（山東理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，淄博 255049）

0 引言

并聯(lián)機(jī)構(gòu)由于并聯(lián)支鏈的存在，使其具有承載能力強(qiáng)、定位精度高等一系列優(yōu)點(diǎn)[1～3]。隨著研究人員對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)研究的深入，人們發(fā)現(xiàn)機(jī)構(gòu)靜剛度對(duì)機(jī)構(gòu)的定位精度等方面具有重要影響[4]。目前，針對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)靜剛度的分析方法有有限元法[5]、解析模型法[6～8]。欒玉亮等[5]基于有限元法對(duì)3-PPSR柔性并聯(lián)機(jī)器人的靜剛度進(jìn)行了分析。對(duì)于解析模型法，最早是由Gosselin[6]基于機(jī)構(gòu)速度雅克比矩陣提出的靜剛度解析模型。在此基礎(chǔ)上，Wang等[7]對(duì)一種滑塊式并聯(lián)加載機(jī)構(gòu)的靜剛度進(jìn)行了分析。趙福群等[8]提出了一種支鏈含有閉環(huán)單元的3-5RS并聯(lián)機(jī)構(gòu)，基于速度雅可比矩陣建立了該機(jī)構(gòu)的靜剛度模型。

有限元法雖然方便快捷，但是無(wú)法建立機(jī)構(gòu)靜剛度與機(jī)構(gòu)尺寸參數(shù)、位姿參數(shù)之間的數(shù)學(xué)關(guān)系。對(duì)于以3自由度為代表的少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)，其速度雅可比矩陣并非6階方陣[9～11]。因此，基于速度雅可比矩陣所建立的靜剛度解析模型不能定量描述動(dòng)平臺(tái)非自由度方向上的位姿變形量。胡波等[12]基于虛設(shè)機(jī)構(gòu)法建立了傳統(tǒng)3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的完整靜剛度模型，但對(duì)于其他同類(lèi)型的少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)，文獻(xiàn)對(duì)如何虛設(shè)運(yùn)動(dòng)副并未給與詳細(xì)說(shuō)明，該方法在實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中也會(huì)受到一定限制。

對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線平行布置的新型3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)，本文從支鏈單元柔度矩陣角度出發(fā)，所建立的機(jī)構(gòu)靜剛度模型能夠完整描述動(dòng)平臺(tái)在機(jī)構(gòu)自由度方向以及非自由度方向上的位姿變形量，更加符合動(dòng)平臺(tái)位姿變形的實(shí)際情況，尤其適用于少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的靜剛度分析。

1 3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)描述

3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)由動(dòng)平臺(tái)、定平臺(tái)以及連接動(dòng)平臺(tái)和定平臺(tái)的三條支鏈組成，如圖1所示。

圖1 3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖

每條支鏈由下往上分別為轉(zhuǎn)動(dòng)副R、移動(dòng)副P(pán)和球鉸副S，動(dòng)力輸入為各支鏈移動(dòng)副。轉(zhuǎn)動(dòng)副按頂角為120°的等腰三角形布置（腰為R1R2和R1R3），球鉸副轉(zhuǎn)動(dòng)中心按等邊三角形布置，并且等邊三角形S1S2S3的高與等腰三角形R1R2R3底邊高相等。以定平臺(tái)底邊R2R3的中點(diǎn)O1為原點(diǎn)建立定坐標(biāo)系O1x1y1z1，以動(dòng)平臺(tái)幾何中心點(diǎn)O2為原點(diǎn)建立動(dòng)坐標(biāo)系O2x2y2z2。轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線平行布置且與定坐標(biāo)系軸O1y1平行。因此，由機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)關(guān)系可知，動(dòng)平臺(tái)的自由度為沿坐標(biāo)系軸O1x1、O1z1的平移和繞坐標(biāo)系軸O2y2的轉(zhuǎn)動(dòng)。動(dòng)平臺(tái)的位姿可表示為[x，z，θ]T，其中x和z為動(dòng)平臺(tái)參考點(diǎn)O2在定坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分量，θ為動(dòng)平臺(tái)外法線與定坐標(biāo)系軸O1x1的夾角。

