晏 浩 紀安春 孫 青

(首都師范大學物理系，北京 100048)

0 引 言

過去幾十年來，量子多體問題和量子相變的研究在凝聚態(tài)物理學中得到了廣泛的關(guān)注.隨著量子光學的發(fā)展和超冷原子物理學的興起，原子與光場相互作用的研究變得越來越有趣和重要，并受到了很多理論工作者和實驗工作者的青睞.特別是在20年代的物理學成果中，玻色—愛因斯坦凝聚(BEC)在理論上的發(fā)現(xiàn)和實驗上的實現(xiàn)，進一步推動了原子與場相互作用領域的發(fā)展與壯大.

原子與光場相互作用的研究在量子光學、超冷原子物理和凝聚態(tài)物理中都占有非常重要的地位，而且關(guān)于量子相變很多方面的特性在理論和實驗兩個角度都已經(jīng)出現(xiàn)了很多理論成果和實驗成果.在著名的Dicke模型中，當考慮到一種兩能級冷原子氣體與光學腔耦合時，原子與光相互作用的非局域相干性就很好地支持了相變理論中的超輻射(SR)相變觀點，而且許多先前的研究已經(jīng)表明，不同的量子相特征的顯示與不同的參數(shù)調(diào)校關(guān)聯(lián)性很強[1-4].

在這篇文章中，我們研究了固態(tài)相、超流相(SF)和超固態(tài)相(SS)之間的相邊界問題以及給出了相應的基態(tài)、激發(fā)態(tài)能量表達式.我們考慮的模型是兩能級的里德堡原子與光學腔的耦合系統(tǒng)，對原子考慮了它們之間偶極—偶極相互作用的最近鄰項(C6).我們從三個不同角度對系統(tǒng)模型進行處理，分別是平均場理論、強耦合展開和量子Monte Carlo模擬，由此給出了相應的全參數(shù)空間的量子相圖.

1 哈密頓模型

我們考慮的哈密頓量可如下表達：

(1)

當g為零時，哈密頓量是對角化的，此時可以解析求解.簡化哈密頓量后，方程(1)變?yōu)樯鲜街笑蘟=μ-ω和μb=μ-ε代表有效化學勢.為了避免光子數(shù)出現(xiàn)無窮大，我們假定μa和μb均小于零，也就是沒有里德堡原子處于激發(fā)態(tài).當增大μb至大于零而小于2C6時，只有子晶格原子在近鄰排斥作用下跳躍到激發(fā)態(tài)上，而當μb大于2C6時，源于化學勢的能量增益能夠克服排斥能，進而導致系統(tǒng)進入Mott絕緣態(tài).為了解決這個問題，可以選取有限的g值跳躍，并采用平均場理論、強耦合展開和量子蒙特卡羅模擬進行處理.

(2)

2 平均場理論

平均場理論下系統(tǒng)波函數(shù)如下給出：

(3)

其中 |0〉是系統(tǒng)真空態(tài)，代表所有的原子都處在基態(tài)上，λ和θ都是可變參數(shù).為了找到基態(tài)能，我們需要對每個位置的平均場能量求極值：

EMF≡ 4〈λ,θ|H|λ,θ〉/N+Const

=-gλ(sinθA+sinθB)-μaλ2-(μb-C6)·

(cosθA+cosθB)+C6cosθAcosθB．

(4)

這里我們假設對不同子晶格A和B來說θ是相同的.

圖1 平均場理論得到的相位圖，圖(a) Δ=3, 圖(b) Δ=2, 圖(c) Δ=1 和圖(d) Δ=0.5 均取 C6 為單位長度

由于μa遠大于零時λ無限大，故我們只考慮μa<0的情況.因此，我們對平均場能量EMF求極值時取λc=-g(sinθA+cosθB)/(2μa)，因為它是λ的二次函數(shù).將λc帶入到平均場能量EMF中可得：

EMF= -g2(sinθA+sinθB)/(4μa)-(μb-C6)·

(cosθA+cosθB)+C6cosθAcosθB.

然后通過數(shù)值模擬的方法，分別就上式中θA和θB對能量求極值，由此可得圖1所示的全參數(shù)空間的相圖.

圖1中，Mott-0 和 Mott-1分別標識Mott絕緣態(tài)沒有占據(jù)和完全占據(jù)兩種狀態(tài).首先，我們定義Δ=μb-μa作為化學勢失諧量，當Δ大于Δc1=2C6時，Mott-0 和 Mott-1 兩種狀態(tài)同時存在；當Δ小于Δc1時，只有Mott-0狀態(tài)存在.其次，在逐漸減小Δ的過程中維持(π,π)電荷密度波(CDM)的固態(tài)相葉會收縮，直到Δ小于零時系統(tǒng)中只存在Mott-0狀態(tài)和超流相(SF)狀態(tài).

