熊宇聰，張 猛,2

（1.北京控制工程研究所，北京 100089；2.北京軒宇空間科技有限公司，北京 100089）

0 引言

隨著智能交通工具研究的興起，具有側(cè)傾控制的兩輪自平衡汽車憑借其外形輕巧、駕駛靈活等優(yōu)點受到了國內(nèi)外的廣泛關(guān)注[1]。兩輪汽車的動力學(xué)模型是典型的非線性欠驅(qū)動非完整約束系統(tǒng)[2]，在無相對滑動的理想情況下，兩輪汽車的前后輪的橫向和縱向運動均受到由地面形成的非完整約束，且兩輪汽車在側(cè)傾方向無直接驅(qū)動激勵，因此在極低速行駛或靜止的情況下，無法保持車身的平衡[3]。目前，針對兩輪汽車模型欠驅(qū)動的特點，相關(guān)研究人員提出了多種控制機構(gòu)以維持兩輪汽車的自平衡，包括方向轉(zhuǎn)向[4]，重量平衡體[5]和控制力矩陀螺儀（CMG）[6]三種控制機構(gòu)。相較而言，控制力矩陀螺儀具有輸出力矩大、易于使用電氣控制等優(yōu)點[6]，因此獲得了廣泛研究。通過控制力矩陀螺儀提供側(cè)傾方向力矩，控制兩輪汽車在側(cè)傾方向獲得期望的姿態(tài)響應(yīng)是兩輪自平衡汽車的關(guān)鍵技術(shù)之一。

文獻[6]利用Euler-Lagrange方法推導(dǎo)了基于單個控制力矩陀螺儀兩輪汽車的動力學(xué)模型，給出了一種基于模型的雙環(huán)自抗擾控制方法（Active Disturbance Rejection Control），這種控制方法主要采用兩個串聯(lián)擴展?fàn)顟B(tài)觀測器和兩個具有自抗擾作用的狀態(tài)反饋控制律，實現(xiàn)了兩輪汽車的在側(cè)傾角為2°范圍內(nèi)恢復(fù)平衡和對側(cè)傾方向姿態(tài)干擾的抑制。文獻[7]利用Euler-Lagrange方法推導(dǎo)了與文獻[6]相似的兩輪汽車動力學(xué)模型，并對得到的非線性模型在平衡點處進行了線性化，設(shè)計了狀態(tài)反饋控制方法，使兩輪自平衡汽車可從側(cè)傾角為3°左右恢復(fù)平衡。文獻[8]采用了與文獻[6]相同的動力學(xué)模型，并設(shè)計了滑模變結(jié)構(gòu)控制器，實驗表明，該控制方法能使兩輪汽車在側(cè)傾角度為26°時恢復(fù)到直立平衡狀態(tài)。文獻[9]采用了文獻[7]相似的兩輪汽車動力學(xué)模型，在平衡點附近進行線性化，并提出了模糊滑模控制和自適應(yīng)模糊滑?？刂苾煞N控制方法。實驗表明，兩種控制方法均能維持兩輪汽車在平衡點附近的平衡狀態(tài)，比較兩種控制方法，自適應(yīng)模糊滑?？刂品椒ň哂懈鼜姷囊种聘蓴_能力。

對于兩輪自平衡汽車側(cè)傾方向的動力學(xué)模型為非線性動力學(xué)模型，上述文獻均采用了平衡點處線性化處理方法，不可避免的存在線性化誤差。此外，對于姿態(tài)控制，兩輪自平衡汽車的動態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是兩個主要關(guān)注因素，而上述文獻主要關(guān)注兩輪自平衡汽車側(cè)傾方向姿態(tài)控制的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，未開展動態(tài)響應(yīng)過程分析。

