林燕

摘要：本文通過分析類課程的具體實(shí)例，從四個(gè)方面探討了如何在大學(xué)數(shù)學(xué)創(chuàng)新教學(xué)的實(shí)踐過程中循序漸進(jìn)地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思維；分析類課程；創(chuàng)新教學(xué)中圖分類號(hào)：O13

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1674-9324（2018）20-0200-02 創(chuàng)新教學(xué)的目的是培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思想和創(chuàng)新能力。大學(xué)數(shù)學(xué)創(chuàng)新教學(xué)的根本內(nèi)涵是鍛煉學(xué)生的思維能力。大學(xué)本科數(shù)學(xué)專業(yè)分析類的相關(guān)課程，如數(shù)學(xué)分析、實(shí)變函數(shù)、泛函分析等，具有高度的抽象性、嚴(yán)密的邏輯性等特點(diǎn)，一直以來都是學(xué)生學(xué)習(xí)的“重災(zāi)區(qū)”。在創(chuàng)新教學(xué)的實(shí)踐過程中，通過教學(xué)模式和教學(xué)方法的革新，幫助學(xué)生克服困難，是任課教師的首要任務(wù)。數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)是克服這些困難的重要途徑，只有培養(yǎng)好學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，從根本上改變傳統(tǒng)的形象的認(rèn)知方式，使學(xué)生從數(shù)學(xué)最根本的角度去思考問題，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乇磉_(dá)問題，才能真正學(xué)好這些課程。作為一名分析類課程的主講教師，如何在具體的教學(xué)過程中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，這是引導(dǎo)學(xué)生掌握學(xué)科特點(diǎn)，學(xué)好相關(guān)課程，增強(qiáng)創(chuàng)新能力的關(guān)鍵所在。一、加深對(duì)基本概念的理解要想從數(shù)學(xué)的角度去思考問題，首先需要有牢固的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，這就是對(duì)基本概念的掌握。數(shù)學(xué)中的基本概念是所有問題的基礎(chǔ)和出發(fā)點(diǎn)，基本概念掌握得是否牢固，理解得是否深刻，直接影響對(duì)知識(shí)點(diǎn)的運(yùn)用。1.深入剖析定義的本質(zhì)含義。分析學(xué)中第一個(gè)難以理解的概念就是極限定義。如何用靜態(tài)的ε-δ語(yǔ)言去刻畫動(dòng)態(tài)的函數(shù)極限■f（x）=A，這是上課講授的重點(diǎn)和難點(diǎn)。首先需要明確，在ε-δ語(yǔ)言的四句描述[1]“？坌ε>0，？堝δ>0，當(dāng)0<|x-x■|<δ時(shí)，|f（x）-A|<ε”中，第一和第四兩句是用來刻畫函數(shù)值變化趨勢(shì)的，用“|f（x）-A|<ε”來體現(xiàn)f（x）與A無限接近的程度。從這個(gè)角度來看，雖然寫的是“？坌ε>0”，實(shí)際上越小的ε對(duì)極限越有貢獻(xiàn)。在學(xué)習(xí)定義的過程中把這點(diǎn)理解到位了，后面講例題中涉及到用定義證明極限的時(shí)候，為了證明的需要有些地方會(huì)直接設(shè)“0<ε<1”，學(xué)生理解起來就不會(huì)覺得突兀了。第二和第三兩句是用來刻畫自變量變化趨勢(shì)的，用“|x-x■|<δ”來體現(xiàn)x與x■無限接近的程度，從這個(gè)角度來看越小的δ越能體現(xiàn)x趨于x■。在學(xué)習(xí)定義的過程中把這點(diǎn)理解到位了，后面涉及極限定義證明的時(shí)候，δ取小的技巧就變得理所當(dāng)然了。“0<|x-x■|”是一個(gè)往往容易忽視的條件，這里出現(xiàn)問題說明對(duì)函數(shù)極限的本質(zhì)沒有把握好。函數(shù)極限考察的是x無限接近x■時(shí)函數(shù)值f（x）的變化趨勢(shì)，是一個(gè)動(dòng)態(tài)的過程，這與函數(shù)在x■點(diǎn)的行為無關(guān)，所以極限定義中并不要求x=x■。