2 單條支鏈末端變形量

在建立機(jī)構(gòu)靜剛度模型過(guò)程中，將定平臺(tái)和動(dòng)平臺(tái)視為剛體，僅考慮三條支鏈彈性變形，且忽略各運(yùn)動(dòng)副的間隙和摩擦對(duì)機(jī)構(gòu)靜剛度模型的影響。因?yàn)榍蜚q副S對(duì)構(gòu)件j的末端存在約束力，支鏈發(fā)生彈性變形，如圖2所示。構(gòu)件i和構(gòu)件j的變形屬于彈性極限范圍之內(nèi)的小變形，因此符合小變形疊加原理。在坐標(biāo)系Ojxjyjzj中，整條支鏈在點(diǎn)Oj處的變形量可由構(gòu)件i和構(gòu)件j的變形量疊加而成。

圖2 單條支鏈?zhǔn)芰ψ冃?/p>

2.1 構(gòu)件j的變形量

為了推導(dǎo)過(guò)程中表達(dá)的方便性，現(xiàn)對(duì)過(guò)程中出現(xiàn)的符號(hào)做出如下規(guī)定，為構(gòu)件B對(duì)構(gòu)件A在c點(diǎn)的作用力，為柔性構(gòu)件A上c點(diǎn)處的變形量，為剛性構(gòu)件B上c點(diǎn)處的位移量。

在坐標(biāo)系Ojxjyjzj中，設(shè)動(dòng)平臺(tái)（構(gòu)件k）在點(diǎn)Oj處對(duì)支鏈的作用力為因此把構(gòu)件i剛化時(shí)，構(gòu)件j在點(diǎn)Oj處的變形量可由結(jié)構(gòu)力學(xué)中的單元柔度矩陣進(jìn)行定量分析，即：

式(1)中，Cj為構(gòu)件j的單元柔度矩陣，根據(jù)其局部坐標(biāo)系的建立情況可得：

式(2)中，Lj為構(gòu)件j的長(zhǎng)度，mm；E和G分別為構(gòu)件j的彈性模量和切變模量，GPa；Ix和Iy為構(gòu)件j繞其局部坐標(biāo)系Ojxjyjzj對(duì)應(yīng)坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，kg.mm2；IP為構(gòu)件j對(duì)其局部坐標(biāo)系坐標(biāo)原點(diǎn)Oj的極慣性矩，kg.mm2。

2.2 構(gòu)件i的變形量

在坐標(biāo)系Oixiyizi中，將構(gòu)件j視為剛體而構(gòu)件i為柔性體時(shí)，構(gòu)件i在點(diǎn)Oi處的變形量為：

式(3)中，Ci為構(gòu)件i的單元柔度矩陣，其建立方法與式(2)同理。為求得力需要對(duì)構(gòu)件j進(jìn)行受力分析。

以構(gòu)件j為研究對(duì)象，在節(jié)點(diǎn)Oi處建立如下力平衡方程：

由式(4)可得：

由式(3)和式(5)得：

根據(jù)理論力學(xué)中力的平移定理，將構(gòu)件k在點(diǎn)Oj處對(duì)構(gòu)件j的作用力平移到點(diǎn)Oi處為：

力平移時(shí)，在點(diǎn)Oi處所附加的力偶矩為：

由于點(diǎn)Oi是構(gòu)件i和構(gòu)件j的公共節(jié)點(diǎn)，由式(6)和式(7)可得：

構(gòu)件i的彈性變形引起了構(gòu)件j的位移變化，但構(gòu)件j在點(diǎn)Oi處和點(diǎn)Oj處的位移變化量是不同的，根據(jù)理論力學(xué)中剛體上任意兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律可得：

式(9)中，

將式(8)代入式(9)中可得：

2.3 單條支鏈末端變形量

在坐標(biāo)系Ojxjyjzj中，基于式(1)和式(10)，根據(jù)小變形疊加原理可得單條支鏈的末端變形量為：

3 機(jī)構(gòu)整體剛度矩陣

對(duì)于單條支鏈，在坐標(biāo)系Ojxjyjzj中，由于點(diǎn)Oj是構(gòu)件j和構(gòu)件k（動(dòng)平臺(tái)）的公共節(jié)點(diǎn)，則：

其中θ為軸O1x1和軸Ojxj的夾角，且在坐標(biāo)變換過(guò)程中從軸O1y1正向看逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?/p>

在定坐標(biāo)系中，構(gòu)件k的位移可以由剛體上任意一點(diǎn)的位移進(jìn)行描述，且構(gòu)件k在點(diǎn)Oj處和點(diǎn)O2處的位移量存在如下關(guān)系：

