李　勇

(北京師范大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院　100875)

數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)之一，其內(nèi)涵是用已經(jīng)掌握的數(shù)學(xué)知識描述問題情景本質(zhì)，為解決問題奠定基礎(chǔ).應(yīng)將數(shù)學(xué)抽象融入新知識的教學(xué)過程中，以熏陶學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力.本文在高中知識背景限制下，探討統(tǒng)計學(xué)中的總體、個體以及相關(guān)概念的最佳呈現(xiàn)方式.

1　基于普查的總體、個體及相關(guān)概念

總體和個體是統(tǒng)計學(xué)中最基本的兩個概念，它們是應(yīng)普查或抽樣調(diào)查的需求而產(chǎn)生[1,2,3].普查的目的是了解所關(guān)心對象的某些特征指標(biāo)情況，我們將這些對象全體稱為基于普查的總體(簡稱為總體)，總體中的對象稱為基于普查的個體(簡稱為個體)，對象(個體)的特征指標(biāo)稱為變量.總體規(guī)定了普查或抽樣調(diào)查的范圍，個體規(guī)定了調(diào)查對象，而變量(其取值隨著個體的變化而變化)的變化規(guī)律與特點(diǎn)是人們感興趣的問題.

例如，當(dāng)關(guān)心北京市高中生(2018年2月1日在冊)的情況時，總體就為當(dāng)時在冊的高中生全體，個體為總體中的學(xué)生，而學(xué)生的身高、體重、性別、年齡、年級、所在學(xué)校、所在班級、數(shù)學(xué)和語文期末考試成績等都是變量.

習(xí)慣上，人們用大寫希臘字母Ω表示總體，小寫希臘字母ω表示個體，大寫英文字母(例如X，Y等)表示變量.特別當(dāng)變量用X表達(dá)時，X(ω)就代表個體ω所對應(yīng)的變量值.這樣，在前面提到的北京市高中生案例中，當(dāng)時一位在冊的北京市高中生就可以表示為ω，而總體可以表示為

Ω={ω|ω為2018年2月1日在冊的北京市高中生}

(1)

如果用H、W和X分別表示學(xué)生的身高、體重和性別變量，則H(ω)、W(ω)和X(ω)就分別表示ω同學(xué)的身高、體重和性別.

需要注意，能夠普查的總體一定為有限總體，即總體所包含的個體的數(shù)目為正整數(shù).一般地，我們要求總體中的個體互不相同，即個體之間是可區(qū)分的，以使得普查可以進(jìn)行.另外，普查者事先應(yīng)該知道總體的構(gòu)成，即了解總體中的所有個體都是什么；普查者不知道的是每一個體所對應(yīng)的變量值是什么，普查的任務(wù)之一就是獲取每一個體的變量值，為進(jìn)一步的統(tǒng)計分析奠定基礎(chǔ).

變量的概念與高中生已經(jīng)學(xué)習(xí)過的函數(shù)的概念類似：函數(shù)是從實數(shù)到實數(shù)之間的一種對應(yīng)關(guān)系，即給定一個實數(shù)，都有唯一的函數(shù)值與這個實數(shù)對應(yīng)；變量是個體與變量值之間的一種對應(yīng)關(guān)系，即給定一個個體，都有唯一的變量值與這個個體對應(yīng).

在前面北京市高中生案例中，總體中的任何兩個個體都是不同的高中生，我們在普查之前就已經(jīng)知道所有當(dāng)時在冊的高中生都有哪些，不知道的是各個高中生的變量取值情況(如果知道了這些情況，就沒有必要進(jìn)行普查或者抽樣調(diào)查了)，如不知道各個個體的身高，或者體重，或者性別.另外，變量的值可以是文字，如性別變量X的取值可以分別是“男”或“女”.

對于定義在有限總體上的變量Z，人們最為關(guān)心兩個問題：其一是該變量的值域，即各個體所對應(yīng)的變量值全體；其二是比例，即變量值在特定范圍內(nèi)的個體的數(shù)與總體中的個體數(shù)之比.如在前面北京市高中生案例中：對于數(shù)學(xué)成績變量Y，其值域為

ΩY={y|y為總體中某同學(xué)的數(shù)學(xué)期末考試成績}

(2)

而成績低于60分的學(xué)生比例和成績大于或等于90分的學(xué)生的比例等都是成績變量比例問題；對于性別變量X，其值域為

ΩX={男，女}

而總體中男生的比例和女生的比例都是性別變量的比例問題.

