田 英，王興波

（佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院，廣東佛山 528000）

隨著機(jī)器自動化程度的提高，可數(shù)字控制簡單機(jī)構(gòu)的作用越來越重要。比如，機(jī)器人中的許多關(guān)節(jié)，都是可數(shù)字控制的簡單機(jī)構(gòu)[1-2]。事實上，機(jī)械系統(tǒng)的各種運(yùn)動機(jī)構(gòu)都是由簡單運(yùn)動的部件經(jīng)巧妙組合后形成復(fù)雜運(yùn)動或者靈巧運(yùn)動的。機(jī)械設(shè)計與計算的經(jīng)驗表明，簡單機(jī)械機(jī)構(gòu)的運(yùn)動關(guān)系分析往往蘊(yùn)含著非常巧妙而深刻的數(shù)學(xué)關(guān)系，這是因為絕大多數(shù)巧妙機(jī)構(gòu)的設(shè)計都帶有天才的創(chuàng)造[3]。因此如文獻(xiàn)[4]、[5]、[6]綜述的那樣，對機(jī)構(gòu)的運(yùn)動關(guān)系及其研究方法的研究一直是機(jī)械設(shè)計領(lǐng)域的課題。事實上，如果不能正確解析機(jī)構(gòu)的運(yùn)動關(guān)系，無論是在設(shè)計還是在機(jī)電控制方面，都是無法達(dá)到預(yù)期效果的。文獻(xiàn)[7]、[8]均對此做出專門論述?？偠灾?，機(jī)構(gòu)運(yùn)動的數(shù)學(xué)解析關(guān)系對于機(jī)構(gòu)的運(yùn)動控制是至關(guān)重要的。

本文所介紹的內(nèi)容，正是有關(guān)一個簡單機(jī)構(gòu)運(yùn)動關(guān)系的分析與控制問題。這是筆者在設(shè)計一個食品包裝機(jī)械時設(shè)計出的一個可數(shù)字控制的簡單機(jī)構(gòu)。該機(jī)構(gòu)如圖1所示，由幾個桿件鏈接，形狀婉如一個鳥喙，因此筆者稱之為機(jī)器喙，用于食品包裝機(jī)器上自動開啟軟包裝的袋口。該機(jī)構(gòu)采用一個伺服電機(jī)連接絲杠控制其運(yùn)動。顯然，喙的張合角是控制所需的關(guān)鍵參數(shù)。由于電機(jī)連接在平動推桿上，問題體現(xiàn)在建立推桿與機(jī)器喙張合角的解析關(guān)系。該問題看似簡單，實際上頗費(fèi)周折。經(jīng)過認(rèn)真分析、演繹，筆者解決了它。本文給出相關(guān)的結(jié)果、演繹過程及該機(jī)構(gòu)的應(yīng)用示例。

1 裝置的機(jī)械結(jié)構(gòu)原型

可于壺嘴袋安裝壺嘴裝置的主體如圖1所示。這是一個由一組桿件連接而成的簡單裝置，形狀婉如一個鳥喙，因此筆者稱之為機(jī)器喙。它采用一個伺服電機(jī)連接絲杠（后文稱推桿）控制其運(yùn)動。當(dāng)電機(jī)帶動絲杠轉(zhuǎn)動時，可使喙張合。張開時可打開袋口便于壺嘴放入。將壺嘴置入袋口的技術(shù)的設(shè)計已經(jīng)申請了專利，限于本文的主題，這里不宜詳述。讀者可在專利公告材料中了解。

圖1 機(jī)械喙工程設(shè)計原型圖Fig.1 Engineering Prototype of Machinery Beak

2 控制裝置的參數(shù)分析

顯然，喙的張合角是控制所需的關(guān)鍵參數(shù)。由于電機(jī)連接在平動推桿上，問題體現(xiàn)在建立推桿與機(jī)器喙張合角的解析關(guān)系。具體需要確定：(1)推桿平動的兩個極限位置；(2)推桿平動與喙張合角的關(guān)系。為此以下通過喙的運(yùn)動分析分別解決這兩個問題。

