宋祥帥，王恩美，穆瑞楠，譚述君，蘭瀾

1. 大連理工大學(xué) 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點實驗室，大連 116024 2. 大連理工大學(xué) 航空航天學(xué)院，大連 116024 3. 上海躍盛信息技術(shù)有限公司，上海 200240

隨著空間技術(shù)的發(fā)展，衛(wèi)星通信、對地觀測、深空探測等領(lǐng)域?qū)μ炀€輻射頻率和增益的要求越來越高[1-2]。根據(jù)經(jīng)典的Ruze方程，為了實現(xiàn)天線的高增益，需要天線反射器具有很高的幾何精度[3-4]。研究表明天線反射器的均方根(Root Mean Square, RMS)誤差應(yīng)小于其工作波長的1/50[5]。天線反射器的制造誤差和在軌運行期間的熱變形誤差是天線最主要的誤差來源[6-7]。盡管在天線設(shè)計時充分考慮了制造誤差以及在軌熱變形誤差的影響，但僅依靠結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計和地面調(diào)整等被動措施很難保證天線的在軌型面精度。因此，主動控制反射器的型面以修正型面誤差、提高天線增益是必要的[8]。

壓電作動器因具有響應(yīng)速度快、定位精度高、作用頻帶寬等優(yōu)點，在結(jié)構(gòu)形狀控制和振動抑制領(lǐng)域得到廣泛的研究和應(yīng)用[9-10]。為實現(xiàn)反射器結(jié)構(gòu)的型面控制，國內(nèi)外許多研究機構(gòu)和學(xué)術(shù)單位均做了相應(yīng)的探索性研究工作，所應(yīng)用的壓電作動器大致可分為3類：① 鋯鈦酸鉛壓電陶瓷(PZT)作動器[11-12]；② 宏纖維復(fù)合材料(Macro Fiber Composite, MFC)壓電作動器[13-14]；③ 聚偏氟乙烯(PolyVinyliDene Fluoride, PVDF)壓電作動器[15]。PZT壓電作動器具有高剛度和高壓電常數(shù)，適用于薄殼結(jié)構(gòu)的形狀控制；MFC壓電作動器具有較好的韌性且壓電常數(shù)與PZT壓電作動器相當(dāng)，但MFC壓電作動器主要是粘貼在反射器結(jié)構(gòu)的表面實現(xiàn)反射面的變形，因此其作用在結(jié)構(gòu)上的彎矩較小，變形能力有限；相比于前兩種壓電作動器，PVDF壓電作動器的剛度最低，可任意粘貼在結(jié)構(gòu)表面，但其壓電常數(shù)也是三者中最低的，多用于柔性較大的薄膜天線反射器。綜合壓電作動器的性能，固面反射器更適合采用PZT壓電作動器；在作動方式上，由于面內(nèi)作動方式反射器結(jié)構(gòu)不需要剛性基底支撐，能夠有效地減小結(jié)構(gòu)的質(zhì)量，更適合應(yīng)用于空間反射器[16]。

本文以主控格柵反射器為研究對象，建立主控格柵反射器、壓電作動器一體化有限元模型；針對反射器的變形能力，設(shè)計旋轉(zhuǎn)拋物面形狀為目標(biāo)形狀，采用影響系數(shù)矩陣法建立反射器型面控制優(yōu)化模型并通過最小二乘法求解作動器最優(yōu)控制律；搭建主控格柵反射器實驗演示系統(tǒng)，驗證建模方法的準(zhǔn)確性和控制方法的有效性。

1 主控格柵反射器一體化有限元建模

格柵反射器主要由反射面、U型開槽的格柵和PZT作動器3部分組成，結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示。U型開槽的格柵垂直安裝在反射面的背部，以提供反射器足夠的剛度；PZT作動器安裝在U型槽內(nèi)，通過對作動器施加電壓誘發(fā)背部格柵產(chǎn)生面內(nèi)彎曲，實現(xiàn)對反射器的型面調(diào)整。

圖1 格柵反射器結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic of reflector structure with PZT actuators assembled on ribs

1.1 格柵反射器和作動器有限元建模

碳纖維增強復(fù)合材料(Carbon Fiber Reinforced Polymer, CFRP)因其具有高尺寸穩(wěn)定性、低成本、質(zhì)量輕等特點，廣泛用于航天器部件的研制[17]。格柵反射器的反射面和背部格柵均為8層CFRP層合板結(jié)構(gòu)。采用ANSYS有限元分析軟件建立反射器的有限元模型，反射面與背部格柵均采用四節(jié)點板單元，壓電作動器采用兩節(jié)點軸力桿單元。

