“怎樣解題表”四階段解題的實踐與思考
——以2017年甘肅省張掖市中考數(shù)學(xué)卷第28題為例

☉甘肅省張掖市第三中學(xué) 李永明

怎樣解題是學(xué)生必備的一種核心素養(yǎng).所謂的“怎樣解題表”就是“怎樣解題”、“教師應(yīng)教學(xué)生做些什么”等問題，把“解題中典型有用的智力活動”，按照學(xué)生解決問題時思維的自然過程分為弄清問題、擬定計劃、實現(xiàn)計劃、反思回顧四個階段，描繪出解題理論的一個總體輪廓.那么，在解題中教師應(yīng)教學(xué)生做些什么？學(xué)生在解題過程中應(yīng)思考些什么問題？如何達(dá)到舉一反三的效果？如何把“解題中典型有用的智力活動”，按照四階段的自然思維過程正確的展示出來呢？筆者以2017年甘肅省張掖市中考數(shù)學(xué)卷第28題為例，從教師如何教和學(xué)生如何做兩個方面入手，認(rèn)真分析解題過程中的解題思路，反饋解題的思維過程.現(xiàn)拙文呈現(xiàn)其思維過程，以期拋磚引玉，與同行交流.

一、解題的思維分析

原題（2017年甘肅省張掖市中考第28題）如圖1，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+4的圖像與x軸交于點B（-2，0），點C（8，0），與y軸交于點A.

（1）求二次函數(shù)y=ax2+bx+4的表達(dá)式；

（2）連接AC，AB，若點N在線段BC上運動（不與點B，C重合），過點N作NM∥AC，交AB于點M，當(dāng)△AMN面積最大時，求N點的坐標(biāo)；（3）連接OM，在（2）的結(jié)論下，求OM與AC的數(shù)量關(guān)系.

1.弄清問題

問題是數(shù)學(xué)的心臟.認(rèn)真閱讀題目后，教師應(yīng)教學(xué)生做些什么？學(xué)生應(yīng)思考些什么問題呢？首先，應(yīng)該教會學(xué)生找出未知、已知條件是什么？要確定未知，條件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？學(xué)生應(yīng)該畫張圖，引入適當(dāng)?shù)姆?，把條件的各個部分分開，并把它們寫下來.

教師方面：認(rèn)真閱讀分析已知條件：

拋物線y=ax2+bx+4的解析式；

圖1

拋物線經(jīng)過B（-2，0）；

拋物線經(jīng)過點C（8，0）；

從拋物線y=ax2+bx+4的解析式可得A（0，4）.

未知有三問：

（1）第一問求二次函數(shù)y=ax2+bx+4的表達(dá)式；

（2）第二問當(dāng)△AMN面積最大時，求N點的坐標(biāo)；

（3）第三問在（2）的結(jié)論下，求OM與AC的數(shù)量關(guān)系.

圖2

學(xué)生方面：如圖2，這是已知條件與每一問的層次關(guān)系圖，它是一個逐漸遞近的求解順序關(guān)系圖.從這個關(guān)系圖上我們可以清楚地知道，它們之間是由淺入深的、逐漸遞進(jìn)的關(guān)系，其求解關(guān)系也是逐漸遞進(jìn)的.

2.擬定計劃

計劃就是解題的思路.是一個尋根溯源，化繁為簡的化歸過程.如何實現(xiàn)這一過程呢？教師應(yīng)教學(xué)生做些什么？學(xué)生應(yīng)思考些什么問題呢？

教師方面：引導(dǎo)學(xué)生回憶是否在之前見過類似問題.

（1）第一問求二次函數(shù)y=ax2+bx+4的表達(dá)式，是一個常見的題型；

（2）第二問當(dāng)△AMN面積最大時，求N點的坐標(biāo)，最大值問題也見過；

（3）第三問在（2）的結(jié)論下，求OM與AC的數(shù)量關(guān)系，這個要計算它們的長度，才能求出其數(shù)量關(guān)系.

學(xué)生方面：學(xué)生針對以上問題，要努力追憶在課本、資料出現(xiàn)過的類似題目，從大腦中提出與本例題有關(guān)的定義、公式、定理、類題等解題依據(jù)，把想到的與本題有關(guān)的信息都羅列出來，供下一步解題使用.

（1）第一問求二次函數(shù)的表達(dá)式，常用方法有待定系數(shù)法；

（2）第二問稍作改變，就是通過二次函數(shù)求最值問題.

（3）第三問在（2）的結(jié)論下，求OM與AC的長度，利用勾股定理和直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)很容易就會解決.

3.實現(xiàn)計劃

實現(xiàn)也就是解題，解題就是解決問題，即求出問題的解.這一過程主要是學(xué)生如何能正確的寫出求解過程，并能檢驗每一個步驟.教師要引導(dǎo)學(xué)生能夠確認(rèn)自己寫出的每一步都是正確的.

解：（1）將點B，點C的坐標(biāo)分別代入y=ax2+bx+4，

（2）設(shè)點N的坐標(biāo)為（n，0）（-2＜n＜8），則BN=n+2，CN=8-n.

因為B（-2，0），C（8，0），所以BC=10.

令x=0，解得y=4，所以點A（0，4），OA=4.

所以當(dāng)n=3時，即N（3，0）時，△AMN面積最大.

（3）當(dāng)N（3，0）時，N為BC的中點，

4.反思回顧

反思回顧的過程主要是驗證.驗證也就是驗算所得到的解，是對解題過程的反思.既充分展示了思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，又深入剖析解題思維過程的正確性，還從中感悟回顧反思“思什么、怎么思”的問題.