本文綜合研究了兩輪自平衡汽車側(cè)傾動態(tài)響應(yīng)控制問題，采用反饋線性化方法將兩輪自平衡汽車的非線性動力學(xué)模型轉(zhuǎn)換為線性動力學(xué)模型，避免了兩輪自平衡汽車動力學(xué)系統(tǒng)在平衡點附近的線性化處理，從而消除了線性化誤差的影響。利用狀態(tài)反饋對轉(zhuǎn)換的線性動力學(xué)模型進行極點配置，設(shè)計兩輪自平衡汽車側(cè)傾方向的動態(tài)響應(yīng)過程，建立兩輪自平衡汽車側(cè)傾方向動態(tài)響應(yīng)指標(biāo)與反饋系數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系，在保證兩輪自平衡汽車控制系統(tǒng)具有良好的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的同時，兼顧控制系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)。針對所設(shè)計的動態(tài)響應(yīng)過程，采用PI控制器實現(xiàn)控制力矩陀螺儀的力矩輸出調(diào)節(jié)，實現(xiàn)所設(shè)計的動態(tài)響應(yīng)過程，滿足相應(yīng)的動態(tài)響應(yīng)指標(biāo)要求。最后，本文結(jié)合具體的仿真算例驗證了所提出的基于反饋線性化控制方法的有效性。

圖1 兩輪汽車底部機械結(jié)構(gòu)圖

圖2 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

1 兩輪自平衡車模型

1.1 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

本節(jié)介紹兩輪自平衡汽車機械結(jié)構(gòu)和控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。圖1給出了兩輪自平衡汽車底部機械結(jié)構(gòu)圖。如圖1所示，兩輪自平衡汽車底部安裝一組控制力矩陀螺儀對兩輪汽車進行側(cè)傾姿態(tài)控制，一組控制力矩陀螺儀反向旋轉(zhuǎn)，在驅(qū)動電機作用下反向旋進，以產(chǎn)生側(cè)傾方向的控制力矩。

圖2給出了兩輪自平衡汽車控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。如圖2所示，控制系統(tǒng)由測量單元、控制單元和執(zhí)行單元三部分構(gòu)成，三個部分通過車輛供電母線供電并通過車輛通信總線實現(xiàn)通信，控制單元包括自平衡控制器和CMG控制器，測量單元包括陀螺儀和加速度計，執(zhí)行單元包括CMG和CMG驅(qū)動器。

1.2 動力學(xué)模型

圖3給出了兩輪自平衡汽車車體受力示意圖。如圖3(a)所示，兩輪自平衡汽車保持直立狀態(tài)時，O點與O'點分別為前后輪與地面之間的接觸點，以后輪與地面接觸點O為坐標(biāo)原點，Ox軸與水平方向OO'軸重合，Oy軸沿鉛垂方向，Oz軸根據(jù)右手法則確定，指：向紙面外。h為兩輪自平衡汽車質(zhì)心高度。如圖3(b)所示，兩輪自平衡汽車車體繞側(cè)傾軸Ox軸發(fā)生側(cè)傾運動時，側(cè)傾角為地面對兩輪汽車的彈力與摩擦力的作用線通過側(cè)傾軸Ox，力矩為0，車體質(zhì)量為m時，車體受到重力矩mghsin與控制力矩陀螺儀產(chǎn)生的控制力矩u的合力矩作用，矢量正方向為圖示方向。由動力學(xué)原理，兩輪自平衡汽車側(cè)傾運動的動力學(xué)方程為：

其中，J為兩輪自平衡汽車整車相對側(cè)傾軸Ox軸的轉(zhuǎn)動慣量。

圖3 兩輪自平衡汽車受力圖

兩輪自平衡汽車自平衡系統(tǒng)由一組控制力矩陀螺儀和一組旋進電機組成，如圖1所示。圖4給出了控制力矩陀螺儀輸出力矩圖，當(dāng)兩輪汽車側(cè)傾角度為時，控制力矩陀螺儀角動量所在的平面為Oxy'平面，兩個控制力矩陀螺儀在驅(qū)動電機作用下反向旋進，旋進角的模為?，旋進角速度的模為。單個控制力矩陀螺儀角動量H大小不變，旋進角度為?時，其在側(cè)傾軸Ox軸和Oy'上的投影分別為：

