郁順昌，黃定江

(1．華東理工大學(xué)理學(xué)院，上海200237; 2．華東師范大學(xué) 數(shù)據(jù)科學(xué)與工程學(xué)院，上海200241)

(*通信作者電子郵箱shuncyu@163．com)

0 引言

投資組合選擇是計(jì)算金融領(lǐng)域［1－2］中的一個(gè)基本問(wèn)題，也是金融工程領(lǐng)域［3－5］中一項(xiàng)具體的實(shí)際工程任務(wù)。它的主要目的在于優(yōu)化一組資產(chǎn)間的收益分配，進(jìn)而獲得最優(yōu)的投資回報(bào)。近幾十年來(lái)，人們對(duì)投資組合選擇問(wèn)題已經(jīng)在機(jī)器學(xué)習(xí)［6－8］和人工智能［9－12］領(lǐng)域進(jìn)行了廣泛的探索。其中，一類具有代表性和前沿性的研究就是反轉(zhuǎn)策略，即捕捉和利用金融市場(chǎng)中的均值反轉(zhuǎn)現(xiàn)象，使得投資累積收益最大化。

雖然這些均值反轉(zhuǎn)類算法在許多數(shù)據(jù)集上的應(yīng)用十分成功，但在道瓊斯工業(yè)指數(shù)(Dow Jones Industrial Average，DJIA)數(shù)據(jù)集［13－16］上卻表現(xiàn)不佳。主要原因包括:1)現(xiàn)有的部分均值反轉(zhuǎn)策略不能很好地處理噪聲和異常值;2)沒(méi)有充分考慮金融時(shí)間序列中普遍存在的非平穩(wěn)性特征;3)單周期的假設(shè)并不符合實(shí)際情形。

針對(duì)上述問(wèn)題，本文利用自回歸移動(dòng)平均反轉(zhuǎn)模型，并結(jié)合在線被動(dòng)攻擊(Passive Aggressive，PA)算法提出了在線自回歸移動(dòng)平均反轉(zhuǎn)(OnLine Autoregressive moving average Reversion，OLAR)策略。同時(shí)，在4個(gè)真實(shí)市場(chǎng)的數(shù)據(jù)集上進(jìn)行了大量的對(duì)比實(shí)驗(yàn)，并進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)，進(jìn)一步地論證了策略的有效性。

1 相關(guān)工作

人們對(duì)在線投資組合選擇已經(jīng)遵循Kelly投資理論進(jìn)行了廣泛的探索。一般地，從所遵循的原則來(lái)說(shuō)，投資組合選擇研究有兩個(gè)主流學(xué)派，即Markowitz均值方差理論［17］和Kelly資本增長(zhǎng)理論［18］。而Kelly投資理論中一類代表性的工作是均值反轉(zhuǎn)類策略［13－16，19］，這也是本文研究的主要內(nèi)容。此類策略主要分為以下兩種類型:

1)利用歷史價(jià)格數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)。

在此類情形中，一般假設(shè)資產(chǎn)價(jià)格服從正態(tài)分布，此時(shí)歷史平均價(jià)格可以很好地用來(lái)解釋市場(chǎng)行為。此類策略主要分為以下兩種:

一種是利用所有的歷史價(jià)格數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)。主要包括固定再平衡投資組合(ConstantRebalancedPortfolios，CRP)［20－21］、最 優(yōu) 的 固 定 再 平 衡 投 資 組 合 (Best CRP，BCRP)［22］、連 續(xù) 固 定 再 平 衡 投 資 組 合 (Successive CRP，SCRP)［23］和在線牛頓步(Online Newton Step，ONS)［24－25］策略。CRP策略在整個(gè)投資期間保持每個(gè)資產(chǎn)的權(quán)重固定;在市場(chǎng)獨(dú)立同分布的假設(shè)下，整個(gè)市場(chǎng)序列的BCRP策略是一個(gè)最佳的事后CRP策略;而SCRP和ONS則隱含地假設(shè)歷史相對(duì)價(jià)格服從均勻分布，進(jìn)而來(lái)預(yù)測(cè)下一個(gè)價(jià)格。

