幾類圓周運動臨界問題的歸類分析

廣東 魏志鐘

圓周運動問題是高中物理的重點內(nèi)容，由于圓周運動的基本解題思路相同，讓我們常有“似曾相識”的感覺，但圓周運動的臨界問題錯綜復(fù)雜，臨界條件相對隱蔽，讓學(xué)生不知從何下手。對于圓周運動模型，按照知識點的綜合歸類情況，主要分以下三類情形：

一、水平面內(nèi)圓周運動的臨界問題

水平面內(nèi)圓周運動的臨界極值問題通常分兩類，一類是與摩擦力有關(guān)的臨界問題，物體間恰好不發(fā)生相對滑動的臨界條件是物體間的靜摩擦力恰好達(dá)到最大值；一類是與彈力有關(guān)的臨界問題，壓力、支持力的臨界條件是物體間的彈力恰好為零，繩上拉力的臨界條件是繩恰好拉直且其上無彈力或繩上拉力恰好為最大承受力等。

【答案】BC

【動態(tài)分析】解題前我們應(yīng)先構(gòu)建其運動模型，當(dāng)ω較小時線O1A拉直，O2A松弛，當(dāng)細(xì)線O1A、O2A都拉直時，隨著ω增加，線O1A的拉力逐漸減小、O2A的拉力逐漸增加；而當(dāng)ω太大時，O2A拉直,O1A將松弛。

【解析】設(shè)O2A剛好拉直，但其拉力F2仍為零時角速度為ω1，此時∠O2O1A=30°,設(shè)O1A產(chǎn)生的拉力為F1,對小球：

在豎直方向F1cos30°=mg……①

設(shè)O1A由拉緊轉(zhuǎn)到剛被拉直，F(xiàn)1變?yōu)榱銜r角速度為ω2

對小球F2cos60°=mg……③

【解題技巧】圓周運動中臨界問題分析，應(yīng)首先考慮達(dá)到臨界條件時物體所處的狀態(tài)，然后分析該狀態(tài)下物體的受力特點，并確定向心力，再結(jié)合圓周運動的知識，列出相應(yīng)的動力學(xué)方程求解。

二、豎直平面內(nèi)圓周運動的臨界問題

豎直平面內(nèi)的圓周運動是典型的變速圓周運動，一般情況下，只討論最高點和最低點的情況。這類題目的綜合性強(qiáng)，涉及的知識點多，物理情景變化空間大，是我們復(fù)習(xí)中的難點。我們在解題時應(yīng)充分分析研究對象的受力和運動情況，建立其運動的物理模型，運用動力學(xué)、功能關(guān)系和動量觀點等知識來綜合解題。

【例3】如圖3所示，讓擺球從圖中的C位置由靜止開始擺下，擺到最低點D處，擺線剛好被拉斷，小球在粗糙的水平面上由D點向右做勻減速運動，到達(dá)A孔進(jìn)入半徑R=0.3 m的豎直放置的光滑圓弧軌道，當(dāng)擺球進(jìn)入圓軌道立即關(guān)閉A孔。已知擺線長L=2 m，θ=60°，小球質(zhì)量為m=1 kg，D點與小孔A的水平距離s=2 m，g取 10 m/s2。試求：

(1)求擺線能承受的最大拉力為多大？

(2)要使擺球能進(jìn)入圓軌道并且不脫離軌道，求粗糙水平面摩擦因數(shù)μ的范圍。

【動態(tài)分析】擺球從C到D運動過程中在豎直平面內(nèi)做加速圓周運動，在D點擺線剛好被拉斷，說明此時擺線承受的拉力達(dá)到最大；小球從D到A運動過程做勻減速直線運動，進(jìn)入A孔后沿圓軌道做豎直平面內(nèi)的圓周運動，要使擺球不脫離軌道，可能有兩種情況，一是在到達(dá)圓心等高處之前停下來；二是順利通過最高點。

