黃智華 　 渠東劍

(1.南京航空航天大學(xué)附屬高級(jí)中學(xué)　210007；2.南京市秦淮區(qū)教師發(fā)展中心　210002)

1　問題的提出

推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式，從數(shù)學(xué)本身看，數(shù)學(xué)推理反映的是一種基本的數(shù)學(xué)思想，也是一種主要的數(shù)學(xué)方法，它與數(shù)學(xué)證明緊密關(guān)聯(lián)，共同構(gòu)成了數(shù)學(xué)最重要的基礎(chǔ)．

對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)推理的研究，根據(jù)查閱已有文獻(xiàn)發(fā)現(xiàn)，主要集中在以下三類．

第一類，對(duì)比分析研究．綦春霞、王瑞霖對(duì)中英八年級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力的差異作了分析，得到結(jié)論：①兩國(guó)學(xué)生在概率推理方面表現(xiàn)較好，尤其是英國(guó)學(xué)生表現(xiàn)比較突出；②兩國(guó)學(xué)生在代數(shù)推理方面處于中等水平，但中國(guó)學(xué)生要低于英國(guó)學(xué)生；③兩國(guó)學(xué)生在幾何推理方面的得分都是最低，但是中國(guó)學(xué)生要明顯優(yōu)于英國(guó)的學(xué)生．并提出對(duì)中國(guó)數(shù)學(xué)教育的幾點(diǎn)啟示．[1]王薇對(duì)中美兩國(guó)數(shù)學(xué)推理能力作了比較，第一，在合情推理方面，我國(guó)要求體會(huì)通過合情推理探索數(shù)學(xué)結(jié)論，美國(guó)要求提出并探討數(shù)學(xué)猜想、熟練使用歸納推理；第二，在演繹推理方面，我國(guó)要求運(yùn)用演繹推理加以證明，美國(guó)要求發(fā)展和評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)推理和證明、熟練使用演繹推理；第三，在猜想、證明等過程方面，我國(guó)要求體會(huì)證明的必要性，美國(guó)要求選擇和運(yùn)用不同的推理和證明方法、有經(jīng)常的、不同推理經(jīng)歷、與教師同學(xué)和校外人士討論他們的推理，解釋他們猜想的依據(jù)和他們斷言的合理性．[2]

第二類，對(duì)數(shù)學(xué)推理的認(rèn)知、心理研究．李祥兆做了數(shù)學(xué)歸納推理的認(rèn)知過程研究，得出結(jié)論是：①歸納加工一般是按照定向識(shí)別轉(zhuǎn)化的順序進(jìn)行的，但這并不是一種線性的發(fā)展，在每一層都可能實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化，思維會(huì)出現(xiàn)跳躍式或頓悟現(xiàn)象．歸納加工是一個(gè)往返、循環(huán)、動(dòng)態(tài)的過程，但在每一層次又表現(xiàn)出相對(duì)靜止的狀態(tài)．②不同學(xué)生的歸納加工的層次上存在差異．優(yōu)生的加工過程只需要 “三大步”就能實(shí)現(xiàn)目標(biāo)，元認(rèn)知活動(dòng)較少，而中、差生在實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化時(shí)所用步數(shù)較多，元認(rèn)知活動(dòng)相對(duì)活躍，知難而進(jìn)，能夠不斷調(diào)整推理的方向而找到猜想．③不同學(xué)生在策略的選擇上存在差異．優(yōu)生在加工過程中能夠選擇相對(duì)優(yōu)化的思維策略，耗時(shí)較短，準(zhǔn)確率高．而中、差生在策略的選擇上顯得較為“保守”，一步一個(gè)腳印地去做，花費(fèi)時(shí)間較多，有時(shí)還易出錯(cuò)．[3]武錫環(huán)、李祥兆研究了初中生數(shù)學(xué)歸納推理的發(fā)展，認(rèn)為信息表征的類型隨著知識(shí)量的增加而增加；歸納猜想隨年齡的升高而呈現(xiàn)緩慢增長(zhǎng)趨勢(shì)；假設(shè)檢驗(yàn)隨年齡的增長(zhǎng)并不顯著；歸納推理與演繹推理在各個(gè)年級(jí)中的發(fā)展不均衡，中學(xué)生數(shù)學(xué)歸納推理的發(fā)展落后于演繹推理能力的發(fā)展．[4]嚴(yán)卿從PME視角研究邏輯推理素養(yǎng)及其培養(yǎng)，在介紹PME研究成果的同時(shí)，提出邏輯推理能力的培養(yǎng)策略：搭建腳手架，為演繹推理鋪平道路；比較異同，為歸納推理指引方向；突出關(guān)系特征，為類比推理提供線索．[5]