這個(gè)條件需要強(qiáng)調(diào)清楚，才能把函數(shù)極限的ε-δ語(yǔ)言和連續(xù)函數(shù)的ε-δ語(yǔ)言區(qū)別開來。2.從正反兩方面進(jìn)行探討。數(shù)學(xué)中的很多問題，我們不僅要了解滿足條件的那些對(duì)象，也需要了解不滿足條件的那些對(duì)象。在教學(xué)過程中，不斷引導(dǎo)學(xué)生思考命題和它的否定命題，探討概念和它的否定形式，可以進(jìn)一步加深對(duì)概念的理解。例如數(shù)集S有界，是指[1]？堝M>0，？坌x∈S，有|x|≤M。反過來，數(shù)集S無界就應(yīng)該表達(dá)為？坌M>0，？堝x■∈S，使|x■|>M。另外，分析學(xué)中的一些概念本身就是用否定形式給出的，這其中最具代表性的就是“幾乎處處”的概念。命題π在集合E上幾乎處處成立，其本質(zhì)是指在集合E中命題π不成立的點(diǎn)所組成的集合是一個(gè)零測(cè)度集。學(xué)生在學(xué)習(xí)定義的時(shí)候把這點(diǎn)理解到位了，以后涉及“幾乎處處”的問題，出發(fā)點(diǎn)就應(yīng)該是去尋找命題成立的反面，也就是命題不成立的點(diǎn)集。 3.加強(qiáng)對(duì)等價(jià)定義的掌握。等價(jià)定義實(shí)現(xiàn)了從不同的數(shù)學(xué)角度對(duì)同一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的刻畫，熟練掌握基本概念的等價(jià)定義，可以幫助學(xué)生從宏觀的角度加深對(duì)基本概念的理解，提高運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)的靈活性。例如“稠密”的概念[2，3]，X的子集E在X中稠密，既可以定義為？坌x∈X，？坌ε>0，？堝y∈E，使ρ（x，y）<ε，也可以定義為？坌x∈X，？堝{y■}？奐E，使y■→x。兩者分別從ε語(yǔ)言和極限的角度對(duì)“稠密”進(jìn)行了刻畫，其本質(zhì)是相同的。集合E是閉集[2，4]，既可以定義為E的聚點(diǎn)都在E中，也可以定義為E的界點(diǎn)都在E中，還可以定義為E=■（E的閉包）。學(xué)生在掌握閉集的等價(jià)定義的過程中，還可以加深對(duì)聚點(diǎn)與界點(diǎn)關(guān)系的理解。另外，選擇合適的等價(jià)定義，也可以提高解決問題的效率，起到事半功倍的效果。二、探究知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系從數(shù)學(xué)的角度去思考問題，就是把你的考察對(duì)象抽象成數(shù)學(xué)對(duì)象，然后運(yùn)用各種數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)作為工具去研究它。這就需要掌握好各個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，建立起一個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)系網(wǎng)。很多同學(xué)感覺在做題解決問題的時(shí)候沒有思路，無從下手，其主要原因就是對(duì)知識(shí)點(diǎn)的把握是孤立的，零散的，沒有建立起彼此之間的聯(lián)系。正確的學(xué)習(xí)方法應(yīng)該是：每學(xué)習(xí)一個(gè)新的知識(shí)點(diǎn)，就自發(fā)去思考和前面所學(xué)的知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，主動(dòng)去建立這種相關(guān)性的思維，不斷豐富知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)系網(wǎng)。例如學(xué)習(xí)了內(nèi)點(diǎn)、界點(diǎn)、外點(diǎn)、聚點(diǎn)和孤立點(diǎn)的概念[2，4]之后，就應(yīng)該去探究它們彼此之間的關(guān)系。孤立點(diǎn)一定是界點(diǎn)，內(nèi)點(diǎn)和非孤立點(diǎn)的界點(diǎn)是聚點(diǎn)，既不是聚點(diǎn)又不是孤立點(diǎn)則必為外點(diǎn)。這些相互關(guān)系的探討可以幫助學(xué)生加深對(duì)這五類點(diǎn)的理解。再畫圖結(jié)合具體的集合的實(shí)例，可以幫助學(xué)生掌握好這些抽象的概念。三、強(qiáng)化數(shù)學(xué)語(yǔ)言的表達(dá)強(qiáng)化數(shù)學(xué)語(yǔ)言的表達(dá)，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的重要途徑。