式(14)中，

由式(11)～式(14)可得：

對(duì)于全部支鏈，根據(jù)式(15)可得：

由式(16)可得構(gòu)件k對(duì)各支鏈的作用力為：

根據(jù)理論力學(xué)中力的平移定理，將各支鏈在點(diǎn)Oj處對(duì)構(gòu)件k的反作用力由點(diǎn)Oj平移到構(gòu)件k的幾何中心點(diǎn)O2處：

式(18)中：

力的平移過(guò)程中，在點(diǎn)O2處所附加的力偶矩為：

當(dāng)機(jī)構(gòu)靜止時(shí)，動(dòng)平臺(tái)受力平衡，由式(17)、式(18)可在構(gòu)件k的幾何中心點(diǎn)O2處建立如下力平衡方程：

其中Ffz為動(dòng)平臺(tái)所受工作載荷：

由式(19)可得：

其中K為機(jī)構(gòu)的靜剛度矩陣。

4 算例分析

機(jī)構(gòu)參數(shù)如下：構(gòu)件i和構(gòu)件j的材料均選用45號(hào)鋼，其彈性模量E=200GPa，切變模量G=80GPa。動(dòng)平臺(tái)邊長(zhǎng)為300mm，定平臺(tái)底邊長(zhǎng)為900mm，各支鏈轉(zhuǎn)動(dòng)副到對(duì)應(yīng)移動(dòng)副的距離為360mm。構(gòu)件i的橫截面積為2500mm2，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Ixi=50154.85kg.mm2，Iyi=50157.46 kg.mm2。構(gòu)件j的橫截面積為900mm2，對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Ixj=18476.39kg.mm2，Iyj=18476.39kg.mm2。設(shè)工作載荷為[100N，100N，100N，80N.m，80N.m，80N.m]T，任選動(dòng)平臺(tái)位姿[0mm，550mm，90°]T，則在定坐標(biāo)系O1x1y1z1中，動(dòng)平臺(tái)的理論位姿變形量和基于ANSYS的測(cè)量值如表1、表2所示。

表1 線變形理論值和ANSYS測(cè)量值對(duì)比

表2 角變形理論值和ANSYS測(cè)量值對(duì)比

由表1、表2可知，雖然機(jī)構(gòu)只有三個(gè)自由度，但動(dòng)平臺(tái)在機(jī)構(gòu)非自由度方向上也存在位姿變形。動(dòng)平臺(tái)參考點(diǎn)的線位移在沿軸O1y1的方向上最大，動(dòng)平臺(tái)的角位移在繞軸O1y1的方向上最大。動(dòng)平臺(tái)的位姿變形以線變形為主。

為分析機(jī)構(gòu)靜剛度在定姿態(tài)工作空間中的變化情況，令x的變化范圍為-50mm～50mm，z的變化范圍為500mm～600mm，θ=90°，該機(jī)構(gòu)的靜剛度特性曲面如圖3～圖8所示。

圖3 機(jī)構(gòu)沿軸O1x1線剛度

圖4 機(jī)構(gòu)沿軸O1y1線剛度

圖5 機(jī)構(gòu)沿軸O1z1線剛度

圖6 機(jī)構(gòu)繞軸O1x1角剛度

圖7 機(jī)構(gòu)繞軸O1y1角剛度

圖8 機(jī)構(gòu)繞軸O1z1角剛度

由圖3～圖8可知，機(jī)構(gòu)靜剛度隨動(dòng)平臺(tái)參考點(diǎn)x值的改變而平穩(wěn)變化，但是z值的改變使機(jī)構(gòu)沿軸O1y1和O1z1的線剛度、繞軸O1x1和O1y1的角剛度存在波動(dòng)。

5 結(jié)論

針對(duì)本文提出的新型3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)，從單元柔度矩陣角度出發(fā)，結(jié)合小變形疊加原理、剛體上任意兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律以及力的平移定理，建立了該機(jī)構(gòu)的靜剛度模型。根據(jù)數(shù)值算例中動(dòng)平臺(tái)的理論位姿變形量和ANSYS的有限元測(cè)量值驗(yàn)證了該建模過(guò)程的正確性。

基于靜剛度模型繪制了機(jī)構(gòu)在定姿態(tài)工作空間中的靜剛度特性曲面，并給出了機(jī)構(gòu)靜剛度的變化規(guī)律。整個(gè)分析過(guò)程并未基于雅可比矩陣，能夠定量描述動(dòng)平臺(tái)在機(jī)構(gòu)自由度和非自由度方向的位姿變形量，對(duì)于其他少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的靜剛度建模分析同樣具有普遍適用性。