除了利用所有的歷史相對(duì)價(jià)格來(lái)進(jìn)行預(yù)測(cè)之外，一些策略通過(guò)選擇一組相似的相對(duì)價(jià)格來(lái)預(yù)測(cè)下一個(gè)相對(duì)價(jià)格。主要包括基于滑動(dòng)窗口的非參核(Nonparametric Kernel based moving window，BK) 策 略［26］、非參 最近 鄰 (Nonparametric Nearest neighbor，BNN) 策 略［27］和 相 關(guān) 驅(qū) 動(dòng) 非 參 學(xué) 習(xí)(Correlation-driven nonparametric learning，CORN) 策 略［28］。此類算法主要選擇不同的相似性度量來(lái)衡量相對(duì)價(jià)格序列的相似度，并構(gòu)造相似集，進(jìn)一步利用相似集來(lái)預(yù)測(cè)下一個(gè)相對(duì)價(jià)格。BK策略利用核方法來(lái)度量相似性;在相同的框架下，BNN策略利用最近鄰方法來(lái)尋找一組相似的相對(duì)價(jià)格序列;CORN策略通過(guò)序列相關(guān)性來(lái)度量相似度。

2)利用單值預(yù)測(cè)來(lái)預(yù)測(cè)下一個(gè)相對(duì)價(jià)格。

單值預(yù)測(cè)也是目前“追蹤低收益組合”類策略普遍采取的一種做法。近些年來(lái)，國(guó)內(nèi)外的很多學(xué)者進(jìn)行了更加深入的研究和探索，包括目前表現(xiàn)最好的在線滑動(dòng)平均反轉(zhuǎn)(Online Moving Average Reversion，OLMAR)和魯棒中位數(shù)反轉(zhuǎn)(Robust Median Reversion，RMR)策略。此類策略顯式地或者隱含地假設(shè)市場(chǎng)存在反轉(zhuǎn)現(xiàn)象。此類策略主要包括指數(shù)梯度(Exponential Gradient，EG)、被動(dòng)主動(dòng)均值反轉(zhuǎn)(Passive Aggressive Mean Reversion，PAMR)［15］、置信加權(quán)均值反轉(zhuǎn)(Confidence Weight Mean Reversion， CWMR)［16］、OLMAR［13－14］和 RMR［19］等策略。EG［23］把上一個(gè)相對(duì)價(jià)格作為下一個(gè)相對(duì)價(jià)格的預(yù)測(cè)值;PAMR和CWMR用上一個(gè)相對(duì)價(jià)格的倒數(shù)作為下一個(gè)相對(duì)價(jià)格的預(yù)測(cè)值;OLMAR利用移動(dòng)平均或者指數(shù)平滑來(lái)預(yù)測(cè)下一個(gè)相對(duì)價(jià)格;RMR則利用L1中位數(shù)估計(jì)量來(lái)預(yù)測(cè)下一個(gè)相對(duì)價(jià)格。

然而，還有一些算法不注重估計(jì)量的選擇和設(shè)計(jì)。比如，泛化投資組合(Universal Portfolios，UP)［22，29］是所有 CRP 的歷史加權(quán)平均;反相關(guān)性(Anti-correlation，Anticor)策略［30］利用正滯后互相關(guān)和負(fù)自相關(guān)的一致性來(lái)調(diào)整投資組合。

本文假設(shè)市場(chǎng)存在反轉(zhuǎn)現(xiàn)象，并遵循單值預(yù)測(cè)的方法來(lái)設(shè)計(jì)投資組合。本文著重解決金融時(shí)間序列的非平穩(wěn)性，單周期和噪聲等問(wèn)題，重點(diǎn)關(guān)注策略在累積收益等指標(biāo)上的性能提升和交易成本對(duì)策略的影響，并設(shè)計(jì)更加有效的算法。

2 問(wèn)題定義

考慮金融市場(chǎng)上一項(xiàng)具有d類資產(chǎn)和n個(gè)交易周期的投資。第t個(gè)交易周期，資產(chǎn)價(jià)格由收盤價(jià)向量pt∈Rd+來(lái)表示，其中元素pit表示第i類資產(chǎn)的收盤價(jià)。資產(chǎn)價(jià)格的變化由相對(duì)價(jià)格向量xt=(x1t，x2t，…，xdt)∈Rd+來(lái)表示，其中xjt表示第j類資產(chǎn)在第t與t－1期收盤價(jià)的比率，即在第t個(gè)周期對(duì)第j類資產(chǎn)的投資將會(huì)通過(guò)因子xjt來(lái)增加。記為從t周期到t周期的相對(duì)價(jià)格序12列。