有的學(xué)生對(duì)上課教授的內(nèi)容能理解清楚，但是做作業(yè)的時(shí)候自己的意思表達(dá)不出來，或者寫出來的東西條理不清，邏輯混亂，這些都是在數(shù)學(xué)語(yǔ)言的表達(dá)上有所欠缺。數(shù)學(xué)語(yǔ)言的精煉與高度概括的特點(diǎn)，可以幫助學(xué)生從紛繁蕪雜的現(xiàn)象中直擊問題的核心。用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言去描述問題，更有利于從數(shù)學(xué)的角度去思考問題。在教學(xué)過程中應(yīng)該不斷強(qiáng)化數(shù)學(xué)語(yǔ)言的表達(dá)，引導(dǎo)學(xué)生實(shí)現(xiàn)文字表達(dá)與數(shù)學(xué)表達(dá)的自由轉(zhuǎn)換，這種轉(zhuǎn)換實(shí)際上就是數(shù)學(xué)思維的建立。例如集合語(yǔ)言就是實(shí)變函數(shù)中的常用表達(dá)方式。函數(shù)f在x■點(diǎn)連續(xù)，可以表達(dá)為？坌ε>0，？堝δ>0，使f（（x■-δ，x■+δ））？奐（f（x■）-ε，f（x■）+ε）。點(diǎn)P是集合E的聚點(diǎn)，文字表達(dá)為：在P的任意領(lǐng)域中，至少含有一個(gè)屬于E而異于P的點(diǎn)?？梢院?jiǎn)單地用數(shù)學(xué)表達(dá)為：？坌ε>0，U■（P；ε）∩E≠？準(zhǔn)。函數(shù)f在[a，b]上有上界M，可以表達(dá)為[a，b]？奐{x：f（x）≤M}。四、創(chuàng)建數(shù)學(xué)思維的環(huán)境創(chuàng)造數(shù)學(xué)思維的環(huán)境，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維不可或缺的重要條件。老師的言傳身教往往能起到“潤(rùn)物細(xì)無聲”的作用。教師除了教授知識(shí)，更應(yīng)該注重對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)方法的培養(yǎng)。在教學(xué)過程中，可以不斷強(qiáng)化數(shù)學(xué)語(yǔ)言的表達(dá)，數(shù)學(xué)符號(hào)的使用，邏輯性的訓(xùn)練等。不斷引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度思考問題解決問題，從課堂知識(shí)引申到實(shí)際問題，可以提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，這對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)非常有利。另外也可以采取學(xué)習(xí)興趣小組的模式，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)和討論一些課外讀物。讓學(xué)生從“聽”的角度轉(zhuǎn)換到“講”的角度，再輔以老師提問作引導(dǎo)，更有利于學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度去思考問題，提高學(xué)生數(shù)學(xué)語(yǔ)言的表達(dá)能力。綜上可見，教師在大學(xué)數(shù)學(xué)創(chuàng)新教學(xué)的實(shí)踐活動(dòng)中，結(jié)合學(xué)科的特點(diǎn)，可以從加深對(duì)基本概念的理解、探究知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系、強(qiáng)化數(shù)學(xué)語(yǔ)言的表達(dá)、創(chuàng)建數(shù)學(xué)思維的環(huán)境這四個(gè)方面入手，循序漸進(jìn)地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，觸類旁通地為其他學(xué)科的學(xué)習(xí)提供有利的條件。參考文獻(xiàn)：[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2001.[2]程其襄，等.實(shí)變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003.[3]張恭慶，林源渠.泛函分析講義（上冊(cè)）[M].北京：北京大學(xué)出版社，2001.[4]周民強(qiáng).實(shí)變函數(shù)論（第二版）[M].北京：北京大學(xué)出版社，2003.