1.2 作動器熱載荷比擬法建模

忽略磁場效應(yīng)和熱壓電效應(yīng)，只考慮x3方向的變形并加入電學(xué)短路邊界條件，壓電材料的本構(gòu)關(guān)系可表示為[19-20]

{σ3=c33ε3-e33E3

D3=e33ε3+ζ33E3

(1)

e33也可表示為

e33=d33c33

(2)

式中:σ3和ε3分別為壓電片x3方向的應(yīng)力和應(yīng)變；c33為應(yīng)力應(yīng)變常數(shù)；D3和E3分別為x3方向的電位移和電場強度；e33為壓電應(yīng)力常數(shù)；d33為壓電應(yīng)變常數(shù)；ζ33為介電常數(shù)。

以壓電材料本構(gòu)關(guān)系式為基礎(chǔ)，構(gòu)造單元位移形函數(shù)和電勢形函數(shù),通過虛功原理可導(dǎo)出壓電單元的平衡方程，其表達式為

(3)

圖2 PZT作動器結(jié)構(gòu)示意圖Fig.2 Schematic of PZT actuator structure

(4)

(5)

(6)

彈性體由溫度變化而產(chǎn)生的節(jié)點力為[18]

(7)

式中:α為熱膨脹系數(shù)；ΔT為單元溫度載荷。

比較式(6)和式(7)，令相同電壓和溫度所產(chǎn)生的壓電等效載荷與熱彈性力相等，可得到壓電應(yīng)變與熱彈性應(yīng)變是相等的。因此可將PZT壓電作動器驅(qū)動電壓比擬為熱載荷，得到等效的熱膨脹系數(shù)為

α=d33/l

(8)

而熱載荷可以采用ANSYS的節(jié)點溫度載荷實現(xiàn)。

2 主控格柵反射器型面控制方法

對于在軌運行的天線反射器由于外載荷變化緩慢，可將反射器結(jié)構(gòu)的變形過程作為靜態(tài)或準(zhǔn)靜態(tài)過程進行分析。影響系數(shù)矩陣法假設(shè)壓電作動器彼此之間是相互獨立的，反射器變形為小變形，滿足反射器變形位移與作動器輸入電壓的線性關(guān)系和疊加原理，該方法操作簡單，同時具有較高的計算精度，在反射器型面主動控制方面得到了廣泛應(yīng)用[11-14]。

影響系數(shù)矩陣的列向量對應(yīng)不同編號壓電作動器施加單位電壓、其他作動電壓為零時反射面所有節(jié)點的Z向位移。對于本文的有限元仿真，依次對每個作動器施加單位溫度(相當(dāng)于單位電壓)，其他作動器的溫度載荷為零，提取反射面所有節(jié)點的Z向位移作為該作動器對應(yīng)的影響系數(shù)矩陣的列向量，將得到的每個作動器對應(yīng)的列向量組裝成影響系數(shù)矩陣。通過影響系數(shù)矩陣可建立輸入電壓與反射器變形之間的線性關(guān)系數(shù)學(xué)模型，其表達式為

zreal=BUu

(9)

式中：zreal為反射器采樣點的Z向位移變化量；u為作動器輸入電壓變化量；BU為影響系數(shù)矩陣,BU(i,j)表示在第j個作動器上施加單位電壓時，第i個觀測點位置在Z向的位移。

建立反射器變形與作動器電壓數(shù)學(xué)模型后可將反射器型面主動控制轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼夥瓷淦鬟_到目標(biāo)形狀的作動器最優(yōu)電壓問題，具體表達式為

s.t. |u+u0|≤umaxi=1,2,…,N

(10)

式中：zdesire為反射器當(dāng)前形狀與目標(biāo)形狀的Z向位移偏差；u0為作動器的初始電壓；umax為作動器允許最大加載電壓；N為作動器個數(shù)。

目標(biāo)函數(shù)為型面誤差，控制變量為每個作動器的輸入電壓值，約束條件為作動器電壓限值。利用最小二乘法求解作動器的最優(yōu)輸入電壓。

3 數(shù)值驗證

如圖1所示，反射器內(nèi)切圓直徑為654 mm。反射面和背部格柵每層CFRP厚0.125 mm，鋪層方向為(0°/45°/-45°/90°)s，單層CFRP材料性能如表1所示，表中E為彈性模量，ν為泊松比，G為剪切模量，下標(biāo)1、2、3分別代表X、Y、Z方向。PZT壓電作動器水平安裝在U型槽的中間，反射器邊緣格柵處沒有安裝作動器，整個反射器一共有30個作動器。為了便于后續(xù)辨別壓電作動器控制電壓施加位置，根據(jù)控制器形式，將30個作動器分為A、B兩組，每組15個作動器，詳細分組情況如圖3所示。每節(jié)U型槽格柵長189 mm、高40 mm、開槽長度為100 mm、開槽深度為20 mm，反射器在作動器A2、B1、B3距離中心10 mm的格柵處固定約束，幾何尺寸和邊界條件如圖4所示。PZT壓電作動器選用哈爾濱芯明天科技有限公司生產(chǎn)的60VS12，其性能參數(shù)和等效參數(shù)如表2所示。