教師方面：教師如何引導(dǎo)學(xué)生去驗證每一個結(jié)果？能否用別的方法導(dǎo)出每一問的結(jié)果？

（1）求出二次函數(shù)的解析式后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生把A、B、C三點的坐標(biāo)代入解析式，如果滿足解析式，那么說明結(jié)果正確，反之錯誤.

（2）第（2）問還可用以下方法來解：如圖1，設(shè)MN=x，由上題可計算出，tan∠ABC==2.又因為tan∠ABC=，S△AMN的面積最大.也就是MN是△ABC的中位線.

學(xué)生方面：學(xué)生能否一下子看出結(jié)果來？并檢驗這個論證？或是把這結(jié)果和方法用在其他的問題？

如果知道當(dāng)S△AMN的面積最大時MN是△ABC的中位線，那么學(xué)生就很容易求出點N的坐標(biāo).第（3）問通過觀察，也可以得出結(jié)論.

二、解題過程的思考

追求解題過程的簡單、思維過程的嚴(yán)謹(jǐn)高效，是數(shù)學(xué)教師的一個共同性格.如何達(dá)到這一效果呢？我們可以通過對解題過程的改進(jìn)和分析，舉一反三，使解題能力大幅提升，解答的理解水平更加深刻，思維鏈更加優(yōu)化.那么，教師和學(xué)生如何對一道題進(jìn)行改進(jìn)呢？一般地，解題過程通常要經(jīng)歷兩個階段并進(jìn)行四個方面的分析.

1.兩個階段：整體分解與信息交合

整體分解就是把原解法的全過程分拆為一些信息單元，看用了哪些知識和方法，它們是怎樣結(jié)合在一起的，并從中提煉出幾個最本質(zhì)的步驟.

從上題中，把題目分拆成三類題型，第（1）問用待定系數(shù)法求解析式，第（2）問求三角形的最值，第（3）問利用勾股定理和直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)求線段的長.

信息交合就是抓住整體分解中提煉出來的本質(zhì)步驟，將信息單元轉(zhuǎn)換或重組成新的信息塊，這些信息塊的有序化將刪去多余的思維回路，用更一般的原理去代替一些過程，通過一個簡單的技巧代替現(xiàn)有的常規(guī)步驟，如此，一個新的解法便誕生了.

第（1）問求二次函數(shù)y=ax2+bx+4的表達(dá)式，已知系數(shù)c=4，a、b未知，已知兩點B（-2，0），點C（8，0）的坐標(biāo)，條件充分，一般方法有待定系數(shù)法，但由上面分析可知，拋物線與坐標(biāo)軸的三個交點坐標(biāo)都已知，也可用特殊的交點式來求函數(shù)表達(dá)式，設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式y(tǒng)=a（x+2）（x-8），把A（0，4）的坐標(biāo)代入上式，得a=-.

第（2）問當(dāng)△AMN面積最大時，求N點的坐標(biāo)，如果做DN⊥AC，垂足為D，如圖3，則題目就轉(zhuǎn)化為直角三角形中矩形的最大值問題，也就是當(dāng)點N運動到線段BC的中點時，矩形AMND的面積最大，即△AMN面積也最大，這樣就很容易求出點N的坐標(biāo).

圖3

圖4

2.四個方面的分析

（1）看解題過程是否浪費了更重要的信息，以開辟新的解題通道.本題的難點在第（2）問，我們可由第（1）問求各點的坐標(biāo)和線段的長，由勾股定理的逆定理發(fā)現(xiàn)，△ABC是直角三角形，這樣又為解決第（2）提供了新的信息.

（2）刪去多余步驟，使解題過程簡潔又不失重點.如果第（2）中直接去求矩形AMND的最大面積，不去直接求點N的坐標(biāo)，這時候的思路將無暇顧及更多的解題細(xì)節(jié)，也來不及選擇更合適的方法，當(dāng)把拋物線等多余的線條刪除以后，如圖4，思路就打通了，求出最大面積，點N的位置就可確定，題型也就變的簡單，思路也更加清晰明了.

（3）看是否可以用更一般的原理去代替一些步驟，提高整個解題的觀點和思維層次.第（1）問求二次函數(shù)的解析式，用的方法是待定系數(shù)法，這是通用方法，但是根據(jù)題意，我們也可以應(yīng)用特殊的技巧來重新設(shè)拋物線的解析式為交點式和頂點式來解，這為我們尋找優(yōu)美解提供了重要的保證.

（4）看是否可以用一個更特殊的技巧代替現(xiàn)有的常規(guī)步驟，以體現(xiàn)解題的奇異美.第（2）問可以把△ABC和△AMN分離出來并進(jìn)行補充，問題就轉(zhuǎn)化成為直角三角形內(nèi)矩形的最大面積問題，這是課本中二次函數(shù)最典型的題型.

三、結(jié)束語

總之，解題就是實驗、猜想、類比、聯(lián)想、歸納、演繹、分析、綜合等方法的綜合應(yīng)用過程，更是把復(fù)雜的題型簡單化、陌生的題型熟悉化、常見的題型模式化的一個改編過程，是按“問題、計劃、實現(xiàn)、驗證”的自然思維過程.通過對已知和結(jié)論不斷地去尋根溯源，分析它們的聯(lián)系，才能找到一個簡潔高效的解題方法.