2.1 機(jī)器喙的運(yùn)動分析

為便于分析，將圖1簡化為圖2。

圖2 機(jī)器喙簡化圖Fig.2 Simplified Drawing of Machinery Beak

從圖2可以看出，A、A1是兩個固定鉸鏈，B、B1，C、C1是活動鉸鏈，BAD、B1A1D是兩個近似L型的對稱剛性桿件，OO1與CC1形成一個T字形的固定推桿，可沿水平方向往復(fù)運(yùn)動；BC、B1C1是兩個“可自由運(yùn)動的剛性桿件”。根據(jù)機(jī)械設(shè)計原理，當(dāng)OO1推動CC1向右運(yùn)動時，AD、A1D會張開；當(dāng)OO1推動CC1向左運(yùn)動時，AD、A1D會閉合。當(dāng)AD、A1D張開到“最大”時，CC1無法繼續(xù)向右推進(jìn)的臨界位置是右止行點。當(dāng)AD、A1D合到極限位置時，CC1無法繼續(xù)向左推進(jìn)的臨界位置是左止行點。

2.2 止行點的分析

從機(jī)械控制的要求來看，兩個止行點就是推桿平動的兩個極限位置，是控制AD、A1D的張合運(yùn)動的兩個邊界條件。鑒于“AD、A1D張開到最大”的問題要求僅僅是一個模糊概念，問題只能結(jié)合桿件已知的運(yùn)動及其約束關(guān)系來求解。圖3給出了幾個桿件之間的運(yùn)動約束關(guān)系型。可以看出（考慮機(jī)構(gòu)的對稱性，僅考慮上半部分）：

（1）C點只能在水平線CC2上運(yùn)動；

（2）B點可繞A點轉(zhuǎn)動，其轉(zhuǎn)動半徑為AB的長度；

（3）B點同時可繞C點轉(zhuǎn)動，其轉(zhuǎn)動半徑為BC的長度；

圖3 機(jī)械喙各節(jié)點的運(yùn)動及其約束關(guān)系Fig.3 Motion Relationship And Constraints of Machinery Beak

由此可知，B點是一個受雙面約束的動點。也正是這種約束才導(dǎo)致左止行點和右止行點的存在。根據(jù)軌跡生成原理，B點繞C點轉(zhuǎn)動連同C點的平動形成了一簇以CC2上諸點為圓心、BC為半徑的包絡(luò)圓簇；B點繞A點轉(zhuǎn)動形成了一個以A為圓心、AB為半徑的圓周（下簡稱圓A）。由此可知，包絡(luò)圓簇中自左向右第一個與圓A相切圓的圓（簡稱右切圓）之圓心位置即為右止行點的位置。因為此時桿AB與BC已經(jīng)處在一條直線上。因為AB與BC都是剛性桿無變形發(fā)生，推桿OO1已經(jīng)無法繼續(xù)推動C向右運(yùn)動。同理，包絡(luò)圓簇中自右向左第一個與圓A相切圓的圓心即為左止行點的位置。由此不難得到計算左右止行點的方法如下：

第一步：過C點作水平線L；

第二步：以A為圓心，桿長AB＋BC為半徑畫圓交L于 C1、C2；

第三步：C1、C2即為所求左右止行點。

2.3 止行點的計算

前小節(jié)基于軌跡法確定了左右止行點的理論位置。但是這個結(jié)果是無法直接應(yīng)用于計算機(jī)控制系統(tǒng)的。計算機(jī)控制系統(tǒng)控制開合機(jī)構(gòu)運(yùn)動時，需要精確的解析公式。為此本小節(jié)給出問題的解析解。

如圖1所示，系統(tǒng)已知的參數(shù)除了桿AB、BC、AD的長度外，還有2個隱含的已知參數(shù)，那就是AA1的間距以及CC1的長度。將這些參數(shù)重新整理后即可得到左右止行點距垂直線AA1的距離X為：

公式（1）計算出來的結(jié)果適合于左右最大止行點。但是這個公式不適合于控制“即時張合運(yùn)動”，即在最大與最小張合角度之間的任意張合角度的運(yùn)動。