第三類，推理能力及其培養(yǎng)的研究．王朝暉認(rèn)為數(shù)學(xué)推理能力基本成分包括六個(gè)方面，即對(duì)數(shù)學(xué)材料迅速而正確的概括能力；縮短推理過程，用簡(jiǎn)縮的結(jié)構(gòu)來進(jìn)行思維的能力；推理方法轉(zhuǎn)換能力；推理過程反省認(rèn)知能力；對(duì)推理結(jié)果反思能力；對(duì)推理過程中數(shù)學(xué)材料記憶能力．?dāng)?shù)學(xué)推理教學(xué)應(yīng)當(dāng)圍繞這六個(gè)方面展開．[6]曾超對(duì)高二學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力作了調(diào)查，得出如下結(jié)論：①高二理科生的數(shù)學(xué)推理能力好于高二文科生；②高二男生的數(shù)學(xué)推理能力整體上優(yōu)于高二女生；③高二學(xué)生的合情推理能力強(qiáng)于演繹推理能力；④高二學(xué)生在平面幾何、解析幾何、空間幾何三大問題的推理能力上表現(xiàn)較弱．[7]陳蕊對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教育中推理能力及其階段性培養(yǎng)提出建議：①數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該采取論證推理和合情推理并重的原則來培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力；②高質(zhì)量的數(shù)學(xué)教育，應(yīng)以研究與掌握學(xué)生心理發(fā)展的規(guī)律為前提，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力的培養(yǎng)要注意層次性；③教材是教與學(xué)的藍(lán)本，關(guān)系著教育效果的優(yōu)劣．因此，好的教材要以學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的階段水平為前提來編排，才能更加具有針對(duì)性和實(shí)效性，才能合理地促進(jìn)學(xué)生推理能力的發(fā)展．[8]

高中課程標(biāo)準(zhǔn)修訂組把邏輯推理擬定為6個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，包括演繹推理和合情推理．既然是核心素養(yǎng)，那么當(dāng)下高中生的邏輯推理能力如何？這就是一個(gè)迫切需要研究的問題．綜觀已有的研究，偏重中外比較、推理的心理過程、推理的培養(yǎng)，很少有關(guān)于高中生邏輯推理水平現(xiàn)狀的研究，本研究針對(duì)高中生的邏輯推理能力進(jìn)行測(cè)量，期望在一定程度上反映高中生的邏輯推理水平．

2　研究設(shè)計(jì)

2.1　被試選擇

抽取南京市6所普通高中(4所四星級(jí)高中、2所三星級(jí)高中)的21個(gè)班級(jí)、共832個(gè)學(xué)生作為被試，其中高一年級(jí)學(xué)生數(shù)為362，男生191人，女生171人；高二年級(jí)學(xué)生數(shù)為292，男生129人，女生163人；高三年級(jí)學(xué)生數(shù)為178，男生72人，女生106人．樣本具有代表性．

2.2　工具編制過程

第一步：將核心組成員分成三個(gè)小組，指定小組組長(zhǎng)負(fù)責(zé)日常選題、編擬測(cè)試題工作，各小組就用于測(cè)量三個(gè)年級(jí)學(xué)生演繹推理能力的測(cè)試題、合情推理能力的測(cè)試題進(jìn)行優(yōu)選和編擬，各個(gè)小組獨(dú)立拿出測(cè)試題初稿．第二步：各小組對(duì)測(cè)試題初稿進(jìn)行研討，就試題的考查功能、難易度、可信度進(jìn)行反復(fù)研討和打磨，形成測(cè)試題討論稿；第三步：由兩位主持人與南京師范大學(xué)專家進(jìn)行交流溝通，并得到專家指導(dǎo)，就試題的數(shù)量、考試的時(shí)間長(zhǎng)短、每個(gè)試題考查所要達(dá)到的目的、試卷的總分進(jìn)行深入認(rèn)真探討，經(jīng)過多次反復(fù)最后形成用于測(cè)量高中三個(gè)年級(jí)學(xué)生能力的測(cè)試卷．

測(cè)試卷共有20個(gè)題組成，其中有10個(gè)演繹能力的測(cè)試題(8個(gè)選擇題、2個(gè)解答題)，10個(gè)合情能力的測(cè)試題(8個(gè)選擇題、2個(gè)解答題)．主持人先認(rèn)真做了一遍，切身感受測(cè)試卷的情況，并思考著給出評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)和給學(xué)生做合理的測(cè)試時(shí)間，之后再請(qǐng)課題組老師又認(rèn)真仔細(xì)地做一遍，思考并預(yù)估學(xué)生做題中存在的問題，最后我們商定給學(xué)生90分鐘的測(cè)試時(shí)間，同時(shí)給出了相對(duì)合理的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)．