表1 單層CFRP材料性能Table 1 Material properties of single layer CFRP

圖3 PZT作動器分組Fig.3 Grouping of PZT actuators

圖4 U型槽格柵幾何參數(shù)和邊界條件Fig.4 Geometric parameters of U-shaped rib and bounary condition

表2 PZT作動器性能參數(shù)和等效參數(shù)Table 2 Performance parameters and equivalent parameters of PZT actuator

算例中以旋轉(zhuǎn)拋物面作為形狀控制目標(biāo)，拋物面方程為X2+Y2=2PZ,其焦距P=600 m。圖5給出了反射器初始型面偏離目標(biāo)型面的殘差云圖，反射器初始型面的RMS誤差為48.5 μm。

圖5 反射器型面初始殘差云圖Fig.5 Contours of initial residual errors of reflector shape

圖6 控制后反射器型面殘差云圖(仿真結(jié)果)Fig.6 Contours of residual errors of reflector shape after control (simulation results)

圖7 作動器最優(yōu)電壓(仿真結(jié)果)Fig.7 Optimal voltages of actuators(simulation results)

圖6給出了主動控制后反射面偏離目標(biāo)形狀的殘差云圖。從圖6可以看出，控制后反射器型面基本達到了目標(biāo)型面，反射面殘差僅為1.1 μm。對比初始殘差和控制后反射面的殘差可以看出，反射面的RMS誤差從48.5 μm降低到1.1 μm，型面精度提高了97.7%，仿真結(jié)果表明主動控制方法是有效的、可行的。圖7給出了壓電作動器的最優(yōu)電壓。由于所建立的格柵反射器和作動器分布是對稱的，而且有限元模型是線性的且不存在模型誤差，同時仿真中的邊界條件和外載荷也是對稱的，因此作動器的最優(yōu)電壓呈對稱分布。

4 實驗驗證

為了驗證建模方法的準(zhǔn)確性和控制算法的有效性，搭建了主控格柵反射器實驗平臺如圖8所示，該系統(tǒng)包括被控對象：格柵反射器實驗?zāi)Ｐ停蛔鲃釉O(shè)備：30個PZT壓電作動器 (2個壓電作動器控制器、每個15通道)；測量設(shè)備：V-STAR攝影測量儀；其他輔助設(shè)備：Newport光學(xué)主動隔振實驗平臺和反射器支撐結(jié)構(gòu)。實驗采用V-STAR攝影測量儀測量反射面的變形，通過粘貼離散的靶點來表征整個反射面，靶點區(qū)域為內(nèi)切圓直徑為596 mm的六邊形。

圖8 主控格柵反射器實驗演示系統(tǒng)Fig.8 Experiment demonstration system of reflector with PZT actuators assembled on ribs

4.1 主控格柵反射器一體化建模

實驗首先采用V-STAR攝影測量儀測量反射面采樣點的初始坐標(biāo)，V-STAR攝影測量儀的測量精度為5 μm+5 μm/m；然后選取環(huán)向作動器A7和徑向作動器B3分別施加150 V驅(qū)動電壓，再次測量得到變形后采樣點的坐標(biāo)；最后將兩次測量的Z向坐標(biāo)求差，得到反射面Z向變形位移。由于V-STAR攝影測量儀每次測量得到采樣點是在不同的坐標(biāo)系描述的，因此需要建立統(tǒng)一的全局坐標(biāo)系。全局坐標(biāo)系Z軸垂直于光學(xué)實驗平臺，坐標(biāo)原點為反射器的中心。

圖9 A7作動器施加150 V電壓后反射器的變形云圖Fig.9 Deformation contours of reflector after A7 actuator applied with 150 V voltage

圖10 B3作動器施加150 V電壓后反射器的變形云圖Fig.10 Deformation contours of reflector after B3 actuator applied with 150 V voltage