對于有限總體，可以證明任何變量的其它特征，都可以通過變量的值域和相應(yīng)的比例來計算.如在前面北京市高中生案例中，所有個體的平均身高可以表達(dá)為

其中ΩH為身高變量的值域，hk為值域中的第k個值，而pk則是總體中身高為hk的那些個體在總體中的比例.

需要強(qiáng)調(diào)的是：在本小段中所述的總體、個體、變量、變量的值域和比例等概念，不涉及任何概率和隨機(jī)變量的知識，這些概念的產(chǎn)生背景為普查或抽樣調(diào)查，特別適合在學(xué)習(xí)抽樣方法時使用.

另外，這里的個體成為變量的載體，通過這個載體我們可以研究多個變量之間的關(guān)系，擴(kuò)大研究視野.在前面提到的北京市高中生案例中，假設(shè)我們關(guān)心的是數(shù)學(xué)期末考試成績，就容易通過變量的載體——個體(即學(xué)生)聯(lián)想到是否有其它的變量能夠幫助研究數(shù)學(xué)成績的變化規(guī)律與特點(diǎn)，如學(xué)生所在學(xué)校變量、學(xué)生的性別變量和學(xué)生的身高變量等對于數(shù)學(xué)成績是否有影響，進(jìn)而更好地認(rèn)識學(xué)生數(shù)學(xué)成績的規(guī)律與特點(diǎn).

在前面北京市高中生案例中，如果我們關(guān)心的是數(shù)學(xué)成績，當(dāng)然可以把高中生的數(shù)學(xué)期末考試成績Y作為觀察對象.在此觀點(diǎn)之下個體就是學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，總體就是這些數(shù)學(xué)成績?nèi)w，即(2)中的值域ΩY，問題是這種觀點(diǎn)是否適用于普查或者是抽樣調(diào)查？下面討論這個問題.

如果數(shù)學(xué)成績采用百分制，則ΩY中的個體的數(shù)目至多為101，無法刻畫當(dāng)時北京所有在冊高中生，因此無法通過ΩY進(jìn)行普查；為解決普查問題，當(dāng)然可以用yi表示當(dāng)時北京市第i位在冊高中生的數(shù)學(xué)期末考試成績，進(jìn)而可以將總體表示為

Ω2={y1,y2,…,yN}

(3)

其中N為當(dāng)時北京市在冊高中生總數(shù).問題是N遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于101，因此Ω2中的元素不是互異的，進(jìn)而(在不知道所有的yi的情況下)就無法借助于Ω2完成普查任務(wù)，或者(在知道所有的yi的情況下)沒有必要進(jìn)行普查.

綜上所述，在介紹普查或抽樣知識時，通常不能把調(diào)查對象的特征指標(biāo)值作為個體，也不能將所有的調(diào)查對象的特征指標(biāo)值作為總體.

2　基于隨機(jī)變量的總體和個體概念

當(dāng)然，在學(xué)生們掌握隨機(jī)變量相關(guān)知識后，可以將前述總體和個體的概念用隨機(jī)變量的分布和取值來等價刻畫，以方便隨機(jī)樣本性質(zhì)的研究.下面還是以北京市高中生案例中的數(shù)學(xué)期末考試成績?yōu)閱栴}背景，展示這種刻畫方法.

如果將(1)中總體Ω看成是古典概型中的基本事件全體，并且認(rèn)為各個基本事件的出現(xiàn)的可能性相同，那么當(dāng)時北京市高中生數(shù)學(xué)期末考試成績Y就成為定義在Ω上的隨機(jī)變量，其中第i位同學(xué)ωi所對應(yīng)的隨機(jī)變量值為Y(ωi).根據(jù)古典概率的計算公式，可以求得離散型隨機(jī)變量Y的分布列為

表1　數(shù)學(xué)期末考試成績分布列

其中pi為期末數(shù)學(xué)考試成績?yōu)閕分的學(xué)生數(shù)與總體中學(xué)生總數(shù)N之比.

