境,用戶在使用過程中,可以進(jìn)行大量的系統(tǒng)命令,例如,命令繪圖、進(jìn)行數(shù)值運(yùn)算等。實(shí)際上,MATLAB提供了數(shù)量較多的工具箱,幫助工作人員進(jìn)行合理的問題處理,并利用其解決實(shí)際問題,靈活利用技術(shù)資源,以滿足當(dāng)前的實(shí)際需求。因此,以現(xiàn)階段的泛灰數(shù)學(xué)為原理,以實(shí)際的,MATLAB為基礎(chǔ),進(jìn)行技術(shù)開發(fā),開發(fā)出符合當(dāng)前需求的泛灰運(yùn)算工具箱。在實(shí)際的技術(shù)開發(fā)過程中,其主要的開發(fā)思維是以泛灰運(yùn)算、區(qū)間灰數(shù)以及泛灰轉(zhuǎn)化為依據(jù),進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化,編制成完善的M文件,并建立合理的子文件,開發(fā)出合理的泛灰運(yùn)算軟件,以滿足當(dāng)前實(shí)際的需求。
以PUMA型機(jī)器人為基礎(chǔ),進(jìn)行合理的誤差設(shè)計(jì)分析,在實(shí)際的設(shè)計(jì)過程中,首先要求機(jī)器人設(shè)計(jì)任務(wù)符合執(zhí)行功能的精度要求,利用合理的尺寸鏈達(dá)到精度目標(biāo),以此來保證機(jī)器人的精度符合標(biāo)準(zhǔn)。
3.1.1 方程建立
在實(shí)際的分析過程中,需要分析人員結(jié)合實(shí)際研究情況建立完善的位置方程,設(shè)方程為f(q,l,x)=0,并且變化矩陣d(q,l,x)=0,在方程中,q為輸入運(yùn)動(dòng)參數(shù)已知量,l則為機(jī)構(gòu)參數(shù);x為實(shí)際的待定輸出構(gòu)件位置參數(shù)數(shù)值, 其中,q0、l0以及x0均為理想狀態(tài)下的機(jī)構(gòu)位置數(shù)值。
3.1.2 泛灰的拓展
在運(yùn)算分析過程中,將方程中的三個(gè)數(shù)值分別進(jìn)行假設(shè),例如,設(shè)方程 f中 q,l,x分別為 A,X,Y,由此可知向量值函數(shù) f1(q,l)在 A、X中的泛灰拓展數(shù)值為 F1(A,X,Y)=0,并且其變換矩陣為 D(A,X,Y),因此,利用合理的泛灰軟件進(jìn)行合理的運(yùn)算,并求出相對應(yīng)的解。
3.2.1 誤差分析
在PUMA機(jī)器人機(jī)構(gòu)中,利用現(xiàn)階段的矩陣描述方法進(jìn)行合理的變換矩建立,首先將機(jī)器人的桿件的進(jìn)行合理的劃分,并按照順序進(jìn)行排序,以第一個(gè)桿件為基礎(chǔ),記為i,并以此類推。 此時(shí)可以有效的得出 Ai的數(shù)值:[cosθisinθicosαisinθisinαiαicosθi], [sinθicosθicosαi-cosθisinαiαisinθi][0sinαicosαidi][0001]。在 數(shù) 值 中 ,θi主 要 是 指 xi圍 繞 zi軸 進(jìn)行合理的旋轉(zhuǎn),當(dāng)旋轉(zhuǎn)到一定的角度時(shí),xi與xi+1重合時(shí)旋轉(zhuǎn)的總角度值。di是指按照zi的方向進(jìn)行合理的旋轉(zhuǎn), 代表從i標(biāo)架原點(diǎn)Oi至zi與xi+1的交點(diǎn)間的距角度數(shù)值,而ai是指按照xi方向進(jìn)行合理的旋轉(zhuǎn),代表zi與xi+1的交點(diǎn)i的標(biāo)架原點(diǎn)Oi的距角數(shù)值,αi是指繞xi軸進(jìn)行合理的旋轉(zhuǎn),從zi到zi+1的角度數(shù)值,在實(shí)際的旋轉(zhuǎn)過程中,其角度的方向依據(jù)右手定則原則進(jìn)行規(guī)定。