投資組合經(jīng)理的目標(biāo)是設(shè)計(jì)一個(gè)策略bn1來(lái)最大化投資組合的累積收益Sn，其中投資組合選擇以在線的方式進(jìn)行。根據(jù)歷史信息，管理者會(huì)在周期t為相對(duì)價(jià)格向量xt選擇一個(gè)新的投資組合向量bt。而由此產(chǎn)生的投資組合bt則基于投資周期的收益st進(jìn)行打分。這樣的過(guò)程不斷重復(fù)直到交易周期結(jié)束，而投資組合策略的表現(xiàn)是根據(jù)最終的累積收益來(lái)進(jìn)行打分的。在上面的模型中，有3個(gè)隱含的假設(shè):無(wú)交易成本、完美市場(chǎng)和零沖擊成本。這幾個(gè)假設(shè)是不平凡的，在實(shí)際中也并非可行，需要進(jìn)一步探討。

3 模型動(dòng)機(jī)

實(shí)證研究表明反轉(zhuǎn)也許更符合市場(chǎng)規(guī)律，即當(dāng)前表現(xiàn)差的股票在下一周期會(huì)表現(xiàn)得好。在實(shí)踐中，一個(gè)Kelly投資經(jīng)理首先就k個(gè)可能的值及其相應(yīng)的概率p1，p2，…，pk來(lái)預(yù)測(cè)表示第i個(gè)相對(duì)價(jià)格向量的預(yù)測(cè)值。然后，可以通過(guò)最大化期望對(duì)數(shù)收益來(lái)找到一個(gè)投資組合

對(duì)于反轉(zhuǎn)類算法——OLMAR和RMR等，它們通過(guò)基于反轉(zhuǎn)的單期和多期預(yù)測(cè)來(lái)估計(jì)下一個(gè)時(shí)期的相對(duì)價(jià)格。OLMAR利用w個(gè)滯后期價(jià)格的平均值來(lái)估計(jì)第t期結(jié)束時(shí)的價(jià)格，即:

其中MAt(w)為移動(dòng)平均，w為窗口大小。而RMR則利用價(jià)格序列的中位數(shù)來(lái)預(yù)測(cè)第t期結(jié)束時(shí)的價(jià)格，即:

上述的操作都是逐元素進(jìn)行的。雖然這些算法在大多數(shù)數(shù)據(jù)集上是有效的，但是目前反轉(zhuǎn)策略仍然存在著諸多問(wèn)題。首先，單周期假設(shè)在大多數(shù)實(shí)際情形中會(huì)遭到破壞，比如很多算法在DJIA數(shù)據(jù)集上都表現(xiàn)不佳;其次，由于受原材料價(jià)格頻繁波動(dòng)的影響，價(jià)格數(shù)據(jù)會(huì)含有大量的噪聲和異常值，導(dǎo)致大多數(shù)算法在實(shí)際中表現(xiàn)不佳;再者，對(duì)于具有趨勢(shì)性的時(shí)間序列，現(xiàn)有的大部分算法都不能得到高精確的預(yù)測(cè)結(jié)果。這些都是導(dǎo)致大多數(shù)算法在DJIA數(shù)據(jù)集上表現(xiàn)不佳的主要原因。

為了進(jìn)一步說(shuō)明現(xiàn)有策略的缺點(diǎn)，先來(lái)看一個(gè)有趣的例子。假設(shè)市場(chǎng)僅由一只股票構(gòu)成，記ti(i＞0)為需要進(jìn)行估計(jì)的周期。三種不同形式的市場(chǎng)價(jià)格序列如表1所示。其中，A0、A1是指數(shù)增長(zhǎng)型序列，其價(jià)格通過(guò)序列因子2，2，2來(lái)改變。B0、B1是周期增長(zhǎng)型序列，其價(jià)格通過(guò)序列因子 2，2，0．5來(lái)改變;C0、C1是周期衰減型序列，其價(jià)格通過(guò)序列因子0．5，0．5，2 來(lái)改變。此外，A0、B0、C0表示確切的價(jià)格序列，而 A1、B1、C1表示帶有離群值10的價(jià)格序列，“?”表示待估計(jì)的價(jià)格，“Acc”表示真實(shí)的價(jià)格。