2.3　項(xiàng)目分析

隨機(jī)抽取300份問卷，對(duì)問卷的20道題目進(jìn)行項(xiàng)目分析．

第一，對(duì)每份數(shù)學(xué)邏輯推理問卷總分按升序排列，取前27%為低分組，后27%為高分組．其中，高于58分(包含58分)為高分組，共81人；低于42分(包含42分)為低分組，共83人．

第二，檢驗(yàn)高低分兩組在每個(gè)題項(xiàng)得分的差異．采用獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)方法，對(duì)高分組和低分組被試在各個(gè)題項(xiàng)得分作差異顯著性檢驗(yàn)，刪除無高低分組顯著差異(p>0.05)的題目，共1道(第1題)．

第三，采用同質(zhì)性檢驗(yàn)，對(duì)所有被試問卷每一道題項(xiàng)上的得分與每個(gè)被試在整卷的總體得分進(jìn)行相關(guān)分析．在題項(xiàng)與總分的相關(guān)顯著性p<0.05的前提下，刪除題項(xiàng)與總分間的相關(guān)系數(shù)小于0.2的題目，共2道(第1題和第16題)．

經(jīng)過以上測(cè)試題的分析和刪除，選言推理的題目只保留了一道題目，將其歸入假言推理．得到各子量表、分量表與總量表題目數(shù)量(表1)．

表1　高中生邏輯推理問卷題目安排

2.4　信度與效度計(jì)算

信度是對(duì)測(cè)量一致性程度的估計(jì)．信度檢驗(yàn)旨在檢驗(yàn)題項(xiàng)刪除后，整體量表的信度系數(shù)變化情形．信度系數(shù)愈高，表示測(cè)試結(jié)果愈一致，測(cè)量誤差值愈小.通過計(jì)算問卷的內(nèi)部一致性，題項(xiàng)與各所屬量表的Cronbach’s Alpha系數(shù)．?dāng)?shù)據(jù)結(jié)果如表2所示．結(jié)構(gòu)效度(建構(gòu)效度)是測(cè)量到理論建構(gòu)心理特質(zhì)的程度，是指編制出來的測(cè)驗(yàn)是否真正體現(xiàn)了最初所依據(jù)的理論結(jié)構(gòu)．對(duì)測(cè)試數(shù)據(jù)進(jìn)行結(jié)構(gòu)效度計(jì)算，結(jié)果如表3所示.

表2　高中生邏輯推理問卷信度

表3　問卷各維度與其總問卷的相關(guān)系數(shù)矩陣

表3結(jié)果表明，(1)假言推理、命題演算與邏輯推理的相關(guān)系數(shù)明顯要高于假言推理、命題演算之間的相關(guān)系數(shù)；歸納推理、類比推理各自與合情推理的相關(guān)系數(shù)要高于歸納推理、類比推理之間的相關(guān)系數(shù)，說明各子量表之間有一定相對(duì)獨(dú)立性，且子量表又不能偏離總量表．(2)假言推理與演繹推理的相關(guān)系數(shù)大于其與邏輯推理的相關(guān)系數(shù)，命題演算與演繹推理的相關(guān)系數(shù)大于其與邏輯推理的相關(guān)系數(shù)，歸納推理與合情推理的相關(guān)系數(shù)大于其與邏輯推理的相關(guān)系數(shù)，類比推理與合情推理的相關(guān)系數(shù)大于其與邏輯推理的相關(guān)系數(shù)，這說明子量表與分量表是直接關(guān)系，分量表與總量表示直接關(guān)系，子量表與總量表是間接關(guān)系.(3)演繹推理、合情推理各自與邏輯推理的相關(guān)程度高于演繹推理與合情推理的相關(guān)程度．說明各分量表之間有一定相對(duì)獨(dú)立性，且分量表又不能偏離總量表．以上結(jié)果表明，該量表的結(jié)構(gòu)是合理的．

3　調(diào)查結(jié)果

3.1　總體情況分析

問卷總分93，平均成績(jī)?yōu)?8.82(折合成百分值是52.49)，各個(gè)維度的均值和標(biāo)準(zhǔn)差見下表4．

表4　高中生邏輯推理能力基本情況

從表4可以看出，總體來看，全體被試的成績(jī)與試題平均分近似相等，說明高中學(xué)生的邏輯推理處于中等水平．其中類比推理成績(jī)大大低于測(cè)題的平均分，說明高中學(xué)生的類比推理水平處于低級(jí)狀態(tài)．

3.2　不同年級(jí)學(xué)生的差異分析

將參與測(cè)試的832個(gè)被試按年級(jí)分為3組，對(duì)不同年級(jí)做方差分析．

表5　方差齊性檢驗(yàn)