式(2)和式(3)求導(dǎo)得：

圖4所示控制力矩陀螺儀之間具有對偶關(guān)系，因此控制力矩陀螺儀在旋進過程中角動量的總變化量為方向沿Ox正方向。根據(jù)角動量守恒，車體所受控制力矩u沿Ox軸負方向，大小為：

圖4 控制力矩陀螺儀輸出

2 控制系統(tǒng)設(shè)計

2.1 車體控制

根據(jù)式(1)，兩輪自平衡汽車車體的動力學(xué)模型為非線性二階系統(tǒng)。為了精確控制非線性二階系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)，構(gòu)造參考力矩輸入uref，當(dāng)控制力矩陀螺儀產(chǎn)生的實際輸入u滿足：

兩輪自平衡汽車側(cè)傾方向的動態(tài)響應(yīng)滿足期望動態(tài)響應(yīng)指標(biāo)要求。式(7)成立時，根據(jù)兩輪自平衡汽車車體的動力學(xué)模型(1)，式(8)成立：

式(8)所對應(yīng)的系統(tǒng)框圖如圖5(a)所示。

非線性二階系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)形式復(fù)雜，而在兩輪自平衡汽車控制系統(tǒng)中，狀態(tài)變量側(cè)傾角度與側(cè)傾角速度可以通過測量元件實時測量，在車體質(zhì)量m，車體質(zhì)心高度h已知的情況下，采用反饋線性化控制，在參考力矩uref中引入靜態(tài)反饋作用量其控制系統(tǒng)框圖如圖5(b)所示，即：

其中，u1為參考力矩的線性作用部分。

式(9)代入式(8)得：

式(10)對應(yīng)系統(tǒng)框圖如圖5(c)所示，通過在參考力矩uref中引入靜態(tài)反饋作用量車體二階非線性系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為二階線性系統(tǒng)。利用狀態(tài)變量側(cè)傾角度與側(cè)傾角速度可實現(xiàn)二階線性系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)的精確控制。設(shè)計狀態(tài)反饋如圖5(d)所示。

圖5 車體控制設(shè)計

即：

式(11)代入式(10)可得：

拉普拉斯變換得：

對于兩輪自平衡汽車從初始側(cè)傾角度恢復(fù)至直立狀態(tài)，動態(tài)響應(yīng)過程為階躍響應(yīng)[7]。

由于階躍響應(yīng)與單位階躍響應(yīng)相差常數(shù)倍，研究單位階躍響應(yīng)可以得到階躍響應(yīng)的全部性質(zhì)，由式(14)，根據(jù)二階線性系統(tǒng)理論當(dāng)K=0時，兩輪自平衡汽車的階躍動態(tài)響應(yīng)為無阻尼響應(yīng)，響應(yīng)過程為：

當(dāng)0＜K＜2時，兩輪自平衡汽車的階躍動態(tài)響應(yīng)為欠阻尼響應(yīng)，響應(yīng)過程的動態(tài)響應(yīng)指標(biāo)與速度反饋系數(shù)K之間的函數(shù)關(guān)系如下：

延遲時間td：

上升時間tr：

峰值時間tp：

調(diào)節(jié)時間ts：

當(dāng)K=2時，兩輪自平衡汽車的階躍動態(tài)響應(yīng)為臨界阻尼響應(yīng)，響應(yīng)過程為：

當(dāng)K＞2時，兩輪自平衡汽車的階躍動態(tài)響應(yīng)為過阻尼響應(yīng)，響應(yīng)過程的動態(tài)響應(yīng)指標(biāo)與K之間的函數(shù)關(guān)系為：

延遲時間td：

上升時間tr：

式(15)～式(23)建立了動態(tài)響應(yīng)過程指標(biāo)與速度反饋系數(shù)K之間的函數(shù)關(guān)系，通過調(diào)整K值可以使兩輪自平衡汽車側(cè)傾動態(tài)響應(yīng)滿足期望的動態(tài)響應(yīng)指標(biāo)。