表1 虛擬市場(chǎng)中不同策略的結(jié)果總結(jié)Tab．1 Summary of different strategies in a toy market

從表1可以觀察到，與其他策略相比，OLAR得到了更為精確的價(jià)格預(yù)測(cè)，而OLMAR的估計(jì)值與真實(shí)值相差較大，預(yù)測(cè)精度不高。對(duì)于多期的情形，OLAR比RMR表現(xiàn)得更好，預(yù)測(cè)精度更高。同時(shí)，對(duì)于沒(méi)有異常值存在的序列A0、B0、C0，OLAR的預(yù)測(cè)值與真實(shí)值相同，得到了精準(zhǔn)的預(yù)測(cè);對(duì)于存在異常值的序列噪聲序列A1、B1、C1，OLAR可以像 RMR一樣，能夠很好地處理波動(dòng)和異常值。雖然這個(gè)虛構(gòu)的例子只是基于單一資產(chǎn)構(gòu)造的，但是這種估計(jì)可以很容易地?cái)U(kuò)展到多個(gè)資產(chǎn)的情況。

4 在線自回歸移動(dòng)平均反轉(zhuǎn)(OLAR)算法

為了解決金融時(shí)間序列中的非平穩(wěn)性問(wèn)題，本文首先選擇能夠有效地處理非平穩(wěn)性的ARIMA模型對(duì)股價(jià)進(jìn)行預(yù)測(cè)，并進(jìn)一步地設(shè)計(jì)參數(shù)更新和算法，進(jìn)而利用在線PA算法設(shè)計(jì)投資組合。

4．1 模型簡(jiǎn)化

ARIMA模型一般由兩部分構(gòu)成:自回歸項(xiàng)AR和移動(dòng)平均項(xiàng)MA。為了估計(jì)下一期的相對(duì)價(jià)格，首先給出下一期價(jià)格的預(yù)測(cè)模型ARIMA(p，d，q):

其中:p，q分別為自回歸項(xiàng)和移動(dòng)平均項(xiàng)的滯后期，d為差分次數(shù)，αi、βi分別為自回歸項(xiàng)和移動(dòng)平均項(xiàng)的系數(shù)。這里假設(shè)移動(dòng)平均項(xiàng)MA(q)是可逆的，因此經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)刈儞Q，可以將ARIMA(p，d，q)模型轉(zhuǎn)化為AR(∞，d)模型。然而，考慮到滯后期越大的項(xiàng)對(duì)當(dāng)前的預(yù)測(cè)影響越小，因此這里舍棄某一滯后期之后的所有項(xiàng)，那么原模型就轉(zhuǎn)化為AR(p+m，d)模型，即

因此，股票價(jià)格的預(yù)測(cè)問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為AR(p+m，d)模型的求解問(wèn)題。

4．2 算法設(shè)計(jì)與分析

接下來(lái)，采用在線學(xué)習(xí)的方式來(lái)求解AR模型。首先，這里給出損失函數(shù)的公式定義:

它描述了預(yù)測(cè)值和真實(shí)值之間的差異，其中γt表示第t次迭代更新之后的參數(shù)，其目標(biāo)是最小化累積損失，即:

t

其中:第一項(xiàng)為經(jīng)驗(yàn)誤差項(xiàng);第二項(xiàng)為正則項(xiàng)，也稱為結(jié)構(gòu)誤差，其作用為防止過(guò)擬合。本文中的損失函數(shù)ft(γt)均采用指數(shù)凹型損失，即存在α＞0，使得exp(－αft(γt))為凹函數(shù)。

接著，將損失函數(shù)fτ(γ)在γτ處進(jìn)行二階泰勒近似，并舍棄余項(xiàng)，即

由于常數(shù)項(xiàng)和正常數(shù)因子不會(huì)影響優(yōu)化問(wèn)題的解，因此式(3)中的優(yōu)化問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為如下的優(yōu)化問(wèn)題