【解析】(1)當(dāng)擺球由C到D運動過程做圓周運動，擺球的機(jī)械能守恒：

擺球在D點時，由牛頓第二定律可得：

聯(lián)立兩式可得：

Fm=2mg=20 N。

(2)要使擺球能進(jìn)入圓形軌道，則擺球到達(dá)A孔時速度必須滿足：vA≥0

擺球從D到A運動過程由動能定理可得：

聯(lián)立兩式可得：μ1≤0.5

①若進(jìn)入A孔的速度較小，那么將會在圓心以下做等幅擺動，不脫離軌道。其臨界情況為到達(dá)圓心等高處速度為零，由機(jī)械能守恒可得：

由動能定理可得：

可求得：μ2≥0.35

②若小球能過圓軌道的最高點則不會脫離軌道，在圓周的最高點，由牛頓第二定律可得：

小球從D到圓周的最高點過程，由動能定理可得：

解得：μ3≤0.125

綜上，動摩擦因數(shù)μ的范圍為：0.35≤μ≤0.5或者μ≤0.125。

【變式訓(xùn)練】例題3中，將光滑圓形軌道改成光滑的圓形管道，則要使小球做完整的圓周運動，求粗糙水平面摩擦因數(shù)μ的范圍？

大家試分析一下此時的結(jié)果是否與例題3的結(jié)果相同呢？又或者改成拱形橋的話，結(jié)果又如何呢？

三、帶電粒子在磁場中做圓周運動的臨界問題

帶電粒子在磁場中的運動是高中物理的一個難點，也是高考的熱點。在歷年的高考試題中幾乎年年都有這方面的考題。帶電粒子在有界磁場中的運動問題，對考生的空間想象能力、物理過程的分析能力以及物理規(guī)律的綜合應(yīng)用能力都有很高的要求。解決這類問題既要用到物理中的洛侖茲力、圓周運動的知識，又要用到數(shù)學(xué)中的平面幾何中的圓及解析幾何知識。

(1)粒子沿環(huán)狀的半徑方向射入磁場，不能穿越磁場的最大速度多大?

(2)所有粒子不能穿越磁場的最大速度多大?

【動態(tài)分析】粒子沿徑向飛出，可以用“縮放圓”的方法判斷出臨界情況為粒子的運動軌跡恰好與外環(huán)相切，根據(jù)幾何關(guān)系求出運動的軌道半徑，再根據(jù)帶電粒子在磁場中運動的軌道半徑公式求出最大的速度。粒子沿環(huán)狀域的內(nèi)邊界圓的切線方向射入磁場時，此時的軌道半徑為最小的軌道半徑，此時粒子若不能出磁場，則所有粒子都不會出磁場，根據(jù)幾何關(guān)系求出軌道半徑，再通過軌道半徑公式求出最大的速度。

當(dāng)運動軌跡恰好與外圓相切時(如圖5所示)半徑最大，由圖中的幾何關(guān)系可得：

聯(lián)立上面的速度表達(dá)式并代入數(shù)據(jù)可得：

v1=1.5×107m/s

此速度即為沿環(huán)狀半徑方向射入的粒子不能穿越磁場的最大速度。

(2)粒子沿內(nèi)圓切線方向射入磁場，軌跡與外圓相切，此時軌跡半徑r2最小(如圖5所示)，則有

要使所有粒子都不能穿越磁場區(qū)域，必須滿足r≤r2

即所有粒子都不能穿越磁場的最大速度為1.0×107m/s。

【解題技巧】臨界值可能以極值形式出現(xiàn)，也可能是邊界值(即最大值和最小值)，解題關(guān)鍵：畫圖→動態(tài)分析→找臨界軌跡→確定圓心、半徑和粒子射入、射出磁場邊界的臨界點。(這類題目關(guān)鍵是作圖，圖畫準(zhǔn)了，問題就解決了一大半，余下的就只有計算了——這一般都不難。)