反之，用Y的分布列和N可以刻畫基于普查的總體和個體.事實上，記ki=pi×N，則基于普查的總體和個體構(gòu)成如下：有k0名學(xué)生的成績?yōu)?分，分別記這些學(xué)生為ω1,ω2,…,ωk0；有k1名學(xué)生的成績?yōu)?分，分別記這些學(xué)生為ωk0+1,ωk0+2,…,ωk0+k1；有k2名學(xué)生的成績?yōu)?分，分別記這些學(xué)生為ωk0+k1+1,ωk0+k1+2,…,ωk0+k1+k2；……；有k100名學(xué)生的分?jǐn)?shù)為100分，分別記這些學(xué)生為ωN-k100+1,ωN-k100+2,…,ωN.這樣{ω1,ω2,…,ωN}就是(1)中的基于普查的總體Ω，相應(yīng)的各個個體為ωk，其中1≤k≤N.因此由N和隨機(jī)變量Y的分布列可以恢復(fù)基于普查的總體Ω和個體.

基于隨機(jī)變量的知識，可以將所關(guān)心的總體變量抽象為隨機(jī)變量，將變量的值域抽象為基于隨機(jī)變量的總體(也簡稱為總體)，將值域中的值抽象為基于隨機(jī)變量個體(也簡稱為個體)，將隨機(jī)變量的分布抽象為總體分布.這樣抽象的好處是：可將任何總體(無論總體中的個體數(shù)目是有限還是無限)上的變量都納入到隨機(jī)變量的框架之下，從而可以方便地利用概率理論研究隨機(jī)樣本估計總體問題.

現(xiàn)在，總體和個體概念有兩種不同的定義方式，一種是基于普查的定義，另一種是基于隨機(jī)變量的定義，兩者適用的情景有一定差異：基于普查的總體和個體的概念，可用于所有統(tǒng)計問題的研究；基于隨機(jī)變量的總體和個體的概念，則不能用于普查和抽樣方法的研究，只能用于隨機(jī)樣本的性質(zhì)的研究.

另外，在研究某一總體變量的變化規(guī)律時，在基于普查概念的框架之下，能夠通過變量的載體——個體為橋梁，探討其它變量對于所關(guān)心變量的影響，進(jìn)而能更加深刻地認(rèn)識該變量的變化規(guī)律.例如，在前面北京市高中生案例中，如果關(guān)心的變量是數(shù)學(xué)期末考試成績，則通過總體(1)中的個體ω，我們會聯(lián)想到學(xué)生ω所在的學(xué)校對于他的成績是否有影響問題，ω的性別對于他的成績是否有影響問題，ω所在的年級對于他的成績是否有影響問題，等等.考慮了學(xué)校、性別和年級的影響，使得我們能夠更加深刻地認(rèn)識數(shù)學(xué)成績變化規(guī)律；而通過基于隨機(jī)變量的總體(2)中的個體y，就無法確定值y所對應(yīng)的學(xué)校變量、性別變量和年級變量的取值是什么，因而也就無法考慮這些變量對于成績的影響.

3　結(jié)論

統(tǒng)計學(xué)中的總體和個體概念有兩種不同的定義方式，一種是基于普查的定義，另一種是基于隨機(jī)變量的定義，在教學(xué)過程中要特別注意兩種定義的應(yīng)用場合，以免影響學(xué)生對于這兩個概念的理解.

在介紹普查和抽樣知識時，只能從基于普查的總體和個體的概念出發(fā)，而不能從基于隨機(jī)變量的總體和個體的概念出發(fā)；在探討不同變量之間的關(guān)系時，需要用基于普查的個體概念作為橋梁將不同的變量聯(lián)系起來.

將基于普查的個體看成是古典概型中的基本事件，變量就成為隨機(jī)變量，這是連接基于普查的總體和基于隨機(jī)變量的總體兩個概念的橋梁.在研究隨機(jī)樣本的統(tǒng)計性質(zhì)時，從基于隨機(jī)變量的總體和個體出發(fā)，能夠直接利用概率論知識進(jìn)行研究，效率更高，這也是在數(shù)理統(tǒng)計中人們喜歡將基于隨機(jī)變量的總體和個體簡稱為總體和個體的原因.

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，統(tǒng)計學(xué)的總體和個體的概念出現(xiàn)在普查和抽樣的知識結(jié)構(gòu)中，位于隨機(jī)變量知識的教學(xué)過程之前，應(yīng)該采用基于普查的總體、個體和變量的概念，避免此涉及基于隨機(jī)變量的總體和個體的概念，以幫助學(xué)生正確理解總體和個體的概念.