2.2 控制力矩陀螺儀控制

為實現(xiàn)2.1節(jié)所設(shè)計的車體側(cè)傾動態(tài)過程，控制力矩陀螺儀的輸出力矩為：

根據(jù)CMG的輸出力矩模型(6)，參考力矩uref所對應(yīng)的陀螺儀旋進角度ref與旋進角速度ref滿足：

對比式(6)與式(25)，當(dāng)控制力矩陀螺儀的旋進角度與旋進角速度滿足式(26)時，式(24)成立。

控制力矩陀螺儀的旋進角速度由驅(qū)動電機控制，對于驅(qū)動電機，其調(diào)速控制式(26)可由單位負反饋結(jié)合PI控制器實現(xiàn)，如圖6所示。

圖6 驅(qū)動電機控制

2.3 穩(wěn)定性證明

兩輪自平衡汽車控制系統(tǒng)由兩部分構(gòu)成，分別為車體自平衡控制系統(tǒng)和控制力矩陀螺儀控制系統(tǒng)，控制系統(tǒng)工作原理如圖7所示。由姿態(tài)測量單元測量兩輪自平衡汽車當(dāng)前側(cè)

對于控制力矩陀螺儀控制系統(tǒng)，輸入輸出穩(wěn)定的充要條件為圖6所示閉環(huán)控制系統(tǒng)特征方程的根位于復(fù)平面的左半平面。

圖6所示閉環(huán)控制系統(tǒng)的特征方程為：

根據(jù)勞斯-赫爾維茲穩(wěn)定性判據(jù)，式(27)的根位于復(fù)平面左半平面的充要條件是：

式(28)與式(29)成立時，控制力矩陀螺儀輸入輸出穩(wěn)定。圖6所示控制系統(tǒng)誤差函數(shù)為：

此時，式(26)和式(24)成立，從而兩輪自平衡汽車側(cè)傾方向動態(tài)響應(yīng)為(14)，其特征方程為：

式(30)的根位于復(fù)平面左半平面的充要條件為：

當(dāng)式(28)、式(29)、式(31)與式(33)同時成立時，控制系統(tǒng)輸入輸出穩(wěn)定。

3 控制系統(tǒng)仿真

3.1 性能驗證仿真參數(shù)

某車型兩輪自平衡汽車相關(guān)物理參數(shù)如表1所示。

表1 兩輪自平衡汽車相關(guān)參數(shù)

兩輪自平衡汽車側(cè)傾方向的姿態(tài)響應(yīng)過程為階躍響應(yīng)。對于所設(shè)計的控制系統(tǒng)，兩輪自平衡汽車能維持平衡的充要條件為式(24)成立。對于式(24)，具有如下性質(zhì)：在任意非平衡位置處，控制力矩陀螺儀的輸出力矩u的模大于車體所受重力矩mghsin的模，且兩者方向保持相反。由表1參數(shù)計算可知，兩輪自平衡汽車所受重力矩最大為490N.m。由于控制力矩陀螺儀隨著驅(qū)動電機的旋進，輸出力矩單調(diào)遞減，為了滿足兩輪自平衡汽車保持平衡的充要條件，設(shè)置初始側(cè)傾角度為15°，約0.26rad，控制力矩陀螺儀的最大輸出為800N.m，參考側(cè)傾角度為0°，即平衡位置。

圖7 控制系統(tǒng)工作原理圖

對于上述仿真條件，控制力矩陀螺儀控制器參數(shù)可選取KP=8，KI=2，自平衡控制器參數(shù)分別選取K=0（無阻尼），K=1（欠阻尼），K=2（臨界阻尼），K=3（過阻尼）四種仿真參數(shù)分別驗證式(15)～式(23)。

在MATLAB/SIMULINK軟件中，選擇Runge-Kutt積分方法，以1ms為定步長對本文提出的側(cè)傾姿態(tài)控制方法進行性能仿真驗證。

3.2 性能驗證仿真結(jié)果

分別選取K=0（無阻尼），K=1（欠阻尼），K=2（臨界阻尼），K=3（過阻尼）四種仿真參數(shù)對兩輪自平衡汽車側(cè)傾方向動態(tài)響應(yīng)進行驗證，仿真結(jié)果如圖8所示。