因?yàn)槌?shù)項(xiàng)不影響優(yōu)化問(wèn)題的解，所以式(5)中的優(yōu)化問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為

為了使得算法更高效，本文采用迭代更新的方式來(lái)計(jì)算每一時(shí)期矩陣的逆，即:

這種更新方式可以節(jié)省大量計(jì)算矩陣逆的時(shí)間，因此只需要花費(fèi)O(n2)的時(shí)間開銷，其中n為矩陣的階數(shù)。OLAR算法如算法1所示。

算法1 OLAR(p，m，η)。

1) 輸入:參數(shù)p，m，學(xué)習(xí)率η，初始矩陣A0=ηI;

2) for t=1 to T do

預(yù)測(cè)下一個(gè)價(jià)格向量:

s．t． b·^xt+1≥ ε

其中:^xt+1為要估計(jì)的下一個(gè)相對(duì)價(jià)格向量，ε為反轉(zhuǎn)閾值。上述優(yōu)化問(wèn)題試圖在滿足約束的條件下，找到與之前的投資組合bt偏差最小的一個(gè)投資組合。

接下來(lái)，利用拉格朗日乘子法求解式(7)，過(guò)程如下:

① 構(gòu)造拉格朗日函數(shù)L(b，λt+1，η):

其中λt+1=于沒(méi)有考慮非負(fù)約束，所以式(9)中的投資組合可能會(huì)超出可行域。因此，為了確保投資組合是非負(fù)的，最終要將更新的投資組合投影到可行域中［31］，其算法總結(jié)在算法2中。

最后，本文在一般的投資組合選擇框架下來(lái)設(shè)計(jì)基于OLAR算法的投資組合選擇策略，如算法3所示。OLAR策略利用數(shù)據(jù)的二階信息對(duì)價(jià)格進(jìn)行預(yù)測(cè)，并采用迭代的方式來(lái)更新矩陣的逆和各項(xiàng)參數(shù)，只需要花費(fèi)O(n2)的時(shí)間開銷和空間開銷，因此顯得更為高效。

算法 2 PA(ε，^xt+1，bt)。

步驟1 輸入:閾值ε，估計(jì)的相對(duì)價(jià)格向量^xt+1，當(dāng)前投資組合bt;

步驟2 計(jì)算參數(shù):

5 實(shí)證研究

本章將通過(guò)與14種現(xiàn)有的策略進(jìn)行對(duì)比(包括目前表現(xiàn)最好的OLMAR和RMR算法)，并利用累積收益等多項(xiàng)實(shí)驗(yàn)效果度量指標(biāo)以及統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)來(lái)對(duì)OLAR策略進(jìn)行測(cè)試，以此來(lái)說(shuō)明OLAR策略的有效性。

5．1 數(shù)據(jù)集及實(shí)驗(yàn)設(shè)置

實(shí)驗(yàn)中所采用的數(shù)據(jù)集是來(lái)自于真實(shí)市場(chǎng)的4個(gè)公開數(shù)據(jù)集，即NYSE(O)、NYSE(N)、DJIA和MSCI。具體信息總結(jié)在表2中。在實(shí)驗(yàn)中，統(tǒng)一設(shè)置ε=10。

表2 真實(shí)市場(chǎng)的基準(zhǔn)數(shù)據(jù)集Tab．2 Summary of real-world benchmark datasets

5．2 實(shí)驗(yàn)效果度量

在本文的實(shí)驗(yàn)中，采用7種指標(biāo)來(lái)度量各個(gè)策略的實(shí)驗(yàn)效果。具體如下:

1)累積收益。整個(gè)交易周期內(nèi)由策略所實(shí)現(xiàn)總收益，是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的策略表現(xiàn)度量指標(biāo)。

2)年化收益率(Annualized Percentage Yield，APY)。反映了策略實(shí)際收益的復(fù)合效應(yīng)，該指標(biāo)越大越好，這也是實(shí)證研究中最重要的一個(gè)參考指標(biāo)。

3)波動(dòng)率(Volatility，VL)。反映了投資組合的穩(wěn)定性，該指標(biāo)越小越好。

4)夏普比率(Sharpe Ratio，SR)。反映了每單位風(fēng)險(xiǎn)的超額收益，該指標(biāo)越大越好。

5)Calmar比率(Calmar Ratio，CR)。反映了年化收益和歷史最大回撤之間的關(guān)系，該指標(biāo)越大越好。

6)最大回撤率(Maximum Drawdown，MDD)。描述了投資組合可能面臨的最大虧損，它是一個(gè)重要的風(fēng)險(xiǎn)指標(biāo)，該指標(biāo)越小越好。

7)周轉(zhuǎn)率。反映了策略的穩(wěn)定性，該指標(biāo)越小說(shuō)明策略越穩(wěn)定。

同時(shí)，本文針對(duì)OLAR策略進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)。統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)是為了檢驗(yàn)策略的效果是否由隨機(jī)因素造成，這也是檢驗(yàn)策略有效性的一種重要方法。

5．3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

5．3．1 累積收益

表3展示了實(shí)證研究部分的主要結(jié)果，即4個(gè)數(shù)據(jù)集上不同策略的累積收益表現(xiàn)。從表3可以觀察到，與參與比較的14種策略相比，OLAR策略的表現(xiàn)最好，在 NYSE(O)、NYSE(N)和DJIA三個(gè)數(shù)據(jù)集上都獲得了最大的累積收益。雖然在MSCI數(shù)據(jù)集上OLAR沒(méi)有得到最大的累積收益，但是它的累積收益仍然高于OLMAR和RMR。同時(shí)，與目前表現(xiàn)最好的OLMAR和RMR策略相比，OLAR策略在四個(gè)數(shù)據(jù)集上的累積收益依次(至少)提升了 455．6%，221．5%，11．2%和50．3%。因此，從累積收益上來(lái)看，OLAR擊敗了現(xiàn)有最好的策略，并且效果提升顯著。

表4展示了OLAR策略的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)(t檢驗(yàn))結(jié)果，其中MER為平均誤差率，WR為策略的勝率，α、β為回歸因子。可以觀察到，除DJIA數(shù)據(jù)集之外，其余3個(gè)數(shù)據(jù)集上的概率p值均為0。這表明在這3個(gè)數(shù)據(jù)集上，OLAR在累積收益方面的優(yōu)異表現(xiàn)是由隨機(jī)因素造成的概率為0。然而，在DJIA數(shù)據(jù)集上，由隨機(jī)因素產(chǎn)生超額收益的概率為0．003 3，也遠(yuǎn)小于0．01。因此，可以認(rèn)為OLAR策略在累積收益上的卓越表現(xiàn)并不是由隨機(jī)因素造成的，進(jìn)一步表明該策略是有效的。

表3 4個(gè)數(shù)據(jù)集上各種策略的累積收益Tab．3 Accumulated profits of various strategies on four datasets

表4 4個(gè)數(shù)據(jù)集上OLAR統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)結(jié)果Tab．4 Statistical test results of OLAR on four datasets

5．3．2 其他效果度量指標(biāo)

從表5可以觀察到，與OLMAR和RMR相比，OLAR在全部的4個(gè)數(shù)據(jù)集中都獲得了最大的APY，最高的CR和SR，以及最低的MDD。同時(shí)OLAR在NYSE(O)和DJIA兩個(gè)數(shù)據(jù)集上均獲得了最小的波動(dòng)率。在NYSE(N)數(shù)據(jù)集上，OLAR的波動(dòng)率比RMR高，但是卻比OLMAR的波動(dòng)率低;在MSCI數(shù)據(jù)集上，OLAR的波動(dòng)率比OLMAR和RMR的波動(dòng)率都要高。雖然OLAR在NYSE(N)和MSCI數(shù)據(jù)集上沒(méi)有得到最低的波動(dòng)率，但是與RMR和OLMAR的波動(dòng)率相差不大，同時(shí)在其他指標(biāo)上均有良好的表現(xiàn)，因此這并不會(huì)對(duì)策略的表現(xiàn)和有效性造成嚴(yán)重的影響。綜上所述，OLAR基本上在所有的實(shí)驗(yàn)指標(biāo)上均獲得了良好的表現(xiàn)。

5．3．3 交易成本分析

在實(shí)際交易中，交易成本是一個(gè)重要的且不可回避的問(wèn)題，因此，本節(jié)研究了交易成本對(duì)策略的影響。

從圖1可以觀察到，當(dāng)交易成本率γ從0變化到1%時(shí)，所有交易策略的累積收益都會(huì)逐步減少。然而，在4個(gè)數(shù)據(jù)集中，OLAR策略的累積收益曲線始終在OLMAR和RMR兩個(gè)策略的收益曲線之上，這表明在交易成本相同的情況下，OLAR可以獲得更大的累積收益。同時(shí)，在大交易成本率下，OLAR仍然能夠獲得一定的收益，這表明OLAR策略能夠承受更高的交易成本，同時(shí)也說(shuō)明OLAR比RMR和OLMAR更加穩(wěn)健。

表5 OLMAR、RMR和OLAR在各種實(shí)驗(yàn)指標(biāo)下的對(duì)比Tab．5 Comparison of various experimental indicators among OLMAR，RMR and OLAR

圖1 各策略交易成本分析Fig．1 Transaction cost analysis of various strategies

5．3．4 穩(wěn)定性度量指標(biāo)——周轉(zhuǎn)率

從表6可以觀察到，OLAR在4個(gè)數(shù)據(jù)集上的周轉(zhuǎn)率都明顯地比 OLMAR和 RMR策略小。其中，與 RMR相比，OLAR在4個(gè)數(shù)據(jù)集上的周轉(zhuǎn)率依次降低了15．6%，2．4%，18．3%，16．4%;與 OLMAR 相比，OLAR 在4 個(gè)數(shù)據(jù)集上的周轉(zhuǎn)率依次降低了 20．0%，8．8%，24．9%，21．0%。這表明OLAR策略比OLMAR和RMR更穩(wěn)定。

表6 OLMAR、RMR和OLAR的周轉(zhuǎn)率比較Tab．6 Comparison of turnover among OLMAR，RMR，and OLAR

5．3．5 計(jì)算時(shí)間分析

在高頻交易中，對(duì)運(yùn)行時(shí)間有著十分嚴(yán)格的要求，往往需要在百分之一秒甚至更短的時(shí)間內(nèi)進(jìn)行操作，因此運(yùn)行時(shí)間要求也是對(duì)投資組合選擇策略的一大考驗(yàn)。表7展示了幾種不同策略的真實(shí)的運(yùn)行時(shí)間?？梢钥闯?，OLAR的計(jì)算時(shí)間與OLMAR和RMR的計(jì)算時(shí)間基本一致，這也表明了OLAR策略的實(shí)際可行性和可操作性。

表7 各種策略的計(jì)算時(shí)間對(duì)比 sTab．7 Comparison of computational time among various strategies s

6 結(jié)語(yǔ)

本文提出了一種基于自回歸移動(dòng)平均反轉(zhuǎn)的多周期投資組合選擇策略——OLAR策略。首先，OLAR利用ARIMA模型消除了時(shí)間序列的非平穩(wěn)性，可以更好地進(jìn)行價(jià)格預(yù)測(cè)。然后，在在線學(xué)習(xí)的框架下，OLAR策略得到了有效實(shí)施。各項(xiàng)實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，與OLMAR和RMR等策略相比，OLAR策略在累積收益、年化收益率和夏普比率等各項(xiàng)指標(biāo)上均表現(xiàn)突出，同時(shí)通過(guò)了統(tǒng)計(jì)性檢驗(yàn)。除此之外，與OLMAR和RMR相比，OLAR擁有更低的周轉(zhuǎn)率和波動(dòng)率，同時(shí)能夠承受更大的交易成本，這表明OLAR能夠更好地處理噪聲和波動(dòng)，更具魯棒性。這些結(jié)果一致地表明:OLAR是一個(gè)可行而高效的策略。然而，仍然存在著一些問(wèn)題:OLAR在DJIA和MSCI數(shù)據(jù)集上的提升效果并不顯著，這可能是由于單一模型預(yù)測(cè)所導(dǎo)致的。一個(gè)比較好的解決辦法是利用集成學(xué)習(xí)的方法來(lái)研究股價(jià)的預(yù)測(cè)以及投資組合的選擇，這可以作為未來(lái)的研究方向，需要進(jìn)一步的研究和探索。