圖9給出了A7作動器施加150 V電壓后有限元仿真變形云圖和實驗變形云圖。圖10給出了B3作動器施加150 V電壓后的仿真變形云圖和實驗變形云圖。對比仿真和實驗云圖可以看出雖然反射面變形的峰、谷值有些差別，但是整體的變形趨勢是一致的，因此所建立的模型是準(zhǔn)確的且能夠預(yù)測反射面的變形。分析導(dǎo)致仿真和實驗峰、谷值存在差別的原因主要有以下幾點：① 反射器的制造誤差；② 攝影測量儀的測量誤差；③ 有限元模型誤差，建立反射器層合板有限元模型時忽略了不同鋪層之間環(huán)氧樹脂膠的影響；④ 作動器的安裝誤差，作動器安裝時很難保證作動器與反射面平行且不存在預(yù)緊力。

4.2 格柵反射器型面主動控制

格柵反射器型面主動控制實驗首先測量影響系數(shù)矩陣，影響系數(shù)矩陣的每一列對應(yīng)不同編號壓電作動器施加單位電壓后反射面所有采樣點的Z向位移。采樣點Z向位移的具體測量步驟同4.1節(jié)，優(yōu)化模型的建立和最優(yōu)電壓的求解同第3節(jié)。圖11給出了控制后反射器型面殘差云圖，RMS誤差從53 μm降低到27.1 μm，型面精度提高了將近50%，實驗驗證了控制方法是可行的。

圖11 控制后反射器型面殘差云圖 (實驗結(jié)果)Fig.11 Contours of residual errors of reflector shape after control (experimental results)

圖12 作動器最優(yōu)電壓(實驗結(jié)果)Fig.12 Optimal voltages of actuators(experimental results)

對比圖6和圖11可以看出，仿真結(jié)果明顯優(yōu)于實驗結(jié)果，這主要是由文中采用影響系數(shù)矩陣法的假設(shè)所導(dǎo)致的。影響系數(shù)矩陣法假設(shè)主控格柵反射器系統(tǒng)的作動器輸入電壓和反射器型面變形之間的關(guān)系是線性的。該假設(shè)對于小變形下格柵反射器的有限元模型、PZT壓電作動器的熱比擬等效模型的描述是完全成立的，因此仿真的控制效果非常理想。然而對于真實的實驗系統(tǒng)，考慮到PZT壓電作動器的工藝水平，其輸入電壓和輸出位移不完全是線性的(尤其在接近最大電壓時)，再加上格柵反射器的制造誤差、以及攝影測量誤差等因素，使得實際測得的影響系數(shù)矩陣對實驗系統(tǒng)模型的描述存在一定程度上的近似。因此，與仿真結(jié)果相比，實驗結(jié)果存在一定的誤差。而實驗結(jié)果將型面精度提高了近50%，也說明了影響系數(shù)矩陣法對實驗系統(tǒng)模型近似描述的有效性。圖12給出了作動器最優(yōu)電壓的實驗結(jié)果，與圖7對比可以看出作動器電壓分布的實驗結(jié)果并不具有理論仿真結(jié)果的對稱性，這主要是由于試驗中的反射器和作動器均是手工安裝的，很難保證結(jié)構(gòu)完全對稱。

5 結(jié) 論

以主控格柵反射器為研究對象，研究了反射器、作動器一體化建模和型面控制問題，并完成了數(shù)值仿真和實驗驗證。研究結(jié)果表明：

1) 采用PZT壓電作動器控制反射器的型面精度是可行的。

2) 熱比擬法結(jié)合有限元法建立的反射器一體化模型能夠準(zhǔn)確預(yù)測反射器變形。

3) 采用影響系數(shù)矩陣法結(jié)合最小二乘法實現(xiàn)主動控制格柵反射器的型面控制是可行的，實驗結(jié)果表明反射器型面精度提高了將近50%。

(A1)

根據(jù)應(yīng)變位移的幾何關(guān)系，桿單元沿x3向的應(yīng)變可表示為

(A2)

根據(jù)式(A1)和式(A2)，桿單元沿x3向的應(yīng)變與位移關(guān)系可表示為

(A3)

對于并聯(lián)的壓電陶瓷片，當(dāng)x3∈[(k-1)lkl],k=1,2,…,n時，電勢呈線性分布。構(gòu)造單元電勢形函數(shù)，通過形函數(shù)插值,壓電作動單元的電勢函數(shù)可表示為

(k-1)(φ2-φ1)+φ1=NφΦ(e)

(A4)

壓電單元電場強度可表示為

(A5)

壓電單元變形方程可以通過虛功原理得到，虛功原理表達式為

δU+δW=0

(A6)

(A7)

δW=-δ(q(e))TF(e)

(A8)

將式(A3)和式(A5)代入(A7)，即

(A9)

將式(A8)和式(A9)代入式(A6)可得壓電單元變形方程為

(A10)

(A11)

(A12)