在實(shí)際的運(yùn)算過程中,利用上述Ai的數(shù)值進(jìn)行求解,有效的求出機(jī)器人手臂的變換矩陣數(shù)值,并將其記為Tn,由此可知,案例PUMA機(jī)器人的手臂變換矩陣數(shù)值等于 T6=T1T2T3T4T5T6=[nxOxaxpx][nyoyaypy][nzozazpz][0001],并且由此可知,其矩陣的數(shù)值為[nxOxax][nyoyay][nzozaz],該數(shù)據(jù)值表示為機(jī)器人手臂末端的支架的姿勢,而實(shí)際的向量數(shù)值[px][py][pz]則表示機(jī)器人手臂末端標(biāo)架原點(diǎn)的坐標(biāo)數(shù)值,通過對機(jī)器人手臂變換矩陣數(shù)值進(jìn)行有效的計(jì)算,明確相關(guān)的數(shù)據(jù)均為泛灰數(shù),并且,將計(jì)算過程中涉及的常數(shù)也作為泛灰數(shù)值,通常情況下,作為一種特殊的泛灰數(shù)值處理。
3.2.2 參數(shù)分析
實(shí)際上,PUMA機(jī)器人存在大量的基本參數(shù),其主要參數(shù)包括輸入?yún)?shù)矩陣、機(jī)器人姿勢誤差以及機(jī)器人手臂末端標(biāo)架的位置參數(shù)等。在計(jì)算過程中,計(jì)算人員通常將上述參數(shù)表示為區(qū)間參數(shù),通過相應(yīng)的軟件程序,進(jìn)行自動(dòng)的計(jì)算與輸入,完成輸入后,輸出實(shí)際的參數(shù)值,并進(jìn)行合理的表示。上述過程的主要目的是對實(shí)際存在的單獨(dú)誤差進(jìn)行合理的考察,并分析由單獨(dú)誤差引起的實(shí)際姿勢誤差與末端標(biāo)架位置誤差,為后續(xù)的分析提供參考依據(jù),合理進(jìn)行平行度誤差與垂直誤差數(shù)據(jù)的選擇,保證分析結(jié)果的準(zhǔn)確性。通過有效的實(shí)踐,可以明確該驗(yàn)證分析方法的時(shí)效性與準(zhǔn)確性,例如,在實(shí)際的誤差分析過程中,將相關(guān)的基本參數(shù)與誤差進(jìn)行結(jié)合,并將其表示為區(qū)間數(shù),通過運(yùn)用合理的泛灰數(shù),可以高效的計(jì)算出各參數(shù)的實(shí)際區(qū)間表示,此時(shí)分析人員可以以實(shí)際的區(qū)間表示為依據(jù),明確各誤差與各尺寸對實(shí)際的各個(gè)輸出參數(shù)的影響情況,以滿足實(shí)際的機(jī)器人機(jī)構(gòu)誤差分析需求。靈活應(yīng)用現(xiàn)有的泛灰運(yùn)算工具箱,在已知各參數(shù)驗(yàn)算輸出參數(shù)的誤差是否滿足實(shí)際的誤差需求,還可以對各個(gè)輸入?yún)?shù)的實(shí)際誤差進(jìn)行分析,并分析該參數(shù)誤差對輸出參數(shù)的實(shí)際影響,從根本上確定各參數(shù)的公差與偏差。
綜上所述,泛灰數(shù)學(xué)在機(jī)器人機(jī)構(gòu)誤差分析中的應(yīng)用,為機(jī)器人機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)誤差分析提供了新方式,并利用泛灰數(shù)學(xué)自身的性質(zhì)特點(diǎn)與優(yōu)勢,將分析的整體步驟進(jìn)行簡單化,保證分析結(jié)果的直觀性與可靠性,提升分析效率。泛灰數(shù)學(xué)在機(jī)器人誤差分析、靈敏度分析以及復(fù)雜機(jī)構(gòu)分析中具有廣闊的應(yīng)用前景,符合當(dāng)前時(shí)代的要求。
[1]祁力群.區(qū)間分析[J].運(yùn)籌學(xué)雜志,1982,(1):151-156.
[2]張紀(jì)元,沈守范.計(jì)算機(jī)構(gòu)學(xué)[M].北京:國防工業(yè)出版社,1996.