2.4 推桿水平位移與張合角的解析關(guān)系

考慮機(jī)構(gòu)張合一個α角度的情況。圖4給出了桿件運(yùn)動的簡化圖，圖中B1是B經(jīng)過轉(zhuǎn)動α角后的位置，C1是C經(jīng)過水平移動S位移后的位置。即BAB1=a，CC1=S，設(shè)AB的初始位置與垂直方向的角度為φ并設(shè)A到水平線L的距離為h。以下主要推導(dǎo)S與α的關(guān)系。

圖4 桿件運(yùn)動的簡化圖Fig.4 Simplified Drawing of Rods’Motions

在△BB1C中，由余弦定理得：

同理在△B1C1C中：

即：

令BC=B1C1=l，整理上述三式得，

以下計算α、BB1、∠B1C1C以及∠B1BC。

為了計算∠B1BC，這里分別過B、B1作水平線交h垂直線于G、I；分別過B、B1作垂直線交C1C延長線（水平線L）于F、H，延長AB線交C1C延長線（水平線L）于E。限于圖中布局，這里略去具體畫線。由此得：

同理可求得，

將（3）～（7）式代入（2）式，又因為 BC=l，AB=AB1，可得：

由于φ、h以及AB、l均可通過機(jī)械設(shè)計事先給定，即a1,a2,a3,a4均為常量，因此上式（9）決定了α與S的關(guān)系。

3 計算與控制

基于節(jié)的運(yùn)動關(guān)系與控制參數(shù)，本小節(jié)給出S-α曲線的計算過程及基于S-α關(guān)系的機(jī)械喙控制流程。

3.1 S-a曲線的計算過程

式（9）是一個包含復(fù)合函數(shù)計算的關(guān)系式，不太適應(yīng)人工計算。采用計算機(jī)計算得到列表曲線的方式比較適合工程設(shè)計的現(xiàn)實。圖5是筆者以初始角φ＝50°、α最大為90°、AB=35 mm、l=20 mm、h=40 mm為參數(shù)，利用Microsoft Excel計算出的推桿位移S與喙張合角α之間的列表曲線即S-α曲線。

可以看出，位移S從0開始增加時，張合角α逐漸增加，α在接近90°時增速減小。這與實際情況是一致的。

為便于讀者利用(9)編程，以下給出以目標(biāo)角求位移的C語言偽代碼的計算過程。

初始化：輸入初始參數(shù)桿長AB、BC、AA1、CC1；

圖5 S-α曲線Fig.5 S-αCurve

3.2 基于S-α關(guān)系的控制流程

式(9)的意義更在于它可以作為計算機(jī)控制機(jī)器喙的運(yùn)動關(guān)系。圖6給出了相應(yīng)的控制流程。限于篇幅，這里不作具體說明。

圖6 機(jī)器喙的運(yùn)動控制過程Fig.6 Control Process for Machinery Beak

4 應(yīng)用舉例及結(jié)論

4.1 應(yīng)用案例

圖7給出了利用機(jī)械喙打開食品包裝袋的示意圖。首先在落料筒的筒壁上開一小孔，將機(jī)械喙的整體置于落料筒之中使喙端部對準(zhǔn)小孔中心。則當(dāng)機(jī)械喙在平移張合時能夠打開軟包裝袋口而置于壺嘴。鑒于細(xì)節(jié)涉及到企業(yè)的設(shè)計數(shù)據(jù)，這里不贅述。

此外，該機(jī)器喙在自動醫(yī)療機(jī)械和仿生機(jī)械設(shè)計上也可以有很廣泛的應(yīng)用。比如，外科手術(shù)時可協(xié)助醫(yī)生打開創(chuàng)口等。限于篇幅，這里不再贅述。

圖7 機(jī)械喙用于打開軟包裝袋口Fig.7 Machinery Beak Used to Open Mouth of Soft Bags

4.2 結(jié)論

采用簡單的桿件結(jié)構(gòu)設(shè)計出功能獨特的機(jī)構(gòu)是機(jī)械設(shè)計的基本原則。本文采用桿件設(shè)計的機(jī)械喙集機(jī)械與計算機(jī)控制與一體，是典型的機(jī)電系統(tǒng)。裝置在食品包裝業(yè)的成功應(yīng)用，可為類似的設(shè)計提供了有益的借鑒。筆者希望本文能夠拋磚引玉，帶來更多同行的研究。