圖8 性能驗證結(jié)果

從圖8(a)可以看出，當(dāng)K=0時，兩輪自平衡汽車在控制器作用下在平衡位置附近做等幅振蕩運動，振幅為15°，振蕩周期為T=6.28s，符合式(15)計算得到的動態(tài)響應(yīng)。在圖8(b)中，兩輪自平衡汽車車體側(cè)傾動態(tài)響應(yīng)為欠阻尼響應(yīng)，根據(jù)(16)式～式(20)計算，延遲時間td=1.35s，最大峰值時間tp與上升時間tr為3.62s，超調(diào)量為σ%=16.32%，與仿真實驗結(jié)果一致。從圖8(c)與圖8(d)可以得出，當(dāng)K=2和K=3＞2時，兩輪自平衡汽車側(cè)傾方向動態(tài)響應(yīng)為臨界阻尼響應(yīng)和過阻尼響應(yīng)，根據(jù)式(21)～式(23)式計算，延遲時間td分別為1.8s和2.35s，上升時間分別為3.5s和5.5s，與實驗結(jié)果一致。由上述實驗結(jié)果可知，通過改變自平衡控制器的速度反饋系數(shù)K值，可以定量調(diào)整兩輪自平衡汽車車體側(cè)傾方向響應(yīng)的動態(tài)指標(biāo)，動態(tài)響應(yīng)指標(biāo)與K值之間的函數(shù)關(guān)系式為式(15)～式(21)。

3.3 動態(tài)響應(yīng)設(shè)計與仿真

為說明本文提出的控制器對兩輪自平衡汽車側(cè)傾動態(tài)響應(yīng)的控制能力，針對側(cè)傾動態(tài)響應(yīng)的動態(tài)響應(yīng)指標(biāo)約束，計算符合約束要求的速度反饋系數(shù)K值，進一步仿真驗證。

在初始側(cè)傾角度為30°時，回復(fù)至平衡狀態(tài)的動態(tài)響應(yīng)指標(biāo)要求如下：

解上述不等式組(35)，可得速度反饋系數(shù)滿足0.714≤K≤0.88，選取K=0.8，進行仿真驗證，結(jié)果如圖9所示。將K=0.8代入式(16)～式(20)計算可得td=1.272s，tr=2.16s，tp=3.426s，σ%=25%滿足動態(tài)響應(yīng)指標(biāo)約束。

圖9 動態(tài)響應(yīng)設(shè)計結(jié)果

4 結(jié)論

對于有駕駛?cè)藛T參與駕駛的兩輪自平衡汽車，車體側(cè)傾方向姿態(tài)控制系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是兩輪自平衡汽車側(cè)傾姿態(tài)控制的兩個重要因素。本文提出了基于反饋線性化的控制綜合控制方法，利用反饋線性化將兩輪自平衡汽車的非線性動力學(xué)模型轉(zhuǎn)換成為線性動力學(xué)模型，消除了在平衡點處線性化引起的線性化誤差。針對線性動力學(xué)模型設(shè)計了狀態(tài)反饋，并建立速度反饋系數(shù)K與動態(tài)響應(yīng)指標(biāo)之間的函數(shù)關(guān)系，通過改變速度反饋系數(shù)K，可準(zhǔn)確改變兩輪自平衡汽車側(cè)傾方向動態(tài)響應(yīng)指標(biāo)，定量設(shè)計動態(tài)響應(yīng)過程。針對所設(shè)計的動態(tài)響應(yīng)過程，本文為提供側(cè)傾力矩的控制力矩陀螺儀輸出力矩調(diào)節(jié)設(shè)計了PI控制器，并證明了整車控制系統(tǒng)的輸入輸出穩(wěn)定性，為兩輪自平衡汽車側(cè)傾方向姿態(tài)控制提供了一種新的控制算法。最后通過具體車型的仿真結(jié)果說明了本文提出的控制算法的有效性。