表6　單因素方差分析

表6結(jié)果表明，邏輯推理在不同年級(jí)間無顯著性差異(p=0.685>0.05)，而假言推理(p=0.004)、歸納推理(p=0.037)和類比推理(p=0.000)存在顯著性差異．現(xiàn)對(duì)假言推理、歸納推理和類比推理做多重比較．

表7　多重比較

*.均值差的顯著性水平為 0.05．

表7的多重比較顯示，高一與高二、高一與高三假言推理能力存在有顯著性差異，高二與高三假言推理能力無顯著性差異；類比推理能力在三個(gè)年級(jí)之間都有顯著性差異；歸納能力在三個(gè)年級(jí)之間無顯著差異．

3.3　男女生的差異分析

按照男女性別對(duì)被試者劃分成兩組，并比較其各量表的得分．結(jié)果如表8所示：

表8　獨(dú)立樣本檢驗(yàn)

表8結(jié)果顯示，男生的邏輯推理及其各維度測(cè)驗(yàn)的平均分均比女生高，且在邏輯推理上男女之間存在著顯著差異．男女生在演繹推理上沒有顯著差異，(p=0.508>0.05)；在假言推理，命題演算和類比推理上，男女生都存在顯著差異．

4　討論

總體來看，全體被試的成績(jī)與試題平均分近似相等，說明高中學(xué)生的邏輯推理處于中等水平．其中類比推理成績(jī)大大低于測(cè)題的平均分，說明高中學(xué)生的類比推理水平處于低級(jí)狀態(tài)．這一現(xiàn)象與目前的高中學(xué)生所受到的高中數(shù)學(xué)教育還是相吻合的，類比推理本身比較難學(xué)，日常教學(xué)中接觸到的也不多，學(xué)生掌握的肯定有問題．

邏輯推理在不同年級(jí)間無顯著性差異，這個(gè)結(jié)果也有合理的成份，但又與人們常態(tài)認(rèn)識(shí)不一致．說它合理是因?yàn)閷W(xué)生在高一就已經(jīng)學(xué)完了立體幾何，這是高中三年對(duì)學(xué)生培養(yǎng)邏輯推理能力最核心的內(nèi)容．但人們又往往會(huì)認(rèn)為年級(jí)越高的學(xué)生，他們的邏輯推理能力會(huì)越強(qiáng)．而假言推理、歸納推理和類比推理存在顯著性差異，這個(gè)結(jié)果應(yīng)該是合理的，現(xiàn)有的高中教材在高二年級(jí)專門安排的一章“合情推理”的學(xué)習(xí)，幫助學(xué)生提升歸納推理、類比推理能力．多重比較顯示，高一與高二、高一與高三假言推理能力存在顯著性差異，高二與高三假言推理能力無顯著性差異；類比推理能力在三個(gè)年級(jí)之間都有顯著性差異；歸納能力在三個(gè)年級(jí)之間無顯著差異．男生的邏輯推理及其各維度測(cè)驗(yàn)的平均分均比女生高，且在邏輯推理上男女之間存在著顯著差異．

男女生在演繹推理上沒有顯著差異；在假言推理，命題演算和類比推理上，男女生都存在顯著差異．這個(gè)結(jié)論與曾超做的研究基本吻合．學(xué)生經(jīng)過多年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，到了高中男女之間的差異確實(shí)已經(jīng)存在了，男女生在演繹推理上沒有顯著差異是正常的，因?yàn)楝F(xiàn)行的教材對(duì)學(xué)生的演繹推理能力要求并不高，而在假言推理，命題演算和類比推理這些新學(xué)習(xí)的內(nèi)容上，男女生存在顯著差異也是必然的．

5　結(jié)論

(1)高中學(xué)生的邏輯推理處于中等水平，高中學(xué)生的類比推理水平處于低級(jí)狀態(tài)；(2)邏輯推理在不同年級(jí)間無顯著性差異，而假言推理、歸納推理和類比推理存在顯著性差異；(3)高一與高二、高一與高三假言推理能力存在顯著性差異，高二與高三假言推理能力無顯著性差異；類比推理能力在三個(gè)年級(jí)之間都有顯著性差異；歸納能力在三個(gè)年級(jí)之間無顯著差異；(4)男生的邏輯推理及其各維度測(cè)驗(yàn)的平均分均比女生高，且在邏輯推理上男女之間存在著顯著差異．男女生在演繹推理上沒有顯著差異；在假言推理，命題演算和類比推理上，男女生都存在顯著差異．

(致謝：本研究是在喻平教授團(tuán)隊(duì)的支持下完成的，特別感謝吳妍翎和魏亞楠兩名研究生在數(shù)據(jù)處理方面所做的工作)