系統(tǒng)的臨界相是超固態(tài)相(SS)，它能夠維持(π,π)CDM并且是可壓縮的，然后通過計算不同子晶格的平均場密度ρ=cos(θ/2)2=(cosθ+1)/2，能夠發(fā)現(xiàn)它們之間的差異大于0而小于1.因此它既不是固態(tài)相也不是超流相.

為了更好的理解相變問題，我們利用強耦合展開分析Δ>Δc區(qū)域的臨界線問題.

3 強耦合展開

在強耦合g?C6區(qū)域，我們將交換項作為對角部分的微擾來處理，所以我們就可以利用熟悉的量子力學微擾理論來計算臨界線，也就是比較基態(tài)能量和準粒子激發(fā)態(tài)能量.

(5)

(g2/Δ+g2/(Δ-2C6))/2,

(6)

因此其臨界線為μbc3=2C6-g2/(2Δ-4C6).

Em1= -(μb-C6)N+μb-2C6-

(7)

所以臨界線為μbc4=2C6+g2/(Δ-2C6).同樣對于粒子激發(fā)來說，其零級波函數(shù)ψm1=a?ψ1，所以其二級能量為：

(8)

通過比較得到的能量即可知道我們所求的臨界線為μac=-g2/(Δ-2C6).

從臨界線的表達式出發(fā)我們可以看出不同的不可壓縮的狀態(tài)的葉片會隨著Δ的增加而收縮，這種特性是合理的，因為很大的化學勢失諧量 Δ 可以減少二級跳躍.為了詳細地搞清楚不同相及其相邊界問題，我們運用隨機級數(shù)展開來模擬系統(tǒng)，這種展開也是一種量子蒙特卡羅的算法模擬.

4 量子蒙特卡羅

從圖2可知，在半填充固相和超流相之間存在著一種居間相，它具有有限的結(jié)構(gòu)因子和可壓縮性，這種壓縮性具有很小的有限尺寸影響.如果其密度低于一半，我們便可確信這是一種由空穴激發(fā)而誘導的超固態(tài)相(SS).

圖2 結(jié)構(gòu)因子 S(Q)/N(實線)和壓縮性 κ∕10(虛線)，其中已取 C6=1 和Δ=3，并考慮不同溫度和尺寸 β=100,L=100(圓狀)，β=100,L=150(方狀)和 β=500，L=150(三角狀).插圖為平均密度ρ

接下來我們看看不同的相變問題.從圖3的左側(cè)我們可以發(fā)現(xiàn)超固態(tài)相能穩(wěn)定地存在于固相和超流相之間，并且它的區(qū)域幾乎不受Δ影響.與之相比，粒子激發(fā)誘導的超固態(tài)相表現(xiàn)出相同的性質(zhì).類似于三角晶格中得到的超固態(tài)相[5]，這里的超固態(tài)相與固態(tài)相之間的相變屬于二級相變，而超固態(tài)相與超流相之間的相變則屬于一級相變.由于圖3中橫軸是用μbc2和μbc3調(diào)諧定標的，所以很容易得出固態(tài)相葉會隨著Δ的增加而出現(xiàn)收縮，這與我們用平均場理論得出的結(jié)果一致.

圖3 結(jié)構(gòu)因子 S(Q)/N(實線)和壓縮性 κ∕10(虛線)，其中已取 C6=1， g=0.8(0.6)，β=100， L=100 分別代表左側(cè)(右側(cè))，同時左、右側(cè)分別是空穴激發(fā)和粒子激發(fā)

在圖4中我們得到了Δ=3 時的相圖，其臨界線很好地吻合了先前強耦合展開工作中的結(jié)果[5-6].依據(jù)平均場理論的預測，由粒子激發(fā)誘導的超固態(tài)相的區(qū)域要較小于空穴激發(fā)誘導的區(qū)域，然而兩者的超固態(tài)相區(qū)域都很窄，這種性質(zhì)同考慮次近鄰相互作用的方形晶格得到的超固態(tài)相很類似[7].

圖4 由三種方法平均場理論、強耦合展開和量子蒙特卡羅模擬得到的相圖，已取C6=1 和 Δ=3

5 結(jié) 論

本文主要研究的是一維情況下里德堡原子與腔場相互作用的系統(tǒng)，通過平均場理論、強耦合展開和量子蒙特卡羅模擬，我們得到了全參數(shù)空間的相圖.除了Mott絕緣態(tài)之外，我們不僅發(fā)現(xiàn)了π電荷密度波的部分填充固態(tài)相，當交換項g值很大時還發(fā)現(xiàn)了超流相，最重要的是發(fā)現(xiàn)了位于固態(tài)相與超流相(SF)之間的穩(wěn)定的超固態(tài)相(SS).

同時，粒子激發(fā)誘導的超固態(tài)相相比空穴激發(fā)誘導的更加不穩(wěn)定，最后我們還發(fā)現(xiàn)前面文中定義的化學勢失諧量Δ強烈地